- •Министерство образования и науки российской федерации
- •Раздел I. Теория вероятностей
- •Тема 1. Случайные события
- •1.1 Классификация событий
- •1.2. Вероятность событий
- •Свойства вероятности
- •1.3. Элементы комбинаторики
- •1.4. Операции над событиями
- •Тема 2. Основные теоремы
- •2.1. Теорема сложения вероятностей несовместных событий
- •2.2. Теорема умножения вероятностей
- •2.3. Формула полной вероятности. Формулы Байеса
- •Тема 3. Повторные независимые испытания
- •3.1. Формула Бернулли
- •3.2. Формула Пуассона
- •3.3. Локальная теорема Муавра-Лапласа
- •Свойста функци , ее график
- •3.4. Интегральная теорема Муавра-Лапласа
- •Свойства функции :
- •Тема 4. Дискретная случайная величина и её характеристики
- •4.1. Понятие случайной величины
- •4.2. Закон распределения дискретной случайной величины
- •4.3. Математические операции над случайными величинами
- •4.4. Числовые характеристики дискретной случайной величины
- •Свойства
- •Свойства
- •4.5. Биноминальный закон распределения и закон Пуассона
- •4.6. Функция распределения случайной величины
- •Свойства функции распределения
- •Тема 5. Непрерывные случайные величины.
- •5.1. Плотность распределения вероятностей непрерывных случайных величин
- •Свойства плотности распределения
- •5.2. Числовые характеристики непрерывных случайных величин
- •5.3. Нормальный закон распределения
- •Свойства случайной величины, распределенной по нормальному закону
- •5.4. Центральная предельная теорема. Теорема Ляпунова
- •Тема 6. Двумерные (n-мерные) случайные величины
- •6.1. Способы задания двумерной случайной величины
- •Свойства двумерной функции распределения
- •6.2. Условные законы распределения
- •6.3. Ковариация и коэффициент корреляции
- •Свойства коэффициента корреляции
- •6.4. Двумерный нормальный закон распределения
- •Тема 7. Закон больших чисел
- •Неравенство Маркова (лемма Чебышева)
- •Неравенство Чебышева
- •Теорема Чебышева
- •Раздел II. Математическая статистика Тема 8. Выборочный метод. Общие вопросы
- •8.1. Понятие о вариационных рядах
- •8.2. Эмпирическая функция распределения
- •Свойства :
- •8.3. Числовые характеристики вариационного ряда
- •Основные свойства
- •Основные свойства дисперсии
- •Упрощённый способ расчёта средней арифметической и дисперсии
- •8.4. Выборочный метод
- •Тема 9. Оценка доли признака и генеральной средней
- •Точечные оценки генеральной совокупности. Свойства оценок
- •Интервальная оценка параметров
- •Доверительный интервал для генеральной средней и генеральной доли по большим выборкам
- •Объём выборки
- •Тема 10. Статистическая проверка гипотез
- •10.1. Статистическая гипотеза и общая схема её проверки
- •1) - То нулевую гипотезуотвергают,
- •2) - То нет оснований отвергнуть.
- •10.2. Построение теоретического закона распределения по опытным данным. Критерий согласия Пирсона
- •Правило проверки нулевой гипотезы
- •Тема 11. Корреляция и регрессия
- •11.1. Линейная парная регрессия
- •11.2. Оценка тесноты корреляционной зависимости
- •Свойства выборочного коэффициента корреляции r
- •Проверка значимости выборочного коэффициента корреляции
Свойства вероятности
Вероятность любого события заключена между нулем и единицей
.
Вероятность достоверного события равна единице.
Вероятность невозможного события равна нулю.
Действительно,
Т.к., то разделив обе части неравенства наn, получим . Следовательно,.
Если событие достоверное, то . Следовательно,.
Если событие невозможное, то . Следовательно,.
Определение. Пусть проведено испытаний, в которых событиеосуществилосьраз. Тогдаотносительной частотой события называется отношение числа испытаний, в которых осуществилось событие, к общему числу всех испытаний
.
Многочисленные наблюдения показали, что если в одинаковых условиях производят опыты, в каждом из которых число испытаний достаточно велико, то относительная частота в различных опытах колеблется около некоторого постоянного числа, которое и является вероятностью события.
Определение. Статистической вероятностью называют относительную частоту события или число, близкое к ней.
Все свойства классической вероятности сохраняются и для статистической вероятности.
1.3. Элементы комбинаторики
Для вычисления вероятности события необходимо уметь рассчитывать число различных комбинаций, т.е. уметь определять значения и.
Определение. Размещением из различных элементов поэлементов называется соединение, которое отличается либо составом, либо порядком своих элементов.
Число размещений обозначается символом и вычисляется по формуле
,
где , причем 1! = 1, 0! = 1.
Пример 1.2. Сколько трехзначных чисел с неповторяющимися цифрами можно составить из цифр 1,2,3…9?.
Решение. Каждое трехзначное число является размещением из девяти цифр по три. Их число равно.
Определение. Сочетаниями из элементов поэлементов называются соединения, которые различаются только составом своих элементов.
Число сочетанийобозначается символом и вычисляется по формуле
.
Пример 1.3. Сколькими способами можно выбрать 2 детали из ящика, содержащего 10 деталей?
Решение. Т.к. порядок выбора деталей неважен, то взять 2 детали из имеющихся десяти можно способами.
Определение. Перестановками из элементов называются всевозможные соединения из этихэлементов.
Число перестановок обозначается символом и вычисляется по формуле
.
Пример 1.4. В конкурсе выступают 7 участников. Порядок их выступления определяется жребием. Сколько различных вариантов жеребьёвки при этом возможно? Решение. Каждый вариант жеребьёвки отличается только порядком участников конкурса, т.е. является перестановкой .
1.4. Операции над событиями
Определение. Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из данных событий.
Если события и несовместные, то их суммаобозначает наступление или событияили события.
Определение. Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном наступлении всех этих событий.
Если и совместные события, то их произведениеозначает наступление и событияи события.
Тема 2. Основные теоремы
2.1. Теорема сложения вероятностей несовместных событий
Теорема. Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий
.
В частности .
Доказательство рассмотрим на примере суммы 2-х событий и .
Пусть - общее число возможных исходов некоторого испытания;- число исходов, благоприятствующих событию;- число исходов, благоприятствующих событию. Тогда- число исходов, благоприятствующих наступлению либо события, либо события, т.е. события.
Следовательно, .
Следствие 1. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице.
Если А, В,…, К образуют полную группу, то .
Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице
или .
Пример 2.1. В ящике 30 шаров: 10 красных, 5 синих, 15 белых. Найти вероятность появления цветного шара.
Решение. Пусть событие С = {появление цветного шара}.Появление цветного шара означает появление либо красного шара (событие), либо синего шара (событие).,. Т.к. событияи несовместные, то
.
Пример 2.2. Вероятность того, что день будет пасмурным равна . Найти вероятность того, что день будет ясным.
Решение. События день дождливый () и день ясный () – противоположные. Следовательно, ,.