Тема 9. Оценка доли признака и генеральной средней

1. Точечные оценки генеральной совокупности. Свойства оценок

Определение.Точечнойназывают оценку, которая определяется одним числом.

Пусть требуется изучить количественный признак генеральной совокупности. Предположим из теоретических соображений мы установили, какое распределение имеет этот признак. Наша задача – оценить параметры, которыми определяется это распределение.

Например, если известно, что изучаемый признак распределён в генеральной совокупности по нормальному закону, то необходимо оценить математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение, так как эти два параметра полностью определяют нормальное распределение.

Обычно имеются лишь данные выборки. Через эти данные и выражаются оцениваемые параметры.

Для того, чтобы статистические оценки давали «хорошие» приближения оцениваемых параметров, они должны удовлетворять определённым требованиям:

1) статистическая оценка должна быть несмещённой,

2) статистическая оценка должна быть эффективной,

3) статистическая оценка должна быть состоятельной.

Определение.Статистическая оценкапараметраназываетсянесмещённой, если её математическое ожидание равно оцениваемому параметру. В противном случае оценка называется смещённой.

Определение.Статистическая оценка называетсяэффективной, если она имеет наименьшую дисперсию среди всех возможных при заданном объёме выборки.

Определение.Статистическая оценка называетсясостоятельной, если при выборке большого объёмастатистическая оценка стремится по вероятности к оцениваемому параметру.

Приведём некоторые теоремы об оценках:

Теорема.Выборочная доля- есть несмещенная, эффективная и состоятельная оценка генеральной доли.

Теорема. Выборочная средняя -есть несмещенная, эффективная и состоятельная оценка генеральной средней .

Теорема.Выборочная дисперсия- есть смещённая и состоятельная оценка генеральной дисперсии.

То есть математическое ожидание выборочной дисперсии не равно оцениваемой генеральной дисперсии, а равно .

Поэтому, чтобы «исправить» выборочную дисперсию до несмещённой оценки достаточно умножить на дробь. Сделав это, получим исправленную дисперсию, которую обозначают через.

Определение. Исправленной выборочной дисперсиейназывается величина

.

- исправленное среднеквадратическое отклонение.

Исправленная дисперсия является несмещенной оценкой генеральной дисперсии, так как .

Если , то, то есть.

Следовательно, выборочная и исправленная дисперсия приблизительно равны .

2. Интервальная оценка параметров

Определение.Интервальнойназывают оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала.

Интервальные оценки позволяют установить точность и надёжность оценок. Пусть найденная по результатам выборки статистическая характеристика служит оценкой неизвестного параметра. Ясно, что чем меньше, тем точнее оценка. Другими словами, если(), то чем меньше, тем оценка точнее. Таким образомхарактеризует точность оценки. Однако, мы не можем категорически утверждать, что оценкаудовлетворяет неравенству. Мы можем лишь говорить о вероятности, с которой это неравенство осуществляется.

Определение.Надёжностью(доверительной вероятностью) оценки параметрапоназывается вероятность, с которой осуществляется неравенство.

Обычно надёжность задаётся наперед, причём чаще всего близка к единице.

Например, =.

Пусть вероятность того, что равна:

или

.

Данное соотношение понимают так: вероятность того, что интервал заключает в себе (покрывает) неизвестный параметр, равна.

Интервал называетсядоверительным.

Величина доверительного интервала существенно зависит от объёма выборки (уменьшается с ростом) и от значения доверительной вероятности(увеличивается с приближениемк единице).

Определение. Наибольшее отклонениевыборочной средней (или выборочной доли) от генеральной средней (или генеральной доли), которое возможно с заданной доверительной вероятностью, называетсяпредельной ошибкой выборки(точность оценки).

Эту ошибку называют случайной ошибкой репрезентативности.Систематическая ошибка репрезентативности появляется в результате нарушения принципа случайности при отборе элементов в выборку.