8.2. Эмпирическая функция распределения

Определение.Эмпирической функцией распределенияназывается относительная частота того, что случайная величинапримет значение, меньшее заданного, то есть

,

где - число вариант меньших,- общее число вариант.

Функция распределения называется эмпирической, так как она находится эмпирическим (опытным) путём.

Свойства :

1) .

2) - неубывающая.

3) если - наименьшая варианта, то при

если - наибольшая варианта, то при.

Пример 8.1.Составить, если вариационный ряд имеет следующий вид:

	2	6	8	12
	7	10	20	63

Решение. Найдем на каждом интервале:

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) ,

Искомая эмпирическая функция

8.3. Числовые характеристики вариационного ряда

Определение.Средней арифметической вариационного ряданазывается сумма произведений всех вариант на соответствующие частоты, делённая на сумму частот:

,

где - варианты дискретного ряда или середина интервалов интервального вариационного ряда,- соответствующие им частоты,.

Очевидно, что .

Основные свойства

1) Средняя арифметическая постоянной равна самой постоянной.

2) Если все варианты увеличить (уменьшить) в одно и то же число раз, то средняя арифметическая увеличится (уменьшится) во столько же раз

.

3) Если все варианты увеличить (уменьшить) на одно и то же число, то среднее арифметическое увеличится (уменьшится) на то же число

.

Определение.Дисперсиейвариационного ряданазывается средняя арифметическая квадратов отклонений вариант от их средней арифметической:

.

Очевидно, что .

Среднеквадратическое отклонение(корень квадратный из дисперсии).

Основные свойства дисперсии

1) Дисперсия постоянной равна нулю.

2) Если все варианты увеличить (уменьшить) в раз, то дисперсия увеличится (уменьшится) враз

.

3) Если все варианты увеличить (уменьшить) на одно и то же число, то дисперсия не изменится

.

4) Дисперсия равна разности между средней арифметической квадратов вариант и квадратом средней арифметической

- формула для расчета дисперсии.

Пример 8.2.Вычислить,распределения, заданного таблицей:

	1	2	3	4
	20	15	10	5

Решение.

.

Упрощённый способ расчёта средней арифметической и дисперсии

Вычисление средней арифметической вариационного ряда можно упростить, если использовать не первоначальные варианты , а новые варианты – условные варианты,

где и- специально подобранные постоянные.

В качестве срекомендуется брать варианту, которая расположена примерно в середине вариационного ряда. В качественеобходимо взять величину интервала по. Тогда

, .

Определение.Медианой Ме вариационного ряданазывается значение признака, приходящееся на середину ранжированного ряда наблюдений.

Для дискретного вариационного ряда с нечетным числом членов медиана равна серединному интервалу, а для ряда с четным числом членов – полусумме двух серединных вариантов.

Определение. Модой Мо вариационного ряданазывается вариант, которому соответствует наибольшая частота.

8.4. Выборочный метод

Для изучения совокупности объекта можно проводить сплошное наблюдение, то есть обследовать всех членов совокупности. Однако на практике сплошное наблюдение применяется сравнительно редко.

Например, если совокупность содержит очень большое количество объектов, то провести сплошное обследование физически невозможно. Или если обследование объекта связано с его уничтожением, то проводить сплошное обследование практически не имеет смысла (например, в случае контроля на долговечность партии электрических лампочек, партии мясных или рыбных консерв). Поэтому в таких случаях из всей совокупности объектов случайным образом отбирают ограниченное количество объектов и подвергают их изучению.

Определение.Выборочной совокупностью(выборкой) называют совокупность случайно отобранных объектов.

Определение.Генеральной совокупностьюназывают совокупность объектов, из которых производится выборка.

Определение.Объёмом совокупности(выборочной или генеральной) называют число объектов этой совокупности.

Например, если из 1000 деталей для обследования отобрано 100 деталей, от объём генеральной совокупности , а объём выборки.

Определение.Метод, исследующий свойства генеральной совокупности на основе части этих объектов, называетсявыборочным методом.

Чтобы иметь право судить о генеральной совокупности по выборке, выборка должна быть образована случайно. Наиболее простой способ образования случайной выборки состоит в следующем: все члены генеральной совокупности нумеруются, каждый записывается на отдельной карточке. Затем из образовавшейся пачки карточек берутся отдельные карточки и записываются их номера. Перечень номеров этих карточек указывает, какие члены генеральной совокупности попали в состав выборки. При этом существует два вида случайной выборки:

1) собственно случайная повторная выборка– если каждая карточка после записи её номера возвращается обратно в общую пачку.

2) собственно случайная бесповторная выборка– если вынутая карточка не возвращается в общую пачку.

Любая выборка, независимо от её объёма, как правило, не даёт точной характеристики всей совокупности. Поэтому каждый результат, вычисленный по данным выборки, имеет некоторую погрешность. Эта погрешность называется ошибкой репрезентативности, которая показывает величину расхождения между показателями выборки и соответствующими показателями всей генеральной совокупности.

Основная задача выборочного метода- оценка параметров (характеристик) генеральной совокупности по данным выборки. Таким образом задача состоит в том, чтобы оценить неизвестные постоянные величины генеральной совокупности – это генеральная средняя, генеральная дисперсия, генеральная доля – с помощью соответственно выборочной средней, выборочной дисперсии, выборочной доли. Обозначим через- значения признака случайной величины,

, - объёмы генеральной и выборочной совокупностей,

, - число элементов генеральной и выборочной совокупностей со значением признака,

, - число элементов генеральной и выборочной совокупностей с признаком.

Формулы, для определения всех характеристик, запишем в таблицу.

Наименование характеристики	Генеральная совокупность	Выборка
Средняя
Дисперсия
Доля