- •Министерство образования и науки российской федерации
- •Раздел I. Теория вероятностей
- •Тема 1. Случайные события
- •1.1 Классификация событий
- •1.2. Вероятность событий
- •Свойства вероятности
- •1.3. Элементы комбинаторики
- •1.4. Операции над событиями
- •Тема 2. Основные теоремы
- •2.1. Теорема сложения вероятностей несовместных событий
- •2.2. Теорема умножения вероятностей
- •2.3. Формула полной вероятности. Формулы Байеса
- •Тема 3. Повторные независимые испытания
- •3.1. Формула Бернулли
- •3.2. Формула Пуассона
- •3.3. Локальная теорема Муавра-Лапласа
- •Свойста функци , ее график
- •3.4. Интегральная теорема Муавра-Лапласа
- •Свойства функции :
- •Тема 4. Дискретная случайная величина и её характеристики
- •4.1. Понятие случайной величины
- •4.2. Закон распределения дискретной случайной величины
- •4.3. Математические операции над случайными величинами
- •4.4. Числовые характеристики дискретной случайной величины
- •Свойства
- •Свойства
- •4.5. Биноминальный закон распределения и закон Пуассона
- •4.6. Функция распределения случайной величины
- •Свойства функции распределения
- •Тема 5. Непрерывные случайные величины.
- •5.1. Плотность распределения вероятностей непрерывных случайных величин
- •Свойства плотности распределения
- •5.2. Числовые характеристики непрерывных случайных величин
- •5.3. Нормальный закон распределения
- •Свойства случайной величины, распределенной по нормальному закону
- •5.4. Центральная предельная теорема. Теорема Ляпунова
- •Тема 6. Двумерные (n-мерные) случайные величины
- •6.1. Способы задания двумерной случайной величины
- •Свойства двумерной функции распределения
- •6.2. Условные законы распределения
- •6.3. Ковариация и коэффициент корреляции
- •Свойства коэффициента корреляции
- •6.4. Двумерный нормальный закон распределения
- •Тема 7. Закон больших чисел
- •Неравенство Маркова (лемма Чебышева)
- •Неравенство Чебышева
- •Теорема Чебышева
- •Раздел II. Математическая статистика Тема 8. Выборочный метод. Общие вопросы
- •8.1. Понятие о вариационных рядах
- •8.2. Эмпирическая функция распределения
- •Свойства :
- •8.3. Числовые характеристики вариационного ряда
- •Основные свойства
- •Основные свойства дисперсии
- •Упрощённый способ расчёта средней арифметической и дисперсии
- •8.4. Выборочный метод
- •Тема 9. Оценка доли признака и генеральной средней
- •Точечные оценки генеральной совокупности. Свойства оценок
- •Интервальная оценка параметров
- •Доверительный интервал для генеральной средней и генеральной доли по большим выборкам
- •Объём выборки
- •Тема 10. Статистическая проверка гипотез
- •10.1. Статистическая гипотеза и общая схема её проверки
- •1) - То нулевую гипотезуотвергают,
- •2) - То нет оснований отвергнуть.
- •10.2. Построение теоретического закона распределения по опытным данным. Критерий согласия Пирсона
- •Правило проверки нулевой гипотезы
- •Тема 11. Корреляция и регрессия
- •11.1. Линейная парная регрессия
- •11.2. Оценка тесноты корреляционной зависимости
- •Свойства выборочного коэффициента корреляции r
- •Проверка значимости выборочного коэффициента корреляции
Доверительный интервал для генеральной средней и генеральной доли по большим выборкам
Рассмотрим большие выборки (порядка сотен наблюдений).
Теорема. Вероятность того, что отклонение выборочной средней (или доли) от генеральной средней (или доли) не превзойдёт по абсолютной величине число , равна:
, ;
, . -
формулы доверительной вероятности для средней и доли.
Где - функция Лапласа,и- среднеквадратические отклонения выборочной средней и выборочной доли или среднеквадратические ошибки выборки (собственно случайная повторная выборка). Если выборка бесповторная, то среднеквадратические отклонения выборочной средней и выборочной доли -и.
|
Повторная выборка |
Бесповторная выборка |
Средняя | ||
Доля |
При малом объеме выборки величина, поэтому значения для среднеквадратических ошибок при повторной и бесповторной выборке приблизительно равны между собой.
Следствия теоремы:
при заданной доверительной вероятности предельная ошибка выборки
,
, где .
доверительные интервалы для генеральной средней и генеральной доли могут быть найдены по формулам
,
.
Пример 9.1. Для определения средней урожайности пшеницы на площади 10000 Га определена урожайность на 1000 Га. Результаты выборки приведены в таблице:
Урожайность, ц/Га |
11-13 |
13-15 |
15-17 |
17-19 |
Количество, Га |
150 |
200 |
450 |
200 |
Найти:
1) вероятность того, что средняя урожайность пшеницы на всём массиве отличается от средней выборочной не более чем на 0,1 ц, если выборка:
а) повторная;
б) бесповторная;
2) границы, в которых с вероятностью 0,9973 заключена средняя урожайность на всём массиве.
Решение. Вычислим выборочную среднюю и выборочную дисперсию.
Середины интервалов равны: .
ц.
,
Исправленная дисперсия .
Запишем формулу доверительной вероятности для выборочной средней
.
а) Если выборка повторная, то , где,.
Найдем . Т.о. , а доверительная вероятность
.
б) Если выборка бесповторная, то , где.
Найдем .
Т.о. , а доверительная вероятность
.
Средняя урожайность на всём массиве заключена в границах:
.
По условию
Предельная ошибка выборки: ц. – выборка повторная,
ц. – выборка бесповторная.
Таким образом с вероятностью 0,9973 средняя урожайность на всём массиве заключена в границах: , т.е.- выборка повторная,
, т.е. - выборка бесповторная.
Объём выборки
Для проведения выборочного наблюдения важно правильно установить объём выборки при заданных величинах надёжности оценкии точности оценки. Объём выборки находится из формул предельной ошибки выборки:- при оценке генеральной средней или- при оценке генеральной доли.
Формулы для нахождения объема выборки представлены в таблице.
|
Повторная выборка |
Бесповторная выборка |
Средняя | ||
Доля |
Если найден объём повторной выборки , то объём бесповторной выборкиможно определить по формуле
.
Так как , то.
Пример 9.2.По условию примера 9.1. определить объём выборки, при котором с вероятностью 0,9973 отклонение средней урожайности в выборке от средней урожайности на всей площади посева не превзойдет 0,5 ц (по абсолютной величине).
Решение. Если выборка повторная, то ее объем .
В качестве берём состоятельную оценку;
так как по таблице. Таким образом.
Объем бесповторной выборки .