- •Министерство образования и науки российской федерации
- •Раздел I. Теория вероятностей
- •Тема 1. Случайные события
- •1.1 Классификация событий
- •1.2. Вероятность событий
- •Свойства вероятности
- •1.3. Элементы комбинаторики
- •1.4. Операции над событиями
- •Тема 2. Основные теоремы
- •2.1. Теорема сложения вероятностей несовместных событий
- •2.2. Теорема умножения вероятностей
- •2.3. Формула полной вероятности. Формулы Байеса
- •Тема 3. Повторные независимые испытания
- •3.1. Формула Бернулли
- •3.2. Формула Пуассона
- •3.3. Локальная теорема Муавра-Лапласа
- •Свойста функци , ее график
- •3.4. Интегральная теорема Муавра-Лапласа
- •Свойства функции :
- •Тема 4. Дискретная случайная величина и её характеристики
- •4.1. Понятие случайной величины
- •4.2. Закон распределения дискретной случайной величины
- •4.3. Математические операции над случайными величинами
- •4.4. Числовые характеристики дискретной случайной величины
- •Свойства
- •Свойства
- •4.5. Биноминальный закон распределения и закон Пуассона
- •4.6. Функция распределения случайной величины
- •Свойства функции распределения
- •Тема 5. Непрерывные случайные величины.
- •5.1. Плотность распределения вероятностей непрерывных случайных величин
- •Свойства плотности распределения
- •5.2. Числовые характеристики непрерывных случайных величин
- •5.3. Нормальный закон распределения
- •Свойства случайной величины, распределенной по нормальному закону
- •5.4. Центральная предельная теорема. Теорема Ляпунова
- •Тема 6. Двумерные (n-мерные) случайные величины
- •6.1. Способы задания двумерной случайной величины
- •Свойства двумерной функции распределения
- •6.2. Условные законы распределения
- •6.3. Ковариация и коэффициент корреляции
- •Свойства коэффициента корреляции
- •6.4. Двумерный нормальный закон распределения
- •Тема 7. Закон больших чисел
- •Неравенство Маркова (лемма Чебышева)
- •Неравенство Чебышева
- •Теорема Чебышева
- •Раздел II. Математическая статистика Тема 8. Выборочный метод. Общие вопросы
- •8.1. Понятие о вариационных рядах
- •8.2. Эмпирическая функция распределения
- •Свойства :
- •8.3. Числовые характеристики вариационного ряда
- •Основные свойства
- •Основные свойства дисперсии
- •Упрощённый способ расчёта средней арифметической и дисперсии
- •8.4. Выборочный метод
- •Тема 9. Оценка доли признака и генеральной средней
- •Точечные оценки генеральной совокупности. Свойства оценок
- •Интервальная оценка параметров
- •Доверительный интервал для генеральной средней и генеральной доли по большим выборкам
- •Объём выборки
- •Тема 10. Статистическая проверка гипотез
- •10.1. Статистическая гипотеза и общая схема её проверки
- •1) - То нулевую гипотезуотвергают,
- •2) - То нет оснований отвергнуть.
- •10.2. Построение теоретического закона распределения по опытным данным. Критерий согласия Пирсона
- •Правило проверки нулевой гипотезы
- •Тема 11. Корреляция и регрессия
- •11.1. Линейная парная регрессия
- •11.2. Оценка тесноты корреляционной зависимости
- •Свойства выборочного коэффициента корреляции r
- •Проверка значимости выборочного коэффициента корреляции
11.2. Оценка тесноты корреляционной зависимости
Представим уравнение (11.2) в другом виде. Подставим в него выражение для :
,
. (11.3)
Из формулы (11.3) видно, что коэффициент регрессии показывает на сколько единиц изменится переменнаяпри увеличении переменнойна 1 единицу. Это не всегда является удобным, так какзависит от единиц измерения.
Умножим на, тогда (11.3) имеет вид
.
Обозначим через . (11.4)
Определение. Величинаявляется показателем тесноты связи и называетсявыборочным коэффициентом корреляции, равный
. (11.5)
Выборочный коэффициент корреляции показывает на сколько величинизменится в среднем, когдаувеличится на одно.
Т.к. формула для (11.5) симметрична относительно двух переменных, то можно записать:
. (11.6)
Найдя произведение обеих частей равенств (11.4) и (11.6), получим
или
,
т.е. коэффициент корреляции есть средняя геометрическая коэффициентов регрессии, имеющая их знак.
Т.о. теоретическая линия регрессии поимеет вид:
.
Аналогично определяется теоретическая линия регрессии по :
.
Замечание.Обе теоретические линии регрессии проходят через точку.
Найдем уравнения теоретических линий регрессии для нашей таблицы распределения.
Вычислим коэффициент корреляции . Для этого проведем расчеты,,,,.
=,=.
=
=
Т.о.
Теоретическая линия регрессии на:
или
.
Теоретическая линия регрессии на:
или
.
Свойства выборочного коэффициента корреляции r
1) - абсолютная величина не превосходит единицы.
2) При корреляционная связь представляет собой линейную функциональную зависимость. При этом линии регрессиипоипосовпадают.
3) При линейная корреляционная связь отсутствует. Линии регрессии параллельны осям координат.
4) Если , то с.в.исвязаны корреляционной зависимостью. Чем ближек единице, тем сильнее эта зависимость.
Проверка значимости выборочного коэффициента корреляции
Пусть из двумерной генеральной совокупности извлечена выборка объемаnи по ней найден выборочный коэффициент корреляции. Так как выборка случайная, то нельзя заключить, что коэффициент корреляции генеральной совокупноститакже отличен от нуля. Поэтому при заданном уровне значимостипроверяем гипотезуоб отсутствии линейной корреляционной связи между переменными в генеральной совокупности, т.е.:.
Если нулевая гипотеза отвергается, то это означает, что выборочный коэффициент корреляции значимо отличается от нуля, а ХиYсвязаны линейной зависимостью.
В качестве критерия проверки нулевой гипотезы принимают случайную величину
.
Величина имеет распределение Стьюдента сстепенями свободы.
Правило проверки нулевой гипотезы.Для того чтобы при заданном уровне значимостипроверить нулевую гипотезу:, надо вычислить наблюдаемое значение критерияи по таблице критических точек распределения Стьюдента найти критическую точку.
Если - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.
Если - нулевую гипотезу отвергают.