6.2. Условные законы распределения

Определение. Условным законом распределения одной из случайной величины, входящих в систему, называется закон её распределения, найденный при условии, что другая случайная величина приняла определённое значение (или попала в некий интервал).

В случае двух дискретных случайных величин условным законом распределения случайной величины при условииназывается вероятность

.

Аналогично определяется условный закон распределения дискретной случайной величины при условии:

.

X Y	1	2	3
1	0,1	0,2	0,15
2	0,3	0,1	0,15

Пример 6.1.Закон распределения дискретной двумерной случайной величины задан таблицей

Найти: а)законы распределения случайных величини.

б)функцию распределения д.с.в.Х.

в)условный закон распределения с.в.YприХ = 1.

г)вероятность события.

Решение.

а)Случайная величинаХпринимает два значения:х₁ =1 их₂ =2 с вероятностями

р₁ = 0,1 + 0,2 + 0,15 = 0,45 ир₂ = 0,3 + 0,1 + 0,15 = 0,55.

Случайная величина Yпринимает три значения:у₁ =1,у₂ =2 иу₃ =3 с вероятностямир₁ = 0,1 + 0,3 = 0,4,р₂ = 0,2 + 0,1 = 0,3 ир₃ = 0,15 + 0,15 = 0,3.

Х P

1 0,45

2 0,55

Y P

1 0,4

2 0,3

3 0,3

Следовательно, законы распределения с.в. ХиYможно представить в виде

б) В соответствии с формулойполучаем:

если 0;

если 0;

Р(Х=1,Y=1) = 0,1;

Р(Х=1,Y=1) +Р(Х=1,Y=2) = 0,1+ 0,2 = 0,3;

Р(Х=1,Y=1) +Р(Х=1,Y=2) +Р(Х=1,Y=3) = 0,1+ 0,2 +

+ 0,15 = 0,45;

если 0;

Р(Х=1,Y=1) +Р(Х=2,Y=1) = 0,1+ 0,3 = 0,4;

Р(Х=1,Y=1) +Р(Х=1,Y=2) +Р(Х=2,Y=1) +Р(Х=2,Y=2) =

= 0,1+ 0,2+ 0,3+ 0,1 = 0,7;

Р(Х=1,Y=1) +Р(Х=1,Y=2) +Р(Х=1,Y=3) +Р(Х=2,Y=1) +

+ Р(Х=2,Y=2) +Р(Х=2,Y=3) = 1.

Таким образом, функция распределения с.в. ХиYимеет вид

	0	0	0	0
	0	0,1	0,3	0,45
	0	0,4	0,7	1

в)Условный закон распределенияпри условии, что Х=1, получим, если вероятности значенийнайдем с помощью формулы.

Так как , то

, ,.

Таким образом, условный закон распределения с.в. при Х=1 имеет вид

Y	1	2	3
РХ=1

г)Для нахождения вероятности событияскладываем вероятности событий для которых. ПолучимР= 0,2 + 0,15 + 0,15 = 0,5.

6.3. Ковариация и коэффициент корреляции

Для характеристики связи между величинами ислужат ковариация и коэффициент корреляции.

Определение.Ковариацией(иликорреляционным моментом)случайных величининазывается математическое ожидание произведения отклонений этих величин от своих математических ожиданий, то есть

или ,

где ,.

Из определения следует, что .

Для дискретных случайных величин.

Ковариацию удобно вычислять по формуле .

Если случайные величины инезависимы, то. Таким образом, если, то случайные величиныизависимы, в этом случае случайные величины называюткоррелированными. В случаеслучайные величиныиназываютнекоррелированными.

Ковариация характеризует не только степень зависимости двух случайных величин, но и их разброс вокруг точки . Она является величиной размерной, что затрудняет её использование для оценки степени зависимости для различных случайных величин. Этих недостатков лишён коэффициен корреляции.

Определение.Коэффициентом корреляциидвух случайных величининазывается безразмерная величина, равная

,

где - среднеквадратические отклонения соответственно величини.