Тема 3. Повторные независимые испытания

Определение. Испытания называютсянезависимымипо отношению к событию, если вероятность появленияв каждом испытании не зависит от результатов других испытаний.

Примеры таких испытаний:

1. многократное извлечение из урны одного шара, если каждый шар возвращается обратно;

2. стрельба по мишени, при условии, что при каждом выстреле вероятность попадания в мишень одинакова.

3.1. Формула Бернулли

Пусть производится несколько испытаний. В каждом из этих испытаний вероятность появления события не зависит от исходов других испытаний и является величиной постоянной равнойр. Следовательно, вероятность ненаступления события в каждом испытании также постоянна и равна.

Поставим перед собой задачу вычислить вероятность того, что в испытаниях событиепроизойдёт ровнораз.

Теорема. Если вероятность наступления события в каждом испытании постоянна, то вероятность того, что виспытаниях событие появится ровнораз равна

- формула Бернулли.

Доказательство. Предположим, что событие появилосьраз по порядку, а затемраз не появилось. Найдем вероятность событияпо теореме умножения вероятностей независимых событий

.

Число всех комбинаций будет и вероятность каждой такой комбинации равна. Т.к. все комбинации между собой несовместны, то по теореме сложения вероятностей несовместных событий имеем.

Пример 3.1. Два равносильных игрока играют в шахматы. Что вероятнее выиграть 1 раз из 2-х партий или 2 раза из 4-х?

Решение. Найдем вероятности ,по формуле Бернулли.

Вероятность выигрыша в одной партии равна , следовательно,.

Вероятнее выиграть одну партию из двух.

3.2. Формула Пуассона

Пусть мы хотим вычислить вероятность того, что при большом количестве испытаний (например, n= 500) событие появитсяkраз (пусть k = 300). Используя формулу Бернулли, имеем

.

Видно, что непосредственное вычисление по формуле достаточно громоздкая процедура.

Существуют другие формулы, позволяющие приблизительно рассчитать , есливелико, адостаточно мало, причем их произведение(будем считать).

Теорема. Если вероятность наступления события в каждом испытании стремится к нулю при неограниченном увеличении числа испытаний, причём произведениестремится к постоянному числу, то

- формула Пуассона.

Пример 3.2. Завод-изготовитель отправил на базу 12000 доброкачественных изделий. Число изделий поврежденных при транспортировке составляет в среднем 0,05%. Найти вероятность того, что на базу поступит не более 3 поврежденных изделий.

Решение. Для нахождения искомой вероятности применим формулу Пуассона. Имеем n = 12000, p = 0,0005, .

3.3. Локальная теорема Муавра-Лапласа

Теорема. Если вероятность наступления события в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность того, что событиепроизойдётраз виспытаниях при достаточно большом числеприблизительно равна

- формула Лапласа,

где ,- функция Гаусса.

Формула Лапласа даёт незначительную погрешность, если .

Для упрощения расчётов составлена таблица значений функции , которая приводится в приложениях учебников.