- •Министерство образования и науки российской федерации
- •Раздел I. Теория вероятностей
- •Тема 1. Случайные события
- •1.1 Классификация событий
- •1.2. Вероятность событий
- •Свойства вероятности
- •1.3. Элементы комбинаторики
- •1.4. Операции над событиями
- •Тема 2. Основные теоремы
- •2.1. Теорема сложения вероятностей несовместных событий
- •2.2. Теорема умножения вероятностей
- •2.3. Формула полной вероятности. Формулы Байеса
- •Тема 3. Повторные независимые испытания
- •3.1. Формула Бернулли
- •3.2. Формула Пуассона
- •3.3. Локальная теорема Муавра-Лапласа
- •Свойста функци , ее график
- •3.4. Интегральная теорема Муавра-Лапласа
- •Свойства функции :
- •Тема 4. Дискретная случайная величина и её характеристики
- •4.1. Понятие случайной величины
- •4.2. Закон распределения дискретной случайной величины
- •4.3. Математические операции над случайными величинами
- •4.4. Числовые характеристики дискретной случайной величины
- •Свойства
- •Свойства
- •4.5. Биноминальный закон распределения и закон Пуассона
- •4.6. Функция распределения случайной величины
- •Свойства функции распределения
- •Тема 5. Непрерывные случайные величины.
- •5.1. Плотность распределения вероятностей непрерывных случайных величин
- •Свойства плотности распределения
- •5.2. Числовые характеристики непрерывных случайных величин
- •5.3. Нормальный закон распределения
- •Свойства случайной величины, распределенной по нормальному закону
- •5.4. Центральная предельная теорема. Теорема Ляпунова
- •Тема 6. Двумерные (n-мерные) случайные величины
- •6.1. Способы задания двумерной случайной величины
- •Свойства двумерной функции распределения
- •6.2. Условные законы распределения
- •6.3. Ковариация и коэффициент корреляции
- •Свойства коэффициента корреляции
- •6.4. Двумерный нормальный закон распределения
- •Тема 7. Закон больших чисел
- •Неравенство Маркова (лемма Чебышева)
- •Неравенство Чебышева
- •Теорема Чебышева
- •Раздел II. Математическая статистика Тема 8. Выборочный метод. Общие вопросы
- •8.1. Понятие о вариационных рядах
- •8.2. Эмпирическая функция распределения
- •Свойства :
- •8.3. Числовые характеристики вариационного ряда
- •Основные свойства
- •Основные свойства дисперсии
- •Упрощённый способ расчёта средней арифметической и дисперсии
- •8.4. Выборочный метод
- •Тема 9. Оценка доли признака и генеральной средней
- •Точечные оценки генеральной совокупности. Свойства оценок
- •Интервальная оценка параметров
- •Доверительный интервал для генеральной средней и генеральной доли по большим выборкам
- •Объём выборки
- •Тема 10. Статистическая проверка гипотез
- •10.1. Статистическая гипотеза и общая схема её проверки
- •1) - То нулевую гипотезуотвергают,
- •2) - То нет оснований отвергнуть.
- •10.2. Построение теоретического закона распределения по опытным данным. Критерий согласия Пирсона
- •Правило проверки нулевой гипотезы
- •Тема 11. Корреляция и регрессия
- •11.1. Линейная парная регрессия
- •11.2. Оценка тесноты корреляционной зависимости
- •Свойства выборочного коэффициента корреляции r
- •Проверка значимости выборочного коэффициента корреляции
Тема 10. Статистическая проверка гипотез
10.1. Статистическая гипотеза и общая схема её проверки
Часто необходимо знать закон распределения генеральной совокупности. Если закон распределения неизвестен, но имеются основания предположить, что он имеет определённый вид, то выдвигают гипотезу: генеральная совокупность распределена по закону . Или, если закон распределения известен, а его параметры неизвестны, тогда выдвигают гипотезу: неизвестный параметр.
Определение.Статистической гипотезойназывается предположение о виде неизвестного распределения, или о параметрах известного распределения.
Кроме выдвинутой гипотезы рассматривают и противоречащую ей гипотезу.
Определение. Нулевой(основной) называют выдвинутую гипотезу.Конкурирующей (альтернативной) называют гипотезу, которая противоречит нулевой.
Выдвинутая гипотеза может быть правильной или неправильной, поэтому возникает необходимость её проверки. В результате проверки гипотезы может быть принято неправильное решение, то есть могут быть допущены ошибки:
ошибка I-го рода состоит в том, что будет отвергнута правильная гипотеза;
ошибка II-го рода состоит в том, что будет принята неправильная гипотеза.
Определение. Вероятность совершить ошибкуI-го ряда принято обозначать через- её называютуровнем значимости.
Наиболее часто уровень значимости принимают равным 0,05 или 0,01.
Например, если - это значит, что в пяти случаях из 100 имеет риск допустить ошибкуI-го рода (отвергнуть правильную гипотезу).
Вероятность допустить ошибку II-го рода – обычно обозначают.
Определение.Вероятностьне допустить ошибкуII-го рода, то есть отвергнуть гипотезу, когда она неверна, называетсямощностью критерия.
Например, с точки зрения юриста: - вероятность вынесения судом обвинительного приговора, когда на самом деле объявляемый невиновен,- вероятность вынесения судом оправдательного приговора, когда на самом деле обвиняемый виновен в совершении преступления.
Для проверки нулевой гипотезы используют специально подобранную случайную величину, точное или приближенное распределение которой известно.
Определение. Статистическим критериемназывают случайную величину, которая служит для проверки нулевой гипотезы.
Определение.Наблюдаемым критериемназывают значение критерия, вычисленное по выборке.
После выбора определенного критерия множество всех его возможных значений разбивают на два непересекающихся подмножества: одно из них содержит значения критерия, при которых нулевая гипотеза отвергается, а другая – при которых она принимается.
Определение. Критической областьюназывают совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают.
Определение.Областью принятия гипотезыназывают совокупность значений критерия, при которых гипотезу принимают.
Определение.Критическими точкаминазывают точки, отделяющие критическую область от области принятия гипотезы.
Определение. Правосторонней(левосторонней) критической областью называют критическую область определяемую неравенством, где.
Основные принципы проверки статистических гипотез: еслипринадлежит критической области, то гипотезу отвергают, еслипринадлежит области принятия гипотезы, то гипотезу принимают.
Для того чтобы найти критическую область, необходимо найти критическую точку. Для этого задают достаточно малую вероятность – называемую уровнем значимости и задают следующие условия:
- для правосторонней области,
- для левосторонней области.
Для каждого критерия существуют таблицы, по которым и находят критическую точку . Когданайдено, то по данным выборки вычисляют. Для правосторонней критической области если