5.4. Центральная предельная теорема. Теорема Ляпунова

Центральная предельная теорема представляет собой группу теорем, посвящённых установлению условий, при которых возникает нормальный закон распределения. Важное место занимает теорема Ляпунова.

Теорема Ляпунова.Если- независимые случайные величины, у каждой из которых существует математическое ожидание, дисперсия, абсолютный центральный момент 3-го порядкаи, то закон распределения суммыпринеограниченно приближается к нормальному с математическим ожиданиеми дисперсией.

Условие называетсяусловием Ляпунова. Смысл его состоит в том, что действие каждого слагаемого (случайной величины) невелико по сравнению с суммарным действием их всех. Многие случайные явления, встречающиеся в природе и в общественной жизни, протекают именно по такой схеме.

Например. Потребление электроэнергии в каждой квартире многоквартирного дома за месяц можно представить в виде различных случайных величин. На основании теоремы Ляпунова можно считать, что потребление электроэнергии всем домом будет случайной величиной, имеющей приблизительно нормальный закон распределения. При условии, что ни одна квартира резко не выделяется среди остальных. Если в какой-либо квартире, например, установлен вычислительный центр, то вывод о нормальном распределении потребления энергии всем домом неверен, так как нарушается условие, ибо потребление энергии вычислительным центром будет намного больше, чем в остальных квартирах.

Тема 6. Двумерные (n-мерные) случайные величины

Во многих практических задачах результат опыта описывается не одной, а двумя (или более) случайными величинами и. В этом случае говорят о системе двух случайных величин(или двумерной случайной величине).

Например, если обозначить через рост школьника (в сантиметрах), а через- его вес (в килограммах), то при выборе наугад учащихся некоторого класса получим значения случайной величины.

Геометрически систему двух случайных величин можно интерпретировать как случайную точку на плоскости.

6.1. Способы задания двумерной случайной величины

1) Законом рапределения дискретной двумерной случайной величиныназывается перечень возможных значений этой величины, то есть пар числаи их вероятностей, удовлетворяющих условную.

Обычно закон распределения задают в виде таблицы с двойным входом (рис.6.1).

рис. 6.1

2) Функцией распределения системы двух случайных величин называется функция, которая для любых действительных чиселиравна вероятности совместного выполнения двух событийи, то есть

.

Свойства двумерной функции распределения

1) ;

2) не убывает по каждому из своих аргументов (при фиксированном другом аргументе);

3) Имеют место предельные соотношения: ,,,;

4) При функция распределения системы становится функцией распределения составляющей:.

При функция распределения системы становится функцией распределения составляющей:.