Свойста функци , ее график

1. Чётная: , т.е. график симметричен относительно оси.

2. С осью пересекается в точке.

3. С осью не пересекается, так как при любых значенияхпоказательная функция.

4. Ось является горизонтальной асимптотой, так как.

Следовательно, - горизонтальная асимптота.

5. Исследуем функцию на экстремум. Найдем первую производную и определим критические точки:

, . Т.о.- критическая точка.

Т.к. на интервале функция возрастает, а на интервале- убывает, то

точка - точка максимума. График функции построен на рис. 3.1.

3.4. Интегральная теорема Муавра-Лапласа

Теорема. Если вероятность наступления события в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, а число испытаний достаточно велико, то вероятность того, что событиепоявится виспытаниях отдораз, приближённо равна

,

где ,,- функция Лапласа.

Существует таблица значений функции , которая приводится в приложениях учебников.

Свойства функции :

1. Нечётная: .

2. - возрастающая функция.

3. При функция приближается к 1. Поэтому в таблице для приведены значения лишь до , так как приможно принять, что .

Пример 3.3. Вероятность попадания в цель из скорострельного орудия при отдельном выстреле равна 0,75. Найти вероятность того, что при 300 выстрелах число попаданий будет не менее 210, но не более 230 раз.

Решение. По условию n= 300,p= 0,75,q = 0,25,k₁= 210,k₂= 230.

Используем интегральную теорему Муавра – Лапласа.

Имеем ,.

Тогда ,=.

Следовательно,

.

Рассмотрим следствие интегральной теоремы Муавра-Лапласа.

Следствие. Если вероятность наступления события в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то при достаточно большом численезависимых испытаний

а) вероятность того, что число наступлений событияотличается от произведения не более, чем на величину (по абсолютной величине), т.е.

.

б) вероятность того, что частота событиязаключена в пределах отдо(включительно), т.е.

,

где ,.

в) вероятность того, что частота событияотличается от его вероятностине более, чем на величину(по абсолютной величине), т.е.

.

Пример 3.2. Вероятность события в отдельном испытании. Найти вероятность того, что при 150 испытаниях частота появления этого события будет отличаться от его вероятности не более, чем на 0,03.

Решение. .

Тема 4. Дискретная случайная величина и её характеристики

4.1. Понятие случайной величины

Определение. Случайной величиной называют величину, которая в результате испытания в зависимости от случая принимает одно из своих значений.

Например, количество выпавших очков при бросании игральной кости, количество бракованных изделий в партии некоторой продукции, расход электроэнергии в организации за месяц.

Обозначают случайные величины большими буквами латинского алфавита , а принимаемые ими возможные значения – малыми буквами.

Например, если случайная величина имеет 3 возможных значения, то они обозначаются.

Определение. Случайная величина Х называется дискретной (коротко: д.с.в. Х), если множество её значений конечное или бесконечное, но счётное.