1) - То нулевую гипотезуотвергают,

2) - То нет оснований отвергнуть.

10.2. Построение теоретического закона распределения по опытным данным. Критерий согласия Пирсона

Пусть необходимо определить вид и параметры закона распределения некоторой случайной величины. Параметры распределения, как правило, не известны, поэтому их заменяем наилучшими оценками по выборке. Как бы хорошо не был подобран закон распределения, между эмпирическим и теоретическим распределениями неизбежны расхождения. Необходимо ответить на вопрос: эти расхождения являются случайными, связанными с ограниченным числом наблюдений, или они связаны с тем, что теоретический закон распределения подобран неудачно. Для ответа служат критерии согласия.

Определение. Критерий согласия– это некоторая случайная величина, характеризующая степень расхождения теоретического и эмпирического распределений.

Имеется несколько критериев согласия. Мы рассмотрим критерий согласия Пирсона(хи-квадрат). Данный критерий основан на сравнении эмпирических частот и теоретических частот.

Определение. Теоретическими частотаминазывают частоты, найденные в отличие от фактически наблюдаемых частоттеоретически и равные

,

где - число испытаний,- вероятность попадания с.в.в- й частичный интервал, вычисленная при условии, что с.в.имеет определенное распределение.

Если предполагаем, что с.в.распределена нормально, то

,

где - объём выборки;- длина частичного интервала;- выборочное среднеквадратическое отклонение;, где- серединаi-го частичного интервала,- выборочная средняя,- затабулированная функция.

Итак, пусть по выборке объёма получено эмпирическое распределение

				…
				…

Допустим, что вычислены теоретические частоты

…

При уровне значимости проверяем нулевую гипотезу- генеральная совокупность распределена по нормальному закону. В качестве критерия проверки гипотезыприменим случайную величину, равную сумме квадратов отклонений эмпирических частот от теоретических:

. (10.1)

Доказано, что при закон распределения случайной величины (10.1), независимо от того, какому закону распределения подчинена генеральная совокупность, стремится к закону распределениясстепенями свободы. Поэтому случайная величина (10.1) и обозначена через, а сам критерий называется критерием согласия.

Число степеней свободы,

где - число частичных интервалов выборки,- число параметров предполагаемого распределения. В случае нормального распределения().

Т.о. для нормального распределения.

Правило проверки нулевой гипотезы

1) Вычислить теоретические частоты .

2) Рассчитать по формуле (10.1).

3) По таблице критических точек найти.

4) Если - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Если - нулевую гипотезуотвергают.

Замечание. Объём выборки должен быть не менее 50. Каждый интервал должен содержать не менее 5 – 8 вариант. Малочисленные интервалы следует объединять с соседними, суммируя частоты.

Пример 10.1. Для заданного эмпирического распределения при уровне значимостипроверить гипотезу о нормальном распределении.

х	94-100	100-106	106-112	112-118	118-124	124-130	130-136	136-142
ni	3	7	11	20	28	19	10	2

Решение. Найдем выборочные среднюю и дисперсию

Выборочное среднеквадратическое отклонение .

Составим формулу для вычисления теоретических частот

.

Вычислим , для чего составим таблицу.

1	2	3	4	5	6	7	8	9
интервалы	Серед.
94-100	97		-2,37	0,0241		0,5	100	12,5
100-106	103		-1,73	0,0893
106-112	109	11	-1,09	0,2203	14	0,64	121	8,64
112-118	115	20	-0,45	0,3605	23	0,39	400	17,39
118-124	121	28	0,19	0,3918	25	0,36	784	31,36
124-130	127	19	0,83	0,2827	18	0,06	361	20,06
130-136	133		1,48	0,1334		0	144	12
136-142	139		2,12	0,0422
		100			100	1,95		101,95

Согласно замечанию частоты первых двух и последних двух интервалов суммируются.

Столбцы 8 и 9 служат для проверки правильности вычислений по формуле

(последняя ячейка 7 столбца)

Проверка: .

Вычисления произведены правильно.

По таблице критических точек распределения (см. приложения учебников), по уровню значимостии числу степеней свободынаходим.

Так как - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу, то есть расхождения эмпирических и теоретических частот незначимо.

Следовательно, данные наблюдений согласуются с гипотезой о нормальном распределении совокупности.