2.2. Теорема умножения вероятностей

Определение. Условной вероятностью события называют вероятность события, вычисленную в предположении, что событиеуже наступило.

Обозначают или.

Пример 2.3. В ящике 5 деталей: 3 стандартные и 2 бракованные. Дважды из него извлекается по одной детали без возврата. Найти условные вероятности извлечения во второй раз стандартной детали.

Решение. Обозначим через событие = {извлечение стандартной детали во второй раз}. зависит от того, какую деталь вытащили в первый раз. Пусть событие= {в первый раз извлекли стандартную деталь}, событие= {в первый раз извлекли бракованную деталь}. Тогда условные вероятности равны

, .

Теорема умножения вероятностей. Вероятность произведения событий и равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденную в предположении, что первое событие произошло

или .

Доказательство. Пусть количество исходов некоторого испытания равно . Из них событиюблагоприятствуетслучаев, из которых событиюблагоприятствуетслучаев. Отсюда,.

Произведению событий благоприятствуютслучаев. Найдем вероятность этого события

.

Пример 2.4. Среди 25 электролампочек 4 нестандартные. Найти вероятность того, что взятые 2 лампочки окажутся нестандартными.

Решение. 1 способ. Пусть событие А = {взяты две нестандартные лампочки}. Выбрать 2 лампочки из имеющихся 25 можно способами, а 2 нестандартные лампочки из 4 имеющихсяспособами. Отсюда ; ;.

Т.о. .

2 способ. Пусть событие= {первая взятая лампочка нестандартная}, событие = {вторая взятая лампочка нестандартная}.Найдем вероятности этих событий:

, . Согласно теореме умножения.

Теорема умножения принимает более простой вид, когда события, образующие произведение, независимы.

Определение. Событие называетсянезависимым от события , если его вероятность не меняется от того, произошло событиеили нет, т.е..

В противном случае события иназываютсязависимыми.

Теорема умножения вероятностей для независимых событий имеет вид

.

Пример 2.5. Вероятность попадания в цель для I-го стрелка равна 0,8, для II-го – 0,7, для III-го – 0,9. Каждый из стрелков делает по одному выстрелу. Найти вероятность того, что в мишени 3 попадания.

Решение. Обозначим через события А₁ = {первый стрелок попал}, А₂ = {второй стрелок попал},А₃ = {третий стрелок попал}. Т.к. событияА₁,А₂,А₃независимые, то можно использовать теорему умножения вероятностей для независимых событий

.

2.3. Формула полной вероятности. Формулы Байеса

Теорема. Если событие может наступить при условии появления одного из несовместных событий(будем называть их гипотезами), образующих полную группу, то вероятность событияравна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события

-

формула полной вероятности.

Доказательство. По условию событие может наступить, если наступит одно из несовместных событий. Т.е. появление событияозначает осуществление одного, неважно какого, из несовместных событий:.

Используем теорему сложения вероятностей несовместных событий:

. По теореме умножения вероятностей зависимых событий .

Пример 2.6. В I-м ящике содержится 2 белых и 3 черных шара, во II-м ящике – 1 белый и 4 черных шара. Из I-го ящика во II-й переложили 2 шара. Затем из II-го ящика вынули 1 шар. Найти вероятность, что этот шар белый.

Решение. Пусть событие= {из второго ящика вынули белый шар}.

Рассмотрим гипотезы:

= {из I-го ящика во II-й положили 2 белых шара} ,

= {из I-го ящика во II-й положили 2 черных шара} ,

= {из I-го ящика во II-й положили 1 белый и 1 черный шар}

.

Условные вероятности соответственно равны:

, ,.

Используем формулу полной вероятности:

.

Следствием формулы полной вероятности являются формулы Байеса. Они применяются, если событие уже произошло и необходимо определить, как при этом изменились вероятности гипотез,, …,.

Используя теорему умножения вероятностей, найдем вероятность события АВ₁

. Тогда .

Аналогично вычисляются вероятности остальных гипотез, т.е. вероятность любой гипотезы может быть вычислена по формуле

- формулы Байеса.

Пример 2.7. Два стрелка независимо друг от друга стреляют по мишени, делая каждый по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для I-го стрелка равна 0,8, для II-го - 0,4. После стрельбы в мишени обнаружена одна пробоина. Какова вероятность того, что она принадлежит II-му стрелку?

Решение. Пусть событие = {в мишени одно попадание}, а гипотезы = {оба стрелка попали в мишень},- {оба стрелка не попали в мишень},= {I-ый стрелок попал в мишень, II-ой стрелок не попал},- {I-ый стрелок не попал в мишень, II-ой стрелок попал}. Используя теорему умножения вероятностей для независимых событий, найдем вероятности гипотез

Для контроля можно найти сумму вероятностей гипотез, она должна равняться единице.

Условные вероятности равны: ,,,.

Вероятность события А по формуле полной вероятности равна

.

Найдем вероятность гипотезы В₄ при условии, что событие А уже произошло, по формуле Байеса

.