3. Теорема Чебышева

Теорема Чебышева.Если дисперсии независимых случайных величинограничены одной и той же постоянной, а число их достаточно велико, то, как бы мало ни было данное число, вероятность того, что отклонение средней арифметической этих случайных величин от средней арифметической их математических ожиданий не превзойдётпо абсолютной величине, сколь угодно близка к единице.

.

Следствие.Если независимые случайные величины имеют одинаковые математические ожидания, равные:, а их дисперсии ограничены одной и той же постоянной, то теорема Чебышева имеет вид:

.

Следствие является наиболее простой формой закона больших чисел.

Пример 7.2. Сколько надо провести измерений данной величины, чтобы с вероятностью не менее 0,95 гарантировать отклонение средней арифметической этих измерений от истинного значения величины не более, чем на 1 по абсолютной величине, если среднеквадратическое отклонение не превосходит 5?

Решение. Обозначим через- результат-го измерения. Необходимо найти, при котором.

Данное неравенство будет выполняться, если .

Т.к. неравенство имеет вид. Решая его, получим

. Т.е. потребуется не менее 500 измерений.

Раздел II. Математическая статистика Тема 8. Выборочный метод. Общие вопросы

8.1. Понятие о вариационных рядах

Пусть требуется изучить совокупность однородных объектов относительно некоторого качественного или количественного признака, характеризующего эти объекты.

Например, в партии деталей, выпускаемой заводом, контролируется размер каждой детали.

Определение.Различные значения признака, наблюдаемые у членов совокупности, называютсявариантами. Число, показывающее сколько раз встречается каждая варианта, называетсячастотой.

Чтобы рассмотреть все варианты, а затем их изучить, необходимо все варианты расположить в порядке возрастания (убывания), то есть ранжировать.

Определение.Отношение частотк общему количеству всех вариантназываетсяотносительными частотами(частостями).

Определение.Вариационным рядомназывается ранжированный ряд вариантов с соответствующими им частотами или частостями.

Вариационные ряды делятся на дискретные и непрерывные.

Определение.Вариационный ряд называетсядискретным, если любые его варианты отличаются друг от друга на постоянную величину.

Определение. Вариационный ряд называетсянепрерывным, если варианты могут отличаться один от другого на сколь угодно малую величину.

При достаточно большом количестве вариант анализ данных затруднён, поэтому производят их группировку, то есть разбивают их на интервалы.

Например, интервальный вариационный ряд составленный из данных роста рабочих некоторого предприятия:

Рост, см	Кол-во
150-160	10
160-170	20
170-180	100
180-190	50

Для графического изображения вариационных рядов наиболее часто используют полигон и гистограмму.

Определение.Полигоном частотназывают ломаную, отрезки которой соединяют точки с координатами(рис.8.1).

Определение.Гистограммой частотназывают ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат интервалы значений вариант длиной, а высоты равны частотам (или относительным частотам)интервалов.

Гистограмма служит только для изображения интервальных вариационных рядов (рис.8.2.)