Основные уравнения электромагнитных волн

Для анализа взаимодействия ВТП с ОК в различных условиях рассмотрим уравнения Максвелла, описывающие электромагнитное поле.

(1)

(2)

и- соответственно векторы напряженности магнитного и электрического поля.

- вектор магнитной индукции,

- вектор плоскости полного тока, равный сумме векторов плотности токов проводимости, токов смещения, токов переноса и сторонних токов.

.

Сторонние токи могут быть обусловлены конвекцией, диффузией, разностью температур и т.д.

В проводящей среде токи смещения малы и ими можно пренебречь:

= 0.

Векторы плотности токов проводимости и токов переноса определяются из выражений:

,

где σ - удельная электрическая проводимость,

- вектор скорости переноса.

Если объект контроля неподвижен относительно источника электромагнитного поля, то = 0 и токи переноса отсутствуют.

I. а) Если ОК ферромагнитный, то уравнение (2) можно представить в виде:

, (3)

где μd- дифференциальная магнитная проницаемость.

б) Для случая проводящей среды (=0) и отсутствия токов переноса (= 0) уравнения (1) и (3) можно свести в одно

.

Выполняя операцию ротации над обеими частями уравнения, получим:

или

(4)

в) Если среда ферромагнитная, то:

Тогда уравнение (4) есть нелинейное параболическое уравнение.

в) В случае линейной среды:

Рис. Линейная зависимость В(Н)

Тогда уравнение (4) при отсутствии сторонних токов принимает вид:

(уравнение Фурье). (5)

Если возбуждающий ток, изменяется по синусоидальному закону с круговой частотой ω (монохроматическое возбуждение), то уравнение (5) принимает вид уравнения Гельмгольца:

, где

.

Покажем это.

.

Cos(ωt+φ) можно представить в виде действительной части комплексного числа

тогда

или (6)

где , что и требовалось доказать.

При решении конкретных задач приходится пользоваться граничными условиями:

Рис. Условия на границе двух сред для тангенциальной составляющей поля

(7)

Составляющие вектора напряженности магнитного поля по обе стороны границы раздела сред имеют одинаковое значение. Составляющие вектора магнитной индукции, нормальные к поверхности раздела двух сред, имеют по обе стороны поверхности одинаковое значение.

II. Уравнения Максвелла можно свести к уравнению векторного потенциала, определяемого из выражения:

(8)

а) из уравнения (2) получим:

Или

Из уравнения (1) для случая проводящей среды и отсутствия токов переноса, получим:

(9)

Получили уравнение векторного потенциала для изотропной проводящей среды при = 0.

б) при монохроматическом возбуждении это уравнение преобразуется в уравнение Гельмгольца:

(10)

в) Если объект контроля перемещается относительно источника электромагнитного поля, то нужно учитывать и токи переноса.

Тогда уравнение (10) приобретет вид:

(11)

III. Если ОК выполнен из полупроводящего материала, то в уравнении (1) необходимо учитывать и токи смещения.

(12)

В случае монохроматического возбуждения последнее уравнение принимает вид:

, где

(13)

Связь сигналов первичных преобразователей с параметрами объекта контроля Контроль цилиндрических изделий преобразователями с однородным полем

Однородное переменное поле может быть получено двумя способами:

1. с помощью электрической катушки, длина которой в 5 раз больше среднего диаметра катушки.

2. С помощью возбуждающих катушек в виде колец Гельмгольца (L=R_в ).

Рис. Создание однородного магнитного поля с помощью катушек Гельмгольца

Рассмотрим краевую задачу распределения напряженности поля и плотности вихревых

токов в цилиндрическом объекте. Краевая задача состоит в том, чтобы найти функцию, являющуюся решением дифференциального уравнения и удовлетворяющую краевым условиям.

Примем следующие допущения: магнитное поле однородно; длина цилиндрического объекта контроля много больше Rв (радиуса возбуждающей обмотки); поле направлено вдоль оси цилиндра, его напряженность не зависит от координатыZ. Возбуждающий ток синусоидальный, токи смещения малы, сторонние тока отсутствуют; материал объекта контроля – изотропный и линейный, т.е. σ =constи μ =const, цилиндр и обмотка коаксиальны, катушка и цилиндр неподвижны.

1. Распределение напряженности магнитного поля в цилиндре:

Рис. Цилиндрический объект в магнитном поле

Для данного случая уравнение Гельмгольца имеет вид:

(1)

Задача решается в цилиндрической системе координат и сводится к решению уравнения Бесселя. Уравнение (1) в цилиндрической системе координат приобретает вид

(2)

где =_z =.

Общее решение данного уравнения имеет вид:

, (3)

и- функции Бесселя нулевого порядка первого и второго рода соответственно.

и- постоянные коэффициенты, определяемые из граничных условий:

1. ;

2. , а т.к., то.

Тогда уравнение (3) приобретает вид:

(4)

.

Подставляем это выражение в уравнении (3) при соблюдении первого граничного условия и с учетом того, что =0, получим:

(5)

Значение иопределяют по формулам или берут из таблиц (см., например, методические указания к л.р.№12).

Изобразим график изменения напряженности магнитного поля в сечении цилиндрического объекта, помещенного в соленоид, который запитан синусоидальным током.

Н_*=

Рис. Распределение модулей относительной напряженности магнитного поля (а) и плотности вихревых токов (б) в круговом цилиндре

– обобщенный параметр.

На рисунке показаны зависимости относительной комплексной напряженности магнитного поля в сечении цилиндра в зависимости от относительного радиуса цилиндра и обобщенного параметра X2.

Из графиков следует, что напряженность поля в сплошном цилиндре убывает с ростом глубины и с увеличением обобщенного параметра. Вихретоковые методы эффективны для контроля поверхностных слоев объекта.

2. Определение плотности распределения полного тока в сечении цилиндра.

Имеем для нашего случая (см. допущения):

.

Проекция rotвектора напряженности поля на направление φ определяется из выражения:

(6)

Выводы: Плотность вихревых токов убывает по мере приближения к оси цилиндра.

На оси цилиндра плотность вихревых токов равна нулю.