МОМЕНТ ОРБИТАЛЬНЫЙ И МОМЕНТ СОБСТВЕННЫЙ.
Математические выражения для квадрата спинового момента импульса электрона ( S 2 ) и его проекции на ось квантования z ( Sz )
полностью аналогичны выражениям для квадрата орбитального мо-
мента |
|
|
2 и его проекции M z . |
|
|
|||
M |
|
|
||||||
|
|
2 = l(l +1)h2 |
|
2 = S(S +1)h2 |
|
|||
|
M |
S |
|
|||||
( l = 0,1,2... ) |
|
( s = + 1 |
) |
( 38 ) |
||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
M z = mh |
Sz = ms h |
|
|
|||||
( m = 0,±1,... ± l ) |
( ms = ± 1 |
) |
|
|||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
Однако, квантовое число спинового момента (s) в отличие от l
может |
|
|
принимать лишь одно значение |
s = + |
1 |
, и тогда: |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
S = |
1 |
1 |
|
h = |
3 |
h ( 39 ). |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
+1 |
2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Итак, спиновый момент электрона, или, короче, его спин ра-
вен 
23 h.
Иногда об электроне говорят, как о частице с полуцелым спином, имея в виду значения квантового числа s, а не величину собственного момента электрона S. Особо следует сказать о часто встре-
чающихся формулировках "спин электрона может быть равен + 12
или - 12 ", или " электрон со спином вверх и вниз". В обоих случаях
73
речь идет не о спине электрона - момент не может быть отрицательным (смотрите (38) и (39)), а о значениях квантового числа ms , ха-
рактеризующего проекцию спинового момента электрона на ось квантования.
АЛГЕБРА СПИНОВ.
Так как понятие о спине не имеет классического аналога, (как утверждает ВКМ), то получить выражение для оператора спинового момента импульса электрона так как это мы делали раньше, т.е. исходя из канонической классической формулы для данной физической величины, невозможно. Однако, было установлено, что коммутационные соотношения для операторов квадрата собственного мо-
мента импульса электрона |
|
2 и его проекций |
Sx , |
S y и Sz аналогич- |
|||||||||||||
S |
|||||||||||||||||
ны приведенным выше соотношениям |
для |
операторов |
|
2 , |
|||||||||||||
M |
|||||||||||||||||
M x , M y , M z , т.е. |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
2 = S)x2 + S)y2 + S)z2 ; |
|
|
|
|
|
|||||||||
S |
|
|
|
|
|
||||||||||||
[Sx , S y ] = ihSz ; [S y , Sz ] = ihSx ; [Sz , Sx ] = ihS y ; |
|
|
|
||||||||||||||
[ |
|
2 , S)x ] = [ |
|
2 , S)y ] = [ |
|
2 , S)z ] = 0 . |
|
|
|
|
|
||||||
S |
S |
S |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Коммутирующим операторам |
|
2 и |
Sz |
отвечают только две |
||||||||||||
|
S |
||||||||||||||||
собственные функции (соответственно, двум возможным значения проекции спинового момента). Эти функции обозначаются символами "α " и " β " и удовлетворяют следующим соотношениям :
S)zα = mshα = + |
1 hα ; |
|
S)z β = ms hβ = − |
1 |
hβ ; |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
) |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
1 |
1 |
2 |
3 |
2 |
|
2 |
|
3 |
2 |
β . |
||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
S |
α = s(s +1)h |
α |
= |
|
|
|
+1 h α = |
|
h α |
|
S |
|
β = |
|
h |
||||
2 |
2 |
4 |
|
|
4 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
При этом функции α и β ортогональны и нормированы на единицу.
МАГНИТНЫЕ МОМЕНТЫ
С механическим моментом электрона (как орбитальным, так и спиновым) связаны соответствующие магнитные моменты. Если воспользоваться классической моделью, то величина орбитального магнитного момента " µорб ", отвечающего движению электрона со
скоростью |
"ν " |
по |
круговой |
орбите радиуса "r", равна: |
||||
µорб = − |
e |
M = −γM |
, |
где |
γ = |
e |
- гиромагнитное отношение, т.е. |
|
2mc |
2mc |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||
отношение величины магнитного момента к механическому.
74
Поскольку |
M = |
l(l +1) h, то µорб = − |
l(l +1) |
eh . |
||
|
eh |
|
|
|
2mc |
|
Величина |
≡ βM = 9,2731 10−21 эрг/г сек - представляет собой |
|||||
2mc |
||||||
|
|
|
|
|||
атомную единицу магнитного момента называемую "магнетоном Бора".
По аналогии с орбитальным моментам |
вводится |
спиновый |
|||
момент электрона " µсп ": µсп = γ спS . При этом |
γсп = |
e |
, |
что в два |
|
mc |
|||||
|
|
|
|
||
раза больше гиромагнитного отношения для µорб .
Учитывая, что |
S = |
s(s +1) h, где ( s = |
1 ), получаем: |
||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
µсп = |
eh |
|
1 |
1 |
|
= 3βM . |
|
mc |
2 |
|
+1 |
|
|||
|
|
2 |
|
|
|
||
Взаимодействие магнитных полей, создаваемых орбиталь-
ным и спиновыми моментами электрона, называется спинорбитальным взаимодействием. Его строгое рассмотрение возможно только в рамках релятивисткой квантовой механики.
Рассмотрим критически последнюю фразу. Ясно, что природа спина электрона, (или другой микрочастицы), который, вращаясь, не теряет энергию, не может быть описана никакими существующими соотношениями, будь они релятивистскими, или феноменологическими. Причина этого заключается в том, что явление, понимаемое как спин, являющееся следствием вращения тела с массой покоя вокруг собственной оси. Это тело, рано, или поздно, должно остановиться. Кроме того, еще Гаудсмит и Уленбек отметили, что любые, даже самые оптимистические оценки приводят к тому, что окружная скорость вращения «поверхности» микрочастицы типа «электрон» вокруг своей оси превышает скорость света, что не укладывается в рамки теории относительности Эйнштейна.
С другой стороны, и орбитальный момент из таких же соображений не является «законным», то есть непрерывное вращение тела с массой покоя вокруг некоторого центра вращения приводит к потере энергии, и об этом мы уже упоминали. То есть, «некоторое незаконное действие» мы ставим в качестве прообраза другому «действию» (природе спина), которое мы таким путем хотим «узаконить».
Если мы опять вспомним физику принципа неопределенно-
сти, то мы сможем оправдать поведение электрона на орбите, который двигается по ней, только имея импульс, и останавливается, приобретая координату. То есть электрон вращается вокруг
75
некоторого центра не все время, а только во время потери им-
пульса. И орбитальный момент этого импульса существует только этот короткий промежуток времени. Делает это электрон не сам по себе, а во взаимодействии с окружением. Если проигнорировать все другие взаимодействия, кроме взаимодействий с ядром, то исходя из сказанного, в окрестностях ядра существует точка (или, область), в которой электрон испытывает равенство сил притяжения к ядру и сил отталкивания от него, и покоится в этой точке. Он может в ней покоиться неопределенное время, пока внешнее воздействие не лишит его этой координаты.
Для спина мы такое оправдание привести не сможем. Остается единственный вариант, в котором микрочастица с массой покоя представляет собой не вращающуюся «массу покоя», а вращающийся объект, не теряющий при этом энергию, двигающийся вокруг некоторого центра со скоростью света. Таким объектом может быть только фотон, или цуг фотонов, не имеющий массу покоя, но несущий энергию. Остановиться в пространстве в одной точке такой объект не может, но он может вращаться в ограниченной области пространства вокруг некоторого центра. Именно таким образом он генерирует массу покоя, локализованную в этой области пространства. Кроме того, он генерирует при этом явление, называемое заряд. Поскольку все происходит через вращение, он генерирует спин. Кроме того, он генерирует параллельное спину магнитное поле, которое (если принять эту гипотезу) вовсе не обязательно является следствием электрического поля заряда, а сопутствует ему как неотъемлемая компонента. Кроме того, при этом может существовать еще дополнительное количество подобных компонент, о которых пока ничего сказать нельзя по причине отсутствия прямых и воспроизводимых экспериментов. Кроме одного – главного. Абсолютно точно экспериментально установ-
лено, что нечто вращается вокруг центра вращения без остановки, не теряя энергию, генерируя массу покоя, заряд и магнитное поле.
76