Лекция 11.

Функция распределения электронов Кинетическое уравнение для плазмы

Для каждого сорта зарядов можно записать их плотность как интеграл от функции распределения по скоростям

. (11.1) Зависимость от r указывает, что плазма может быть пространственно неоднородной. Если время столкновения значительно меньше времени между столкновениями, то можно учитывать только макроскопическое поле Е. Если за интересующее нас время плазму можно считать бесстолкновительной, то материальная производная df/dt (производная вдоль траектории) от функции распределения равна нулю (теорема Лиувилля). Поскольку

, из уравнения (11.1) получаем закон сохранения плотности частиц в элементе объема, движущемся вместе с выделенной группой частиц:

. (11.2) Дописав условие согласования внешнего поля с пространственным зарядом плазмы

, (11.3) получим систему самосогласованных уравнений, которые используются для вычисления функции распределения электронов в низкотемпературной плазме, находящейся во внешнем электрическом поле. Если в установлении функции распределения существенную роль играют столкновения, то в правой части уравнения (11.2) вместо нуля появится интеграл столкновений (df/dt)_стол. Поскольку в большинстве процессов функция распределения по скоростям тяжелых частиц не играет существенной роли, то обычно рассматривают только функцию распределения электронов (ФРЭ), средняя энергия которых часто бывает значительно выше, чем температура ионов и газа. Знание функции распределения электронов очень важно для понимания процессов в ионизованном газе и для вычисления многих макроскопических характеристик плазмы. Например, несимметричная часть функции распределения определяет величину теплопроводности и электропроводности среды, а особенности высокоэнергетического хвоста симметричной части функции распределения определяют скорости ионизации, диссоциации, рекомбинации и возбуждения атомов и молекул.

Заменив в уравнении (11.2) q на (– e ), запишем уравнение для функции распределения электронов, сталкивающихся с тяжелыми частицами в присутствии электрического поля

. (11.4) Символом (df/dt)_стол обозначен интеграл столкновений, явный вид которого зависит от типа столкновений и параметров плазмы.

Решение этого уравнения в общем виде очень сложное, так как в общем случае в его правой части следует учитывать столкновении электронов с электронами, атомами и ионами, что делает уравнение нелинейным. В низкотемпературной плазме, однако, достаточно учитывать столкновения электронов только с нейтральными частицами. Поскольку они имеют большую массу, и их скорости малы, можно не учитывать их функцию распределения и использовать модель тяжелых, покоящихся атомов и молекул. Разделив столкновения на упругие и неупругие, можно записать интеграл столкновений в виде суммы двух интегралов:

, (11.5) а ФРЭ можно записать в виде

, (11.6) где – угол между направлением скорости электрона и направлением внешнего поля, f₀ – симметричная часть ФРЭ и f₁ – асимметричная часть ФРЭ. Симметричная часть ФРЭ f₀ описывает энергетический спектр электронов

. (11.7) Асимметричная часть ФРЭ f₁ описывает процессы переноса, такие как электрический ток ( ):

. (11.8)

Используя приближение (11.6) можно получить два дифференциальных уравнения

(11.9) и

, (11.10) где – эффективная частота столкновений, которые определяют симметричную и несимметричную части функции распределения. Они справедливы для любой зависимости E(t). Система двух уравнений связывающих f₀ и f₁ не имеет общего решения.

Уравнение для энергетического спектра электронов

В частном случае, когда

, (11.11) можно считать, что симметричная часть ФР f₀ состоит из двух частей: основной, медленно меняющейся со временем благодаря неупругим столкновениям и постепенному набору энергии от поля (влияние второго члена в правой части уравнения (11.9)), - и поправки, связанной с влиянием первого члена. Так как f₁ ~ E₀, то этот член ~ (E₀)² и осциллирует с частотой приложенного поля. Средняя величина этого члена и определяет темп набора энергии от поля. Поскольку эти быстрые осцилляции не существенны для формирования энергетического спектра, при решении уравнения используют усредненные за период значения  f₀ и  , т.е. пренебрегают “мелкими” вариациями ФРЭ в течение периода и считают, что она заметно изменяется в течение многих периодов.

Поэтому при интегрировании уравнения (11.10) мы подставим усредненную за период производную  . В результате получим линейное уравнение

, (11.12) которое решается методом интегрирующего множителя

. (11.13)

В нашем случае

, (11.14) а

. (11.15)

Решив систему (11.13-11.15), получим

. (11.16)

Введя обозначение

,

Найдем решение для несимметричной части функции распределения

. (11.17) Видно, что и осциллирует с частотой внешнего поля, но со сдвигом по фазе на угол . В пределах высоких частот . Тогда и

, (11.18) где - амплитуда колебательной скорости электрона в осциллирующем поле

. (11.19) Поскольку , где  - характерная скорость теплового движения, получим в высокочастотном пределе оценку для :

. (11.20)

В пределах низких частот сдвиг по фазе мал, и мы имеем

. (11.21)

Последнее выражение можно сразу получить из уравнения (11.10), положив . Асимптотическое значение , устанавливающееся через одно столкновение в пределе , есть

, (11.22) где представляет собой абсолютную величину дрейфовой скорости электрона. Выражения (11.20) и (11.22) определяют критерии малости поправки к симметричной ФРЭ, которое можно сформулировать так:

Асимметрия функции распределения электронов по скоростям может считаться малой, если амплитуда скорости колебаний электрона в переменном поле или дрейфовая скорость в постоянном поле малы по сравнению со средней тепловой скоростью электрона.