Уравнение для симметричной части функции распределения
Подставив (11.16) в (11.9), получим уравнение для функции , определяющей энергетический спектр электронов. При этом мы проведем усреднение за период осцилляций поля с учетом выражений и . Далее для упрощени записи знак усреднения в выражении опустим. Тогда
. (11.23)
Заменив на - величину среднеквадратичного поля, получим окончательно
. (11.24) Полученное уравнение спраедливо и для переменного, и для постоянного поля. (11.24) можно преобразовать в уравнение для ФРЭ по энергиям. Вспомнив одно из ее определений , из (11.23) получим
, (11.25)
где . (11.26)
(выражение в литературе часто тоже называют функцией распределения электронов по энергиям).
Сделаем дальнейшее преобразование в уравнении (11.25), раскрыв производную
. (11.27)
В результате получим выражение
, (11.28) которое после введения обозначений
; (11.29)
; . (11.30) принимает вид
, (11.31) аналогичный уавнению одномерной диффузии частиц. Очевидно, что по физическому смыслу уравнение (11.31) является уравнением диффузии электронов в энергетическом пространстве. Здесь играет роль координаты, J – поток, Q – источник, – коэффициент диффузии (велчина которого зависит от “координаты”) и – скорость.
Диффузия частицы в пространстве энергий связана со случайным характером набора и потери энергии при столкновениях частицы, дрейфующей в поле со скоростью , с другими частицами:
. (11.32)
Скорость сноса , очевидно, связана с набором энергии от поля
. (11.33) В этих формулах - амплитуда колебательной скорости электрона в переменном поле или скорость дрейфа в постоянном. Исходя из понятия о потоке энергии, теперь легко дополнить полученные для ФРЭ уравнения опущенными ранее членами, связанными с упругими потерями. Эти потери вызывают дополнительный поток по шкале энергий в сторону уменьшения . Потери энергии за одно столкновение
. (11.34) Поэтому скорость движения вниз
. (11.35) Иначе говоря, к потоку J следует добавить . Вернувшись к исходным уравнениям, получим искомые выражения
; (11.36)
, (11.37) в которых теперь учтена роль упругих потерь в формировании ФРЭ.