В тоже время произведение операторов B) = dxd и C = C (опера-

тор умножения на постоянную величину), действуя на ту же функцию x2 будет давать один и тот же результат независимо от порядка операторов - сомножителей.

Выделим замеченную особенность в подзаголовок:

КОММУТАТОРЫ ОПЕРАТОРОВ

Два оператора A и B называются коммутирующими, если

коммутатор таких операторов [ ˆ ˆ ] ≡ 0.

A, B

Для того, чтобы две величины A и B могли иметь определенные значения в некотором состоянии, описываемом волновой функцией Ψ(x, y,z ) , эта волновая функция, очевидно, должна быть собст-

венной функцией операторов A и B , т.е. должны иметь место два уравнения: AΨn = AΨn и BΨn = BΨn .

Можно доказать, что это условие будет выполняться только в случае коммутации операторов A и B : [ ] ≡ 0

Таким образом, если две квантово-механические величины имеют одновременно определенные значения, то отвечающие им операторы коммутируют, и наоборот, если двум физическим величинам отвечают коммутирующие операторы, то эти величины будут одновременно иметь определенные значения. Если же операторы не коммутируют, то соответствующие физические величины либо не могут иметь одновременно определенных значений, либо имеют их только в особых случаях.

ПРИМЕРЫ КОММУТАТОРОВ, КОММУТАЦИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ.

Одноименные координата и проекция импульса не могут иметь одновременно определенных значений, т.к. отвечающие этим величинам квантово-механические операторы не коммутируют:

64

Коммутатор этих операторов не равен нулю, т.е. [x), p)x ] = ih ≠ 0 .

случае коммутатор - мнимая величина (комплексная). Другие примеры коммутационных соотношений:

иметь одновременно определенные значения. Исключением является случай, когда момент импульса равен нулю (соответственно, и l = 0), так как при этом M x = M y = M z = 0 . Заметим, что момент им-

пульса равен нулю, когда он отсутствует, и при этом, конечно, отсутствуют все проекции моментов импульсов на координатные оси.

В то же время квадрат момента импульса и одна из его проекций (скажем, M z ) могут иметь одновременно определенные значе-

ния. Поэтому - то, говоря о понятии момента импульса в механике, мы рассматриваем только собственные функции двух операторов:

M 2 и M z

Как связана неопределенность при одновременном определении значений со случаем не коммутирующих операторов?

Мера "разброса" - дисперсия, которая определяется средним

вектор.

Как было показано Вейлем и Шредингером, для физических величин

возможное значение произведения неопределенностей величин А и В. Для частного случая:

Это полностью согласуется с приведенным ранее соотношением неопределенностей Гейзенберга. Отметим этот маркированный

65

список из трех пунктов специальной меткой, чтобы в дальнейшем более детально обсудить его. *****

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОЖИДАНИЯ. СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ.

Если состояние микросистемы описывается волновой функцией Ψn , являющейся одной из собственных функций оператора L , то

в этом состоянии физическая величина L имеет определенное значение Ln , которое мы и должны получить экспериментально.

Когда же волновая функция Ψ не совпадает ни с одной из собственных функций оператора L , то в этом состоянии величина L не имеет определенного значения. При измерениях, проводимых над системой, может с определенной вероятностью получиться любое собственное значение Ln .

Пусть имеется совокупность совершенно одинаковых экземпляров системы, находящихся в состоянии, описываемом функцией Ψ (например, атомов водорода в количестве числа Авогадро). Производя измерения величины L в каждой системе, мы получим набор значений этой величины и определим ее среднее значение (матема-

ЕслиΨ - собственная функция оператора L (т.е. LΨ = Lm Ψ ), то

L = ∫Ψ L)Ψdv = Lm ∫Ψ Ψdv = Lm ,

т.е. величина L имеет вполне определенное значение (дисперсия ∆L2 = 0 ), равное одному из собственных значений оператора L.

Записывая формулу (29), мы полагали, что функция Ψ нормирована на единицу. В противном случае формула (29) усложняется и принимает вид:

)

L = ∫Ψ LΨdv ( 30 ).

∫Ψ Ψdv

Заметим, что все средние значения могут быть заданы точно, но не все – одновременно.

ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ И СТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ.

В классической механике существует термин: интеграл движения. Им обозначают физические величины, сохраняющие при движении постоянное значение, определяемое начальными условиями. Есть такие величины и в квантовой механике, их среднее значения в любом состоянии не изменяются с течением времени.

66

Чтобы квантово-механическая физическая величина L была интегралом движения, (то есть, чтобы она была собственным значением оператора L ), и для нее был бы справедлив соответствующий закон сохранения, необходимо, чтобы оператор L отвечал двум условиям:

а) не зависел явно от времени, б) коммутировал с гамильтонианом, то есть, чтобы выполня-

лось условие ( [H , L] ≡ 0 ).

Рассмотрим один простой пример: Гамильтониан свободного электрона, то есть такого, на который не действует внешнее поле

То есть, если свободный электрон в начальный момент времени находился в состоянии с определенным импульсом, то это значение импульса будет сохраняться во времени.

Остановимся на понятии "стационарного состояния". Рассмотрим систему, у которой оператор Гамильтона не зависит явно от времени. В этом случае волновое уравнение Шредингера (14) допускает разделение переменных:

Ψ(x, y,z,t ) =ψ(x , y,z ) f(t ).

Учитывая (26)

Шредингера из третьей лекции, получаем:

Hψ(x, y,z ) = Eψ(x, y,z ) (32).

Это стационарное уравнение Шредингера. Его решения ψ(x, y,z )

соответствуют состояниям системы, в которых энергия имеет определенное значение. Такие состояния называются стационарными.

Решением уравнения (31) будет экспоненциальная функция

f(t ) = e(− i h)Et .

67

Из сказанного следует, что волновая функция стационарного состояния имеет вид: Ψ(x, y,z,t ) =ψ(x, y,z )e(− i h)Et (33).

Таким образом, стационарным в квантовой механике будет не такое состояние, которое вообще не зависит от времени, но то, которое зависит от него по приведенному выше закону (33).

Важная особенность стационарного состояния состоит в том, что в нем математическое ожидание любой физической величины, оператор который не зависит от времени явно, является ве-

личиной постоянной. В самом деле:

Нетрудно показать, что распределение электронной плотности в стационарном состоянии также независимо от времени:

Отсюда, кстати, следует, что всякие утверждения о самопроизвольном изменении характера ее (электронной плотности) распределения в изолированной молекуле, например, переходы типа:

Являются, с позиций квантовой механики, ошибочными.

Если критически оценивать выделенные знаком ***** позиции, а также полученные нами особенности стационарного состояния, мы вынуждены констатировать, что существует не само стационарное состояние, но его физика. Коммутационные соотношения показывают, что динамические и статические операторы никогда не коммутируют. Но тогда необходимо строго констатировать, что последовательное действие операторов помещают объект (электрон, или другую элементарную частицу) то в состояние наличия координаты (и отсутствия импульса), то в состояние движения, наличия импульса и процесса его потери (и отсутствия координаты). Как только импульс потерян, (то есть микрочастица входит в «фазу его отсутствия»), микрочастица приобретает координату. Это наводит на мысль, что отличие

микро – и макромеханики есть недоразумение, или, попросту, фикция.

68