ЛЕКЦИЯ 6

ПОВЕДЕНИЕ ЭЛЕКТРОНА В НЕКОТОРЫХ УСЛОВИЯХ

Итак, в вероятностной интерпретации поведения электрона мы должны определить какие-то аспекты его состояния. При этом квадрат его волновой функции, пропорциональный единичной (условие нормировки) вероятности существования его в определенной области пространства, должен содействовать возникновению информации об энергетических и реально-пространственных характеристиках этой микрочастицы. При этом электрон обладает чертами неопределенного (вероятностного) поведения (то ли в координатной, то ли в импульсной системе пространств). Эти обстоятельства заставляют понимать электрон как частицу, с бешеными скоростями перемещающуюся в некоторых ограниченных областях атомов, при этом не растрачивающую свою энергию в некотором «стационарном» состоянии. Рассмотрим доступные пониманию особенности поведения электрона.

ЭЛЕКТРОН В ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЯМЕ.

Разберем конкретную задачу о поведении (одномерном движении) электрона в потенциальной яме шириной "а" с бесконечно высокими стенками. Электрон движется вдоль оси "х" в обоих направлениях (вперед и назад), но не может по условию задачи находиться вне ямы, где U = ∞ ; Поэтому его волновая функция Ψ(x ) = 0 при x ≤ 0 и x ≥ a. Найдем выражение для функцииΨ(x ) и энер-

гии электрона внутри между точками 0 и "а".

Уравнение Шредингера для этой области, если принять в ней U(x ) = 0 имеет вид:

69

Ψ(x ) = Asin kx + B cos kx ( 35 ).

В формуле (35) коэффициенты А и В не равны нулю одновременно - в противном случае получается нулевое (тривиальное ) решение.

Учтем граничные условия:

а) Ψ(0) = Asin k 0 + B cos k 0 = B = 0

б) Ψ(a ) = Asin k a = 0.

Коэффициент В оказался равен нулю. Если нас интересует нетривиальные решения, нужно положить A ≠ 0. Тогда sin k a = 0 ; откуда: ka = nπ ,

где n - целое число.

Из формулы (36) видно, что энергия электрона может принимать только определенные значения, т.е. квантоваться. Эти значения −собственные значения уравнения (34) образуют систему энергетических уровней, нумеруемых квантовым числом "n" (смотри схему, приведенную ниже). Квантование энергии не было заложено в условие задачи, а появилось в процессе ее решения вследствие учета граничных условий, которые, в свою очередь, вытекают из физических ограничений, налагаемых на движение.

Теперь можно записать выражение для собственных функций

Эта функция удовлетворяет всем стандартным условиям.

70

Увеличение симметрии системы приводит к вырождению по энергиям некоторых состояний. Связь симметрии системы и структурой вырождения является одной из глубоких далеко ведущих идей

Как видно: E12 ≠ E21 , следовательно вырождение отсутствует (смотри схему выше). Если a = b , то в обоих состояниях энергия системы одинакова:

или в общем случае

Enxny = 2πma2h22 (nx2 + n2y )

Вырождение - ( nx2 + n2y ) = const при соответствующих "n".

ЭЛЕКТРОННОЕ ВЕРЕТЕНО. СПИН

Для учета теории относительности при движении электрона, необходимо пользоваться уравнением Дирака вместо уравнения Шредингера. При этом получается, что у электрона существует собственный момент импульса, и собственный магнитный момент. Собственный момент электрона ( S ) называется также спиновым (от латинского глагола - прясть, крутиться). Спин – это, как следствие вероятностной квантовой механики, внутренняя степень свободы электрона, имеющая сугубо квантовый характер. При переходе к классической механике спин обращается в нуль, и в этом смысле он не имеет классического аналога. Понятие о спине строго следует из релятивистской квантовой теории. Но это понятие вводится и в нерелятивистскую теорию, как величина, необходимая для правильного описания ряда опытов. Такую теорию называют феноменологической или полуэмпирической, и такое понимание спина характерно для всех аспектов квантовой химии.

72