ЛЕКЦИЯ 2 ЭЛЕКТРОН - ВОЛНА И ЧАСТИЦА

Обратим внимание на такой эксперимент. Электроны, определенной энергии, вылетая из источника, по одиночке проходят через маленькие отверстия в поставленной на их пути преграде, а затем попадают на фотопластинку, или на люминесцирующий экран, где оставляют след. После проявления фотопластинки на ней можно увидеть совокупность чередующихся светлых и темных полос, т.е. дифракционную картину, которая представляет собой довольно сложное физическое явление, включающее, как, собственно, дифракцию (т.е. огибание волной препятствия) так и интерференцию (наложение волн).

Не останавливаясь на деталях, рассмотрим это явление. Отметим следующие моменты:

−и дифракция, и интерференция, наблюдаемая в таком опыте

сэлектронами, говорят о проявлении ими (и, вообще, микрочастицами) волновых свойств, ибо только волны способны огибать препятствие и налагаться друг на друга в месте встречи;

−даже, когда электроны проходят через отверстие по одиночке (т.е. с большим интервалом) результирующая дифракционная картина остается такой же, как при массированном обстреле, что говорит

опроявлении волновых свойств каждым отдельным электроном;

−чтобы объяснить дифракцию электронов, необходимо сопоставить с их движением какую-то волновую функцию, свойства которой должны определять наблюдаемую дифракционную картину. Но раз есть волновая функция, то должно быть и волновое уравнение, решением которого эта функция является.

Таким образом, мы начнем изучение не самого уравнения, а функции, т.е. решения волнового уравнения. Но вначале мы вспомним принцип Гамильтона, работающий в квантовой механике как аксиома.

ПРИНЦИП ГАМИЛЬТОНА

В 1833г. сэр Гамильтон в работе "Об общем методе выражения путей света и планет с помощью коэффициентов некоторой характеристической функции" изложил идею, которая состояла в следующем:

Изложение законов механики начинается обычно с законов Ньютона. Но, можно начать с "другого конца", а именно с формулировки весьма общего утверждения, именуемого принципом наименьшего действия. Согласно этому принципу реальному движению механической системы (в отличии от всех других ее мыслимых

39

движений) отвечает экстремальное (а для достаточно малого промежутка времени ∆t = t2 − t1 − минимальное) значение интеграла, назы-

t2

ваемого "действием" S = ∫Ldt ,

t1

где L - некоторая функция координат, скоростей и, вообще говоря, времени, именуемая "функцией Лагранжа".

Как показал Гамильтон, любой величине в механике отвечает аналогичная ей величина в геометрической оптике. Так, распространение плоской волны можно представить, как перемещение в пространстве поверхности постоянной фазы ϕ = const . В то же время движению системы тождественных материальных точек вдоль пучка траекторий можно сопоставить перемещение в пространстве некоторой поверхности постоянного действия S = const. Аналогия "фаза"- "действие" может быть продолжена, тогда "подобными" окажутся такие величины как энергия и частота, а также импульс и волновой вектор, (то есть, подобны формулы, хотя смысл различен).

E = − ∂∂St ; ω = − ∂∂ϕt ; p = S ; k = ϕ .

− ″набла″оператор, введенный Гамильтоном

= ∂∂x i + ∂∂y j + ∂∂z k .

Обнаруженная Гамильтоном оптико−механическая аналогия более 100 лет не привлекала внимания. И только де Бройль понял значение этой аналогии для двойственной природы микрообъекта (на соотношении де Бройля мы остановимся позднее). Однако для дальнейшей работы нам понадобится сопоставить объект с массой покоя и волну.

ФОРМУЛА ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ.

Согласно принципу Гамильтона одномерному движению электрона (объекта с массой покоя) в направление оси "x" можно сопоставить плоскую монохроматическую волну:

Ψ− амплитуда (с максимальным абсолютным значением A) ,

λ- длина волны, ν - частота, t - время.

40

Введем круговую частоту ω = 2πν и волновой вектор k = 2λπ n ,

где n −единичный вектор, указывающий направление перемещения плоской волны; Тогда:

Ψ= Acos(kx −ωt)

Ψ= Asin(kx −ωt) (6)

Выражение (kx − ωt) называется фазой волны (ϕ ).

Удобнее записать выражение (6) в эквивалентной комплексной форме:

Ψ = A(cosϕ + i sinϕ) = Aeiϕ , (7)

где A − тоже может быть комплексным. Выражение eiϕ = cosϕ + i sinϕ (8) − формула Эйлера.

Функция (8) периодична с периодом 2πn ( n = 0, ±1; ±2;...). В

(7) имеются как волновые так и дискретные характеристики соответствующие периоду (8). Таким образом, мы сделали первый шаг к получению волновой функции, которая сопоставима движению свободного электрона, написав формулу (7).

ЭКСПЕРИМЕНТЫ ПОИСКА ЭЛЕКТРОННЫХ ОБОЛОЧЕК.

Итак, электрону может быть сопоставлена частица без массы покоя, проявляющая волновые свойства. Этот факт был на основании принципа Гамильтона сначала предсказан выдающимся французским физиком Луи де Бройлем в 1924г, а затем установлен экспериментально в 1927г. американцами Дж. Дэвиссоном и А. Джермером.

Луи де Бройль предположил, что свободно движущемуся электрону с импульсом p и энергией E можно сопоставить волну с волновым вектором k и частотой ω , причем:

(Вспомним, что h = 2hπ = 1,054 10−34 Дж с )

Эти соотношения сыграли выдающуюся роль, в истории создания квантовой физики, поскольку являются соотношениями, доказанными экспериментально. Разберемся в сути экспериментов Дэвиссона и Джеррмера. Дэвиссон, изучая отражение электронов от твердых тел, стремился "прощупать" конфигурацию электрического поля, окружающего отдельный атом, т.е. искал электронные оболоч-

41

ки атомов. В 1923г. совместно со своим учеником Г. Кансманом он получил кривые распределения рассеянных электронов по углам в зависимости от скорости первоначального (нерассеянного) пучка.

Схема установки очень проста, изменяли энергию пучка, угол падения на мишень, положение детектора. Согласно классической физике, рассеянные электроны должны вылетать во всех направлениях. Их интенсивность не должна зависеть ни от углов, ни от энергии. Так и получалось в опытах Дэвиссона и Кансмана. Почти ..., но небольшие максимумы на кривых распределения по углам от энергий все-таки были, их объяснили неоднородностью полей около атомов мишени. Немецкие физики Дж. Франк и В. Эльзассер предположили, что это − от дифракции электронов. Спор помог разрешить случай. В 1927г. Девиссон вместе с Джермером проводил опыт с никелевой пластинкой. В установку случайно попал воздух, и поверхность металла окислилась. Пришлось удалить окисную пленку отжигом кристалла в высокотемпературной печи в восстановительной среде, после чего опыт продолжили. Но результаты стали иными. Вместо монотонного (или почти монотонного) изменения интенсивности рассеянных электронов от угла наблюдались ярко выраженные максимумы и минимумы, положение которых зависело от энергии электронов. Причина столь резкого изменения картины рассеяния − образование в результате обжига монокристаллов никеля, которые служили дифракционными решетками. Если де Бройль прав, и электроны обладают волновыми свойствами, то картина рассеяния должна напоминать рентгенограмму, а расчет рентгенограммы проводится по формуле Брэгга, которая была уже известна. Так, для случая, представленного на рисунке, угол α между плоскостью Брэгга и направлением максимального рассеяния электронов составляет 650. Измеренное рентгенографическим методом расстояние "а" между плоскостями в монокристалле Ni равно 0,091 нм.

Уравнение Брэгга, описывающее положение максимумов при дифракции, имеет вид: nλ = 2asinα (n - целое число).

Принимая n = 1 и используя экспериментальные значения ″а″

и″α″, получаем для λ :

λ= 2 0,091 sin 650 = 0,165 нм.

Формула де Бройля :

что превосходно согласуется с экспериментом. Впоследствии аналогичные результаты были получены Том-

соном (1928г) и в 1930г многими другими физиками.

42