) |
|
∂ |
|
|
|
∂ |
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
(25). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
i + |
|
|
j + |
|
|
|
|
= −ih |
||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
p = −ih |
∂x |
∂y |
|
∂z |
k |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ОПЕРАТОР ЭНЕРГИИ
Теперь можно определить явный вид некоторых операторов. Начнем с оператора энергии (гамильтониана). Подставляя в классическую функцию Гамильтона (22) выражения (23) и (24) получаем :
) |
h2 |
∂2 |
∂2 |
∂2 |
|
|
h2 |
|
2 |
+U(x, y,z ) (26) |
||||||
H = − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+U(x, y,z ) = − |
|
|
|
|
|
|
2 + |
|
2 + |
|
2 |
|
|
|
|||||||
|
|
∂x |
∂y |
∂z |
|
2m |
|
|||||||||
|
2m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
где 2 − так называемый оператор Лапласа (Лапласиан), кото-
рый будучи умноженным на ( − h2 ), представляет собой оператор
2m
кинетической энергии частицы: T)кин = − h2 2 .
2m
Гамильтониан играет в квантовой механике особую роль, ибо он практически определяет свойства системы.
ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
Существуют различные способы перемножения векторов, из которых наиболее распространены следующие:
Скалярное. Пусть: A ; B ;
AB = Ax Bx + Ay By + Az Bz = A
B cosϕ
где ϕ - угол между векторами. Если AB ≡ 0 , то A иB − ортогональны.
Векторное: Вектор С, перпендикулярный плоскости векторов A и B , и имеющий величину: C = A
B sinϕ. Направление С таково,
что совокупности A , B и C образуют правую систему координат.
C = A
B sinϕ.
Полученное произведение векторов обозначается
[A × B ], [AB ], A × B .
Векторное произведение можно записать через компоненты:
C x = Ay Bz − Az By ; C y = Az Bx − Ax Bz ; Cz = Ax By − Ay Bx .
Векторное произведение обладает свойством антикоммутативности:
[A × B ] = − [B × A].
Обратите внимание на циклическую перестановку индексов:
59
МОМЕНТ ИМПУЛЬСА
Обратимся к оператору момента импульса электрона. В классической механике момент импульса M определяется, как векторное произведение следующего вида: M = [r)× p)].
В квантовой механике оператор момента импульса определяется следующей формулой: M = [r)× p)] , или к компонентах:
M) x = −ih y ∂∂z − z ∂∂y ; M) y = −ih z ∂∂x − x ∂∂z ; M) z = −ih x ∂∂y − y ∂∂x .
Часто оператор проекции момента на ось квантования z удобно выразить не в декартовых, а в так называемых сферических координатах.
Связь сферических и декартовых координат показана на схеме, которая поясняет эту связь.
Пусть dv - элемент объема. 0 ≤ r < ∞ ; 0 ≤θ ≤ π ; 0 ≤ ϕ ≤ 2π ; Тогда x = r sinθ cosϕ ; y = r sinθ sinϕ ; z = r cosθ ;
60
dv = dxdydr = r 2 sinθdrdθdϕ .
Тогда оператор проекции момента импульса на ось z после весьма громоздких преобразований принимает простой вид:
M) z = −ih∂∂ϕ . (27)
В то же время вид операторов M x и M y в этих координатах усложняется. Отвечающие оператору M z собственные функции и
собственные значения находят из уравнения
M) z Φ(r ,θ ,ϕ ) = −ih∂Φ∂(ϕr ,θ ,ϕ ) =M zΦ(r,θ ,ϕ ) ,
решение которого можно записать следующем образом:
Φ(r ,θ ,ϕ ) = C(r ,θ )ei |
M z |
ϕ , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где |
C(r ,θ ) - произвольная функция от r и θ . |
|
|
|
|
||||||||
|
Для выполнения условий однозначности θ(r,θ,ϕ) необходимо, |
||||||||||||
чтобы |
|
|
Mz |
|
|
Mz |
|
|
Mz |
|
|
||
|
θ(r ,θ ,ϕ ) = Φ(r ,θ ,ϕ+2π ) , |
т.е. ei |
ϕ |
= ei |
(ϕ+2π ) |
откуда : ei |
2π |
= 1 . |
|||||
|
h |
h |
h |
||||||||||
|
Это условие удовлетворяется, если Mz |
h - целое число [вспом- |
|||||||||||
ним |
пояснение к |
формуле |
(8)], т.е. |
M z = mh, |
где |
||||||||
m = 0,±1,±2... ;Собственные функции оператора M z , отвечающие его собственным значениям (28) и условию нормировки ∫Φm Φm dϕ = 1
имеют вид: Φm (ϕ)= |
1 |
eimϕ . |
|
2π |
|
Уравнения, определяющие собственные функции и собствен-
ные значения оператора квадрата момента M 2 , имеют более сложный вид. Приведем конечный результат.
Собственные значения M 2 : M 2 = l(l +1)h2 , (l = 0,1,2...). Собственные функции M 2 : Ylm (θ,ϕ)= Θlm (θ )eimϕ .
Вид сомножителя Θlm (θ ) мы не конкретизируем ввиду его сложности, заметим только, что функции Ylm (θ,ϕ), называемые сфериче-
скими, или шаровыми, удовлетворяют условиям конечности и однозначности при целых положительных значениях l ≥ m . Kроме того,
сферические функции будут не только собственными функциями оператора M 2 , но и M z , причем имеет место (2l +1)- кратное вырож-
дение, т.е. каждому значению квадрата момента импульса ( каждому l) отвечает(2l +1) различных собственных функций M z .
61
Иными словами, при фиксированном значении момента импульса его проекция на произвольную ось квантования z может принимать (2l +1) значений, т.к. в силу условия L ≥ m , число "m" изме-
няется в интервале от −l до +l.
62