FA Арсеньев Функ.Ан
.pdfЛекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике.
А. А. Арсеньев.
2
c А.А.Арсеньев, 2009.
c НИЦ Регулярная и хаотическая динамика , 2009.
i
ii
Оглавление
1 Элементарные сведения о интеграле и мере. |
1 |
1.1Интеграл Лебега. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1Основные структуры, используемые при построении интеграла по схеме Даниэля. . . . . . . . . . . . 1
1.1.2Множества меры ноль. . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.3Построение интеграла по схеме Даниэля. . . . . . . . 17
1.1.4Предельный переход в интеграле Лебега. . . . . . . . 32
1.1.5Пространства Lp(X). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.2Мера и измеримые функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1.2.1Сводка основных определений теории меры. . . . . . 46
1.2.2Построение меры множества в схеме Данизля. . . . 52
1.2.3Измеримые функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
1.2.4Сходимость по мере. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
1.2.5Функция Кантора. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
1.2.6Теорема Фубини. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
1.2.7Разложение Лебега и теорема Радона-Никодима. . . 72
1.2.8Счетно-аддитивные функции множеств и теорема Хана. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
1.2.9Общий вид линейного непрерывного функционала
на пространстве Lp(X). . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
1.2.10Функции с ограниченной вариацией и абсолютно непрерывные функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
1.3Коментарии и литературные указания. . . . . . . . . . . . . 97
2 Метрические и топологические пространства. |
99 |
2.1Метрические пространства. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
2.1.1Расстояние и связанные с ним понятия. . . . . . . . 99
2.1.2Сходимость в метрическом пространстве. . . . . . . 101
2.1.3Принцип сжимающих отображений. . . . . . . . . . . 105
2.2Топологические пространства. . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
2.2.1Определение топологического пространства. . . . . . 108
iii
2.2.2Замкнутые множества. . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
2.2.3Непрерывные отображения. . . . . . . . . . . . . . . 116
2.2.4Аксиомы отделимости. . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
2.3Компактные пространства. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
2.4Фильтры, ультрафильтры и теорема Тихонова. . . . . . . . 139
2.5Коментарии и литературные указания. . . . . . . . . . . . . 146
3 Банаховы пространства. |
149 |
3.1Основные определения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
3.2Пространство линейных отображений. . . . . . . . . . . . . 155
3.3Основные принципы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
3.3.1Принцип равномерной ограниченности и теорема БанахаШтейнгауза. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
3.3.2Теорема об открытом отображении и ее следствия. . 164
3.3.3Теорема Хана-Банаха. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
3.4Сопряженное пространство и элементы теории двойственности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
3.4.1Сопряженное пространство. . . . . . . . . . . . . . . 173
3.4.2Сопряженный оператор. . . . . . . . . . . . . . . . . 179
3.5Банаховы алгебры и операторное исчисление. . . . . . . . . 184
3.5.1Предварительные сведения. . . . . . . . . . . . . . . 184
3.5.2Резольвента и спектр. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
3.5.3Операторное исчисление. . . . . . . . . . . . . . . . . 193
3.6Изолированные особые точки резольвенты. . . . . . . . . . 202
3.6.1Общий случай. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
3.6.2Строение резольвенты в окрестности полюса. . . . . 205
3.7Возмущение изолированного собственного значения. . . . . 209
3.7.1Зависящие от параметра проекторы. . . . . . . . . . 209
3.7.2Аналитическое возмущение изолированного собственного значения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
3.8Компактные операторы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
3.8.1Определения и основные свойства компактных операторов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
3.8.2Теория Рисса-Шаудера. . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
3.9Резольвента и спектр неограниченных операторов. . . . . . 236
3.10Полугруппы операторов в банаховом пространстве. . . . . . 244
3.10.1Теорема Хилле-Филлипса-Иосиды. . . . . . . . . . . 249
3.10.2Абстрактная задача Коши. . . . . . . . . . . . . . . . 257
3.10.3Некоторые равенства, связанные с теорией полугрупп.258
3.11Коментарии и литературные указания. . . . . . . . . . . . . 262
3.11.1Определение линейнного пространства. . . . . . . . . 262
iv
3.11.2Определение фактор-пространства. . . . . . . . . . 263
3.11.3Определение прямой суммы пространств. . . . . . . 264
4 Гильбертовы пространства. |
267 |
4.1Основные определения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
4.1.1Скалярное произведение и норма. . . . . . . . . . . . 267
4.1.2Ортонормированные системы. . . . . . . . . . . . . . 271
4.2Теорема Рисса об общем виде линейного функционала в гильбертовом пространстве. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
4.3Понятие гильбертова сопряжения и ограниченные самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве. . . . . 284
4.4Компактные самосопряженные операторы, операторы ГильбертаШмидта и ядерные операторы. . . . . . . . . . . . . . . . . 289
4.4.1Компактные самосопряженные операторы. . . . . . . 289
4.4.2Полярное разложение оператора и характеристиче- ские числа. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
4.4.3Операторы Гильберта-Шмидта. . . . . . . . . . . . . 300
4.4.4Ядерные операторы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
4.5Спектральное разложение ограниченных самосопряженных операторов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
4.6Спектральное разложение унитарных операторов. . . . . . 326
4.7Гильбертово сопряжение неограниченных операторов. . . . 332
4.8Оснащение гильбертова пространства и билинейные формы.348
4.8.1Оснащение гильбертова пространства. . . . . . . . . 348
4.8.2Полуограниченные эрмитовы формы и расширение операторов по Фридрихсу. . . . . . . . . . . . . . . . 354
4.9Преобразование Келли и спектральное разложение неограниченных операторов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
4.10Коментарии и литературные указания. . . . . . . . . . . . . 369
5 Элементы математической теории рассеяния. |
371 |
5.1Абсолютно непрерывный и сингулярный спектр оператора. 371
5.2Волновые операторы и оператор рассеяния. . . . . . . . . . 377
5.3Признаки существования волновых операторов и принцип инвариантности волновых операторов. . . . . . . . . . . . . 381
5.4Формулы для матрицы рассеяния . . . . . . . . . . . . . . . 390
5.5 Комментарии и литератутные указания |
. . . . . . . . . . . 395 |
6 Распределения. |
397 |
6.1Пространство пробных функций. . . . . . . . . . . . . . . . 397 6.1.1 Пространство Шварца. . . . . . . . . . . . . . . . . . 398
v
6.1.2 Сходимость в простанстве S(Rd). . . . . . . . . . . . 402
6.1.3 Непрерывные операторы в пространстве основных функций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403
6.1.4 Пространство пробных функций D(Rd). . . . . . . . 404
6.2 Распределения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406 6.2.1 Медленно растущие распределения. . . . . . . . . . . 407 6.2.2 Сходимость в пространстве распределений. . . . . . 411
6.2.3 |
Случай пространства D(Rd) . . . . . . . . . . . . . . 414 |
6.2.4 |
Примеры вычисления пределов распределений. . . . 414 |
6.2.5 Дифференцирование и преобразование Фурье рас- |
|
|
пределений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419 |
6.2.6 |
Действие аффинной группы на распределения. . . . 425 |
6.2.7 |
Свертка рспределения и функции. . . . . . . . . . . 426 |
6.2.8 Прямое произведение распределений. . . . . . . . . . 428 6.3 Фундаментальные решения дифференциальных операто-
ров с постоянными коэффициентами. . . . . . . . . . . . . . 431 6.3.1 Существование фундаментального решения для диф-
ференциального оператора с постоянными коэффициентами. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432
6.3.2 Примеры вычисления фундаментальных решений. . 438 6.4 Пространства Соболева. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444 6.4.1 Преобразование Фурье-Планшереля. . . . . . . . . . 444
6.4.2 Определение и основные свойства пространств Соболева. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446
6.4.3 Теоремы вложения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451 6.4.4 Пространства p
H (D). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456
6.5Коментарии и литературные указания. . . . . . . . . . . . . 460
6.5.1Преобразование Фурье. . . . . . . . . . . . . . . . . . 460
6.5.2Литературные комментарии . . . . . . . . . . . . . . 461
A Приложение |
463 |
A.1 Преобразование Вейля. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463 A.2 Теорема Дж. фон Неймана о единственности
представления КПС в форме Вейля . . . . . . . . . . . . . . 474 A.3 Указатель обозначений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481
vi
Предисловие.
Предлагаемый вниманию читателя учебник функционального анализа написан на основе лекций, которые автор читал специализирующимся в математической физике студентам физического факультета Московского университета. Лекции имели своей целью подготовить студентов, которые получали специальность физика, к работе в области математи- ческой физики. Современная математическая физика в своей существенной части является областью функционального анализа: она использует язык, идеи и методы функционального анализа. Многие понятия и методы функционального анализа формировались процессе решения задач математической физики и обобщают опыт решения этих задач. В зада- чах квантовой механики роль функционального анализа принципиальна, так как аксиомы квантовой механики формулируются в заимстванных из функционльного анализа терминах.
Автор стремился написать простой учебник, который бы помог начи- нающему студенту-физику разобраться в математике, связанной с квантовой теорией, теорией рассеяния и т.д. Как введение в предмет, учебник может быть полезен и начинающему математику.
Содержание учебника ясно из оглавления и оно следует сложившемуся за последние приблизительно сорок лет канону учебников по функциональному анализу. Изложение построено так, что при первом чтении читатель может ограничиться минимумом сведений и получить общее предсталение о предмете, а потом присупить к углубленному изучения материала. Книга рассчитана на начинающего исследователя, который готовит себя к работе в области математической физики и смежных дисциплинах. Требования к начальной математической подготовке читателя минимальны: предполагается, что читатель знаком с основами математического анализа и линейной алгебры в объеме курса математики для технических вузов. От читателя ожидается разумная реакция на термины множество, отображение, функция и т. д.
Первая глава посящена изложению теории интеграла Лебега на основе метода Даниэля. Этот подход позволяет использовать уже известные
vii
результаты теории интеграла Римана. Необходимый минимум сведений о интеграле Лебега изложен в первом параграфе.
Вторая глава посвящена изложению основ теории метрических пространств. Необходимый минимум сведений о метрических пространствах изложен в первом параграфе.
Âпервые две главы учебника включены некоторые вопросы (теория меры и элементы общей топологии), которые прямо не относятся к функциональному анализу и на математических факультетах университетов обычно изучаются в курсах теории функций и топологии. Включение этих тем в учебник обусловлено тем, что они не рассматриваются в курсах математики для технических вузов, но знание их подразумевается в учебной литературе по специальным вопросам математической физики. Излагаемые в первой главе сведения по теории функций действительной переменной необходимы в математической теории рассеяния. По мнению автора, собранные в первых двух главах доплнительные сведения составляют необходимый (но не исчерпывающий) общеобразовательный минимум для работающего в области математической физики специалиста.
Третья глава посвящена изложению основ теории банаховых пространств. Собранные в первых трех параграфах сведения о банаховых пространствах могут рассматриваться как достаточное для первого знакомства с предметом введение в теорию банаховых пространств. В дальнешем подробно излагается операторное исчисление для аналитических функций, теория Рисса-Шаудера, аналитическая теория Фредгольма, теория полугрупп, теория возмущений. Подробно исследовано поведение резольвенты оператора в окрестности изолированной особой точки.
Четвертая глава посвящена теории гильбертовых пространств. Первые три параграфа посвящены изложению основ теории гильбертовых пространств. Далее подробно излагается борелевское операторное исчисление, разбирается понятие самосопряженности неограниченного оператора, приводятся критерии самосопряженности, доказывается спектральная теорема.
Âпятой главе приведены началаьные сведения из математической теории рассеяния.
Шестая глава посвящена элементарной теории обобщенных функций
èпространств Соболева. За исключением теоремы о существовании фундаментального решения, эта глава не требует знания каких-либо сведений из функционального анализа, ее можно читать независимо от предыдущего материала и она вполне доступна студенту технического вуза.
Âприложении даны начальные сведения о преобразовании Вейля и дано элементарное доказательство теоремы Дж. фон Неймана о един-
viii