FA Арсеньев Функ.Ан

Пусть L0(X) -линейное пространство функций вида

0 j N 1

Проверка условий 1.1.1 -1.1.7 в даннам случае предоставляется читателю.

Пример 1.1.7. Пусть X = (a ; b] è L0(X) -линейное пространство всех функций вида (1.15) при всех возможных выборах точек j è âñåõ N = 1 ; 2 : : : . Определим элементарный интеграл формулой (1.16). Условия 1.1.1 -1.1.7 в этом случае будут выполнены.

Нетривиальна только проверка условия 1.1.7. В дальнейшем результаты нижеследующих рассуждений нами не используются.

Пусть последовательность ffn(x)g L(X) удовлетворяет условиям:

8x: fn+1 fn(x) ; fn(x) ! 0 ; n ! 1:

Каждая из функций fn(x) имеет только конечное число точек разрыва на отезке [a ; b], поэтому множество всех точек разрыва всех функций

fn(x) не более чем счетно. Пусть это будет множество fxjg ; j = 1 : : :. Положим

[

B = Vi ; Vi = (xi 4 i ; xi + 4 i ): (1.17)

i

Множество C(B ) замкнуто, функциональная последовательность ffn(x)g монотонно стемится к нулю в каждой точке этого множества и каждая функция fn(x) непрерывна на C(B ), поэтому в силу теоремы Дини функциональная последовательность ffn(x)g стремится к нулю равномерно на C(B ). Пусть n( ) выбрано так, что

8(x 2 C(B ) ; n > n( )) : fn(x) < :

9

Ïðè n > n( ) представим функцию (1.15) как сумму двух функций

В (1.18) суммирование ведется по тем j, для которых A0j TC(B ) 6= ;, à

â(1.19) суммирование ведется по тем j, для которых A00j B . Òàê êàê

â(1.18) j0 есть одно из значений функции fn(x) на множестве C(B ), òî

8j : j0 < è

Z b

fn(x)0dx (b a)

a

Так как все точки j по определению принадлежат множеству B , òî äëÿ âñåõ òåõ j, по которым ведется суммирование в (1.19), выполнено включение [ j ; j+1] B . В силу леммы Гейне-Бореля каждый отре-

çîê [ j ; j+1] покрывается конечным числом интервалов Vi âèäà (1.17). A00j не пересекаются и их объединение покрывается конечной системой открытых интервалов Vi, суммарная длина

которых меньше . Пусть

M = supff1(x) j x 2 Xg

Тогда

è ïðè n > n( ) :

Z b

fn(x) dx (M + b a) :

a

Итак, мы доказали выполнение условия 1.1.7 в рассматриваемом нами примере.

Читателю рекомендуется обобщить этот пример на случай пространства Rd.

Другим обобщением этого примера является

10

Пример 1.1.8. Пусть F (x) -монотонно неубывающая непрерывная справа функция на отрезке [a ; b] R1 и пусть L0([a ; b]) -линейное пространство

всех функций вида (1.15). На пространстве L0([a ; b]) определим элементарный интеграл формулой

Проверка условия 1.1.7 получается дословным повторением предыдущих рассуждений.

В примерах 1.1.6-1.1.8 каждая функция из пространства элементарных функций принимала только конечное число значений. Прием, состоящий в рассмотрении подобного класса функций, часто используется в теории интеграла.

1.1.2Множества меры ноль.

Рассмотим пример. Пусть X = [0 ; 1] ; L0(X) = C([0 ; 1]); а элементарный интеграл задается формулой

Ясно, что в расматриваемом примере поведение интегрируемых функций на интервалах [0 ; 1=2) è (1=2 ; ] никак не влияет на интеграл. Чтобы в

общем случае выделить несущественные для интеграла подмножества области задания интегрируемых функций, вводится понятие множества меры ноль.

Определение 1.1.1. Подмножество Z простанства X есть множество меры ноль, если для каждого > 0 существует такая неубывающая последовательность

ffn(x)g L0(X) ; fn+1(x) fn(x)

неотрицательных:

8(n ; x) : fn(x) 0

элементарных функций, что

8(x 2 Z) : supffn(x) j 1 n < 1g 1 è 8n : I0(fn) :

Пустое подмножество считается множеством меры ноль по определению.

11

Если множество Z X есть множество меры ноль, то мы будем писать

mes(Z) = 0:

Таким образом, mes(Z) = 0 в том и только том случае, если:

Непосредственно из определения сразу же следует важное для дальнейшего

Утверждение 1.1.3. Если Z X есть множество меры ноль и Z0 Z òî Z0 есть множество меры ноль.

Замечание 1.1.1. Позже мы введем понятие меры множества и у нас появятся множества, мера которых равна нулю, а множества меры ноль в смысле определения 1.1.1 как раз и окажутся множествами, мера которых равна нулю. Но, вообще говоря, при иных определениях понятия меры множества меры ноль в смысле определения 1.1.1 и множества, мера которых равна нулю, -это разные классы множеств. Эти классы множеств могут совпадать при одних определениях понятия меры множества и не совпадать при других определениях понятия меры множества. Более подробно мы остановимся на этом при обсуждении понятия меры множества.

Приведем примеры.

Пример 1.1.9. В рассмотренном в начале этого параграфа примере мно-

S

жество [0 ; 1=2) (0 ; 1=2] есть множество меры ноль.

Пример 1.1.10. В примерах и 1.1.1 1.1.2 одноточечные множества x0 2 [a ; b] è x0 2 K есть множества меры ноль.

В качестве последовательности fn(x) можно взять последовательность

fn(x) maxf0 ; 1 jx x0j= g ïðè 1:

Пример 1.1.11. В примере 1.1.3 каждая точка x0 62xfjg есть множество меры ноль и никакая точка xj не есть множество меры ноль.

Пример 1.1.12. В примерах 1.1.4-1.1.5 единственные множества меры ноль -это пустые множества.

12

Как видно из рассмотренных нами примеров, свойство множества быть множеством меры ноль зависит и от пространства элементарных

функций L0(X), и от заданного на пространстве L0(X) элементарного интеграла I0.

Лемма 1.1.1. Счетное объединение множеств меры ноль есть множество меры ноль.

Доказательство.Пусть Zk X ; k = 1 ; : : : -множества меры ноль и

S

Z = Zk: По определению множества меры ноль для каждого k ñóùå-

k

ствует такая последовательность

ffn;k(x)g L0(X) ; n = 1 : : : ÷òî 8(n ; k) : 0 fn;k(x) fn+1;k(x)

è

8(x 2 Zk) : supffn;k(x) j n 2 Zg 1 ; I0(fn;k) < 2 k :

Пусть

gn(x) := maxffn;k(x) j 1 k ng:

Функциональная последовательность gn удовлетворяет условиям:

fgng L0(X) ; 0 gn(x) gn+1(x) ; 8(x 2 Zk) : supfgn(x) j 1 n < 1g 1;

поэтому

8(x 2 Z) : supfgn(x) j 1 n < 1g 1

è

1 k n

Так как произвольно, то множество Z удовлетворяет условиям опреде-

ления 1.1.1 Лемма доказана.

Введем понятие свойства, справедливого почти всюду. Рассмотрим некоторое зависящее от точки x 2 X свойство P (x):

Определение 1.1.2. Мы будем говорить, что свойство P (x) справедливо почти всюду, если множество точек x 2 X; где свойство P (x) не справедливо, есть множество меры ноль.

13

Это определение можно переформулировать так. Пусть P (x) -функция на множестве X, которая принимает два значения:

P : X 3 x 7!P (x) 2 ftruth ; falseg

Определение 1.1.3. P(x)=truth почти всюду, если mes(fx j P (x) = falseg) = 0:

Для выражения "почти всюду "мы будем использовать сокращение п.в. Таким образом,

(ï.â. P (x) = truth) () (mes(C(fx j P (x) = truthg)) = 0)

Особо отметим свойство сходимости почти всюду последовательности fn(x).

Определение 1.1.4. Последовательность fn(x) сходится почти всюду, если

mes(C(fx j 9 lim fn(x)g) = 0:

n!1

Отметим, что так как свойство множества быть множеством меры ноль зависит от выбранного пространства элементарных функций L0(X)

и от заданного на пространстве L0(X) элементарного интеграла I0, òî свойство почти всюду зависит от выбранного пространства элементарных функций L0(X) и от заданного на пространстве L0(X) элементарно-

го интеграла I0. В дальнейшем у нас возникнут ситуации, когда нужно пояснить, в каком именно смысле употреблен термин почти всюду. Тогда мы будем писать п.в. mod( ). Смысл этого обозначения и его связь

с интегралом будут пояснены позже на стр. 60. Приведем пример.

На отрзке [0 ; 1] определим функцию

Эта функция нерперывна во всех точках отрезка [0 ; 1] , за исключе- нием точки x = 1=2: Если мы определим элементарный интеграл так, как в утверждении 1.1.1, то силу приведенного выше примера 1.1.10 точ- ка x = 1=2 имеет меру ноль. Следовательно, в этом случае функция (1.23) непрерывна почти всюду. Однако если мы определим элементарный интеграл формулой (1.21), то точка 1=2 уже не будет множеством

меры ноль, и при определении элементарного интеграла формулой (1.21) функция (1.23) не будет непрерывна почти всюду.

Используем понятие множества меры ноль для уточнения условий сходимости к нулю интеграла от последовательности функций.

14

Лемма 1.1.2. Если последовательность элементарных функций ffng L0(X) удовлетворяет условиям:

8 x: 0 fn+1(x) fn(x) è ï.â. lim fn(x) = 0;

n!1

òî

lim I0(fn) = 0:

n!1

Доказательство. Так как последовательность элементарных функций fn(x) монотонно не возрастает, то числовая последовательность I0(fn)

монотонно не возрастает и предел limn!1 I0(fn) существует. Нужно до-

казать, что этот предел равен нулю. Пусть

M = supff1(x) j x 2 Xg ; Z = fx j lim fn(x) 6= 0g:

n!1

Òàê êàê mes(Z) = 0, то существует такая последовательность элементарных функций gn; ÷òî

8(n ; x 2 X) : 0 gn(x) gn+1(x) ;

è

8(x 2 Z) : supfgn(x) j 1 n < 1g 1:

Положим

hn(x) = fn(x) Mgn(x):

Последовательность hn(x) состоит из элементарных функций и монотонно не возрастает, поэтому у не в каждой точке существует предел (но в некотрых точках он может быть равен 1).

Так как последовательность fhn(x)g монотонно не возрастает и

8(n ; x) : fn(x) M;

òî

8(x 2 Z) : lim hn(x) lim fn(x) M 0;

n!1 n!1

Åñëè x 2 C(Z) òî limn!1 hn(x) M 0. Поэтому

8x : lim hn(x) 0 ;

n!1

15

В дальнешем мы будем использовать обозначение f+(x) := maxf0 ; f(x)g:

Заметим, что если f(x) -элементарная функция, то f+(x) -тоже элемен-

тарная функция.

Последовательность h+n (x) удовлетворяет условиям:

h+n (x) 2 L0(X) ; 8(x 2 X ; n) : h+n+1(x) h+n (x) ;

8(x 2 X) : lim h+n (x) = 0:

n!1

Следовательно,

I0(fn) MI0(gn) = I0(hn) I0(h+n ) ! 0 ; n ! 1

В силу выбора последовательности gn(x) отсюда следует, что

0 lim I0(fn) lim sup MI0(gn) M :

n!1

Так как произвольно, то лемма доказана. Из доказанной леммы вытекает

Следствие 1.1.1. Åñëè f(x) 2 L0(X) è ï.â. f(x) = 0; òî I0(f) = 0:

Для доказательства этого следствия достаточно рассмотреть последовательность fn(x) jf(x)j, применить к этой последовательности доказанную лемму и неравенство jI0(f)j I0(jfj):

В дальнейшем мы будем использовать следующие обозначения. Если последовательность fang удовлетворяет условиям

8n: an+1 an è lim an = a;

n!1

то мы будем писать

an & a:

Если последовательность fang удовлетворяет условиям

8n: an+1 an è lim an = a;

n!1

то мы будем писать

an % a:

16

n

S

множество меры ноль, а при x 62 Zn справедливо утверждение

n

8n: fn+1(x) fn(x):

Аналогичные рассуждения в дальнейшем позволят нам не делать различия между утверждением, что некоторое свойство, справедливо почти

всюду сразу для всех n 2 Z и утверждением, что это свойство, справедливо почти всюду для каждого n 2 Z.

Пусть

По условию, mes(Z) = 0: Пусть gn(x) := minffk(x) j 1 k ng: Åñëè x 62Z; òî gn(x) = fn(x) è ï.â. gn(x) & 0 ; n ! 1: Òàê êàê

ï.â. gn(x) = fn(x) ; òî I0(fn) = I0(gn):

Так как последовательность gn(x) удовлетворяет условиям леммы 1.1.2, то I0(fn) = I0(gn) ! 0 ; n ! 1:

1.1.3Построение интеграла по схеме Даниэля.

Мы приступаем к построению расширеня пространства элементарных функций и распространению элементарного интеграла на это расширенное пространство. Расширять пространство элементарных функций мы будем в два этапа: сначала мы добавим некоторые поточечные пределы элементарных функций, а потом мы добавим функции, которые представимы как разность тех функций, которые мы добавили на первом этапе.

17

Лемма 1.1.4. Пусть последовательность элементарных функций ffng удовлетворяет двум условиям:

Во-вторых заметим, что утверждение леммы эквивалентно утверждению:

Последовательность неотрицательных элементарных функций gn(x) удовлетворяет условиям:

8(x ; n) : gn+1(x) gn(x) ; ï.â. gn(x) = fn(x) f1(x);

поэтому

I0(gn) = I0(fn) I0(f1)

è

8n : I0(gn) 2C:

Следовательно, монотонно неубывающая последовательность неотрицательных элементарных функций gn(x)=2C удовлетворяет условиям (1.22) для множества (1.29), так как

8n : I0( gn(x)=2C) < ; è 8(x 2 Z) : supf gn(x)=2C j 1 n < 1g = 1:

Лемма доказана.

18