FA Арсеньев Функ.Ан

4. Алгебра непрерывных функций A удовлетворяет условию:

Cl(A) = C(K ; C1):

Для доказательства этого утверждения достаточно заметить, что в силу условия (2.65) содержащееся в A подмножество функций

A0 = fg j (g = (f + f )=2i) _ (g = (f f )=2) ; f 2 Ag

есть алгебра функций над полем действительных чисел, которая удовлетворяет условиям предыдущей теоремы, и в A0 можно найти функции,

которые сколь угодно точно приближают по отдельности действительную и мнимую часть функции из C(K ; C1), а потом взять линейную

комбинацию таких функций.

Если компакт K есть подмножество комплексной плоскости C1, òî в силу условия (2.65) алгебра A не может состоять из аналитических

функций, и поэтому к задаче аппроксимации аналитических функций аналитическими теорема Стоуна-Вейрштрасса напрямую не применима.

2.4Фильтры, ультрафильтры и теорема Тихонова.

В метрическом пространстве понятия предела функции, замыкания множества и компактности могут быть описаны в терминах сходящихся последовательностей. В общем случае для этого требуется обобщение понятия предела последовательности: понятие предела по фильтру. При изучении сходимости в топологических пространствах теория фильтров оказывается мощным и удобным инструментом и в некоторых отношениях она проще, чем теория, основанная на понятии последовательности или понятии сходимости по Муру-Смиту, однако теория фильтров требует некоторых навыков работы с объектами, которые не строятся явно, но существование которых постулируется на основе аксиомы выбора.

Определение 2.4.1. Фильтром в множестве X называется такая система F его подмножеств, которая удовлетворяет условиям:

1. Åñëè A 2 F è A B X, òî B 2 F.

T

2. Åñëè A1 2 F ; A2 2 F, òî A1 A2 2 F. 3. ; 62 F.

139

Приведем примеры.

Пример 2.4.1. Пусть множество X состоит из трех элементов: X = fa ; b ; cg. Тогда следующие системы его подмножеств являются фильтрами:

Пример 2.4.2. Пусть X -топологическое пространство и Fx -система âñåõ окрестностей точки x. Тогда Fx -фильтр.

Доказательство. Так как 8 : X 2 F , то пересечение F не пусто. Так

поэтому 8 : B 2 F и поэтому B 2 F. Аналогично доказывается, что пересечение двух множеств из F принадлежит F.

Если система F0 подмножеств множества X удовлетворяет условиям: 1bf. Если A 2 F0; ; B 2 F0, то существует такое C 2 F0, ÷òî C

T

AB.

2bf. ; 62 F

0,

то система F подмножеств множества X, которая состоит из тех подмножеств множества X, каждое из которых содержит подмножество из F0, есть фильтр. Удовлетворяющая условиям 1bf-2bf система подмножеств F0 называется базой фильтра F, åñëè F есть наименьший фильтр, который содержит F0. Такой фильтр всегда существует: это есть пересе- чение всех фильтров, содержащих F0.

Пусть F00 система подмножеств множества X, которая удовлетворяет условиям:

Таким образом, для задания фильтра достаточно задать удовлетворяющую условиям (2.69) систему множеств, затем построить базу фильтра, а потом и сам фильтр.

Рассмотрим топологичекое пространство и пусть Bx -состоящая èç открытых множеств база топологии в точке x. Легко видеть, что Bx åñòü база фильтра окрестностей точки x.

140

Пусть

f : X 7!Y

-отображение пространства X â Y .

Лемма 2.4.2. Åñëè F0 -база фильтра в пространстве X, òî Ff0 = fA j A = f(B) ; B 2 Fg -база фильтра в пространстве Y .

Доказательство. Достаточно заметить, что

\\

f(A B) f(A) f(B);

поэтому если C A TB, òî f(C) f(A TB) f(A) Tf(B).

Определение 2.4.2. Фильтр F0 мажорирует фильтр F (мы будем обо- значать это так: F0 F), åñëè F F0, т.е. если каждое множество, которое принадлежит фильтру F, принадлежит и фильтру F0.

В примере 2.4.1 фильтр F1 мажорирует фильтр F2 : F1 F2.

Мы будем называть фильтры сравнимыми, если один из них мажорирует другой. В примере 2.4.1 фильтры F1 è F2 сравнимы, а фильтры F1 è F3 -нет. Заметим, что в силу принятого нами соглашения A A, поэтому для каждого фильтра справедливо соотношение F F. Åñëè

X -отделимое топологическое пространство , x 6= y, à Fx è Fy -фильтры окрестностей точек x è y, то фильтры Fx è Fy не сравнимы, так как су-

Åñëè F 2 F 1 è F 3 F 2, òî F 3 F 1, поэтому введеным соотношением множество всех фильтров на данном пространстве X частично упорядоченно .

Пусть fF j 2 Ig -множество фильтров, каждые два из которых сравнимы. Тогда существует такой фильтр F, который мажорирует все фильтры F :

2I

Докажем, что определенное соотношением (2.71) семейство множеств F есть фильтр. Ясно, что ; 62 F. Пусть A 2 F ; B 2 F. Тогда A 2 F 1 è B 2

141

Заметим, что если два фильтра не сравнимы, то их объединение может не быть фильтром. В примере 2.4.1 объединение фильтров F1 è F3

T

не есть фильтр, так как [a] [b] = ;.

Определение 2.4.3. Фильтр F называется ультрафильтром, если он не содержится ни в каком другом фильтре, т.е. если из F F следует, что

F = F.

В примере 2.4.1 фильтры F1 è F3 есть ультафильтры.

Из аксиомы выбора в форме аксиомы Куратовского-Цорна (см. стр. 147)и леммы 2.4.3 следует, что каждый фильтр содержится в некотором ультрафильтре.

Лемма 2.4.4. Если F -ультрафильтр и A SB 2 F, òî ëèáî A 2 F, ëèáî B 2 F.

Доказательство. Пусть A SB 2 F и пусть Fe -система всех подмножеств множества X, которые удовлетворяют условию:

[

((A M) 2 F) ) (M 2 Fe):

Из определения фильтра следует, что Fe -фильтр. Åñëè A 62 Fè B 62 F, òî Fe F, òàê êàê B 2 Fe. Следовательно, Fe = F è ëèáî A 2 F, ëèáî B 2 F. Лемма доказана.

Åñëè F -ультрафильтр в пространстве X, òî X 2 F, поэтому из леммы 2.4.4 вытекает

Следствие 2.4.1.

Åñëè F -ультрафильтр в пространстве X è A X, òî ëèáî A 2 F, ëèáî C(A) 2 F.

Определение 2.4.4. Точка x есть предел фильтра N, если фильтр N мажорирует фильтр окрестностей точки x.

Из определения следует, что предел фильтра окрестностей точки x есть точка x.

Лемма 2.4.5. В отделимом топологическом пространстве фильтр может иметь только один предел.

142

Доказательство.Пусть точки x ; y являются пределами фильтра N, à

T

Ox ; Oy -такие окрестности точек x è y, ÷òî Ox Oy = ;. Так как фильтр

Nмажорирует фильтры окрестностей точек x è y, òî Ox 2 N ; Oy 2

N, а это невозможно, так как пересечение любых двух принадлежащих

фильтру множеств должно быть не пусто. Пусть X è Y -топологические пространсива,

f : X 7!Y

-отображение пространства X в пространство Y .

Определение 2.4.5. Точка y 2 Y есть предел функции f по фильтру окрестностей точки x, если точка y есть предел фильтра с базой

ãäå Fx -фильтр окрестностей точки x.

Теорема 2.4.1. Функция f непрерывна в точке x в том и только том случае, если фильтр с базой (2.72) сходится к точке y = f(x).

Доказательство. Пусть Ny -фильтр с базой N0. Этот фильтр сходится к точке y в том и только том случае, если для любой окрестости U(y)

точки y выполнено включение U(y) 2 Ny. Согласно определению базы фильтра (2.72) это включение выполнено тогда и только тогда, когда существует такая окрестность V (x) точки x, ÷òî f(V (x)) U(y). Ýòî

включение выполнено в том и только том случае, если для окрестности V (x) выполнено включение V (x) f 1(U(y)). А это включение вы-

полнено тогда и только тогда, если при отображении f прообраз любой окрестности точки y = f(x) есть окрестность точки x. Теорема доказана.

По-существу, данная теорема утверждает, что функция непрерывна в данной точке в том и только том случае, если ее значение в данной точке есть предел ее значений при стремлении аргумента к этой точке. Мы видим, что понятие фильтра позволило сформулировать понятие непрерывности функции в привычных терминах анализа.

Определение 2.4.6. Точка x есть точка прикосновения фильтра F, если она есть точка прикосновения для каждого множества A 2 F.

Лемма 2.4.6. Если точка x есть точка прикосновения для ультафильтра F, то ультрафильтр F сходится к точке x.

Доказательство. Пусть V (x) -окрестность точки x. Òàê êàê F -ультрафильтр, то либо V (x) 2 F, ëèáî C(V (x)) 2 F. Однако последнее включение не может быть выполнено, так как каждое множество из F пересекается с

V (x). Таким образом, фильтр F мажорирует фильтр окрестностей точки x, т.е. сходится к этой точке.

143

Теорема 2.4.2. Пространство K компактно в том и только том слу- чае, если в нем всякий ультрафильтр сходится.

Доказательство.Пусть в топологическом пространстве K есть фильтр F, который не имеет предела. Докажем, что K не компакт. Рассмотрим замыкания произвольной системы множеств A 2 F. Òàê êàê Cl(A ) 2

F, то любой конечный набор множеств fCl(A (j)) ; 1 j Ng имеет непустое пересечение, поэтому

Из (2.73) и (2.74) следует, что пространство K не компакт.

Пусть у любого ультрафильтра в K есть предел. Докажем, что K - компакт. Рассмотрим произвольную систему замкнутых множеств fA j2 Ig, которая удовлетворяет условию (2.74). В силу этого условия система fA j 2 Ig есть базис некоторого ультрафильтра F. Пусть x0 - предел этого ультрафильтра. Так как точка x0 есть точка прикосновения для всех множеств A 2 F, òî x0 2 TA è

\

A 6= ;:

Следовательно, K -компакт. Теорема доказана.

Следующую доказанную А. Н. Тихоновым теорему некотрые топологи считают одним из самых важных результатов общей топологии.

Теорема 2.4.3. Декартово произведение компактных топологических пространств компактно в тихоновской топологии.

Доказательство. Пусть fK j 2 Ig -семейство компактных топологических пространств,

Y

K = K ; 2 I

144

-декартово произведение пространств fK j 2 Ig, рассматриваемое как топологическое пространство с тихоновской топологией. Пусть F -

ультрафильтр в K. Нам нужно доказать, что он сходится. Рассмотрим отображения проектирования:

P ( ) : K 7!K ;

которые точке fx( ) j 2 Ig 2 K ставят в соответствие точку x( ) 2 K : По определению тихоновской топологии в K каждое отображение P ( ) непрерывно. В силу леммы 2.4.2 семейство множеств

есть база некоторого ультрафильтра в пространстве K . Обозначим уль- трафильтр с базой (2.75) символом F . Так как пространство K êîì- пактно, ультрафильтр F сходится к некоторой точке x( ) 2 K : Докажем, что ультрафильтр F сходится к точке fx( ) j 2 Ig 2 K: Для этого нам нужно доказать, что ультрафильтр F мажорирует фильтр окрестностей точки fx( ) j 2 Ig: Для этого нам достаточно доказать, что для некоторой локальной базы окрестностей точки fx( ) j 2 Ig 2 K

дый элемент базы содержится в фильтре F. Пусть fx( ) j 2 Ig 2 A ;

ãäå O( (j)) 3 x( (j)) -открытые в K (j) множества. Множество A есть элемент локальной базы тихоновской топологии, который содержит точ- ку fx( ) j 2 Ig: Так как ультрафильтр F (j) сходится к точке x( (j)) 2

O( (j)), то каждое открытое множество O( (j)) содержит некоторый элемент базы фильтра F (j), поэтому

9Aej : Aej = P ( (j))(Bej) ; Bej 2 F:

Множество

!!

\Y

принадлежит ультрафильтру F (ибо пересечение в (2.77) берется по конечному числу индексов -и именно в этом месте существенно используется определение тихоновской топологии) и содержится в A:

Be A ;

поэтому ультрафильтр F мажорирует фильтр окрестностей точки fx( ) j2 Ig 2 K, т.е. сходится к этой точке. Теорема доказана.

145

2.5Коментарии и литературные указания.

В этой главе мы существенно использовали понятие эквивалентности и аксиому выбора Хаусдорфа. Напомним соответствующие определения и некоторые сведения из теории множеств.

Рассмотрим некоторое множество A и некотрое множество упорядо- ченных пар элементов множества A. Åñëè ïàðà a 2 A ; b 2 A (a -первый элемент, b -второй) принадлежит рассматриваемому множеству пар, то мы будем говорит, что между a è b установлено бинарное соотношение R и будем писать aRb.

Бинарное соотношение R называется рефлексивным, åñëè

8a : aRa:

Бинарное соотношение R называется транзитивным, åñëè

(aRb ^ bRc) ) (aRc):

Бинарное соотношение R называется симметричным, åñëè

(aRb) ) (bRa):

Бинарное соотношение R называется антисимметричным, åñëè

(aRb ^ bRa) ) (a = b):

Например, пусть A -это множество всех кругов на плоскости. Мы скажем, что круг a находится в соотношении R с кругом b, если эти круги

пересекаются. Это бинарное соотношение будет рефлексивным и симметричным, но не будет транзитивным и антисимметричным. Скажем, что

круги a è b находятся в соотношении R, åñëè êðóã a содержится в круге b. Это соотношение будет рефлексивным, транзитивным и антисиммет-

ричным.

Рефлексивное, транзитивное и симметричное бинарное сотношение называется соотношением эквивалентности и обозначается так: a b.

Рефлексивное, транзитивное и антисимметричное бинарное сотношение называется частичной упорядоченностью и обозначается так: a b

(èëè a b). Если справедливо соотношение a b, то говорят, что a содержится â b. В множестве с частичной упорядочностью элемент a называется максимальнам, если из соотношения a b следует, что a = b.

Элемент a 2 A частично упорядоченного множества называется максимальным для подмножества B, åñëè

8(b 2 B) : b a:

146

Подмножество B частично упорядоченного множества называется цепью, если справедливо утверждение:

8(a 2 B ; b 2 B) ) ((a b) _ (b a)):

Следующие два утверждения эквивалентны и являются двумя (существуют и другие) эквивалентными формулировками аксиомы выбора.

Если всякая цепь частично упорядоченного множества обладает верхней гранью, то любой элемент множества содержится в некотором максимальном элементе.

Эта форма аксиомы выбора называется леммой (теоремой) КуратовскогоЦорна.

Пусть I -произвольное множество индексов и X -такая система подмножеств множества M, что

\

8( 2 I) : X 6= ; ; 8( 6= ) : X X = ;:

Тогда на множестве I существует функция

x( ) : I 3 7!x( ) 2 X ;

или эквивалентно:

\

9(M0 M) ; 8 : M0 X = x( ):

Типичный пример применения аксиомы выбора -рассуждения по принципу транфинитной индукции (см. стр. 171, конец доказательства теоремы Хана-Банаха). Аксиома выбора часто используется по умолчанию (например, при рассмотрении декартова произведения множеств), и мы тоже не вседа будем фиксировать внимание на ее использовании.

Упомянутые в главе 2 элементарные сведения о метрических пространствах являются естественным обобщением тех представлений, которые можно получить при рассмотрении рисунков на листе бумаги, однако не все так просто, и геометрическая интуиция в теории метрических пространств не должна вводить читателя в заблуждение. Мы позволим себе привести цитату из сочинения Н. Бурбаки [12], стр. 34:

...замыкание открытого шара может отличаться от замкнутого шара с тем же ценром и радиусом, граница замкнутого шара может отличаться от сферы с тем же центром и радиусом, открытый (или замкнутый) шар может не быть связным, а сфера может быть пустым множеством.

147

Соответствующие примеры читатель может наийти в упражнениях в цитированной выше книге.

Классичеким руководством по элементарной теории метрических и топологических пространств являются книги [1] , [2]. Учебник [15] является стандартным источником ссылок для аналитиков. Для углубленного изучения общей топологии можно рекомендовать книгу [14]. Краткое и ясное изложение основных понятий общей топологии есть в книге [13].

148