FA Арсеньев Функ.Ан

Определение 1.1.5. Заданая на множестве X функция f(x) принадле-

жит пространству L+(X), если существует такая монотонно неубывающая последовательность элементарных функций ffn(x)g, ÷òî

ï.â. fn(x) % f(x) ; n ! 1 è supfjI0(fn)j j 1 n < 1g < 1: (1.30)

Лемма 1.1.5. 1. Åñëè f(x) 2 L+(X) è ï.â. g(x) = f(x), òî g(x) 2 L+(X). 2. Каждая функция из пространства L+(X) ограничена почти всю-

äó:

(f 2 L+(X)) =) (ï.â. jf(x)j < 1):

3.Åñëè 0 ; 0 è f(x) ; g(x) 2 L+(X) òî f(x)+ g(x) 2 L+(X):

4.Åñëè f(x) ; g(x) 2 L+(X) òî

min(f(x) ; g(x)) 2 L+(X) ; max(f(x) ; g(x)) 2 L+(X):

Доказательство. Первое утверждение следует непосредственно из определения. Второе утверждение следует из леммы 1.1.3. Третье утверждение очевидно. Для доказательства четвертого утверждения достаточно

воспользоваться непрерывностю функций max ; min и очевидным неравенством

min(fn(x) ; gn(x)) max(fn(x) ; gn(x))

max(fn(x) f1(x) + jf1(x)j ; gn(x) g1(x) + jg1(x)j)fn(x) + 2jf1(x)j + gn(x) + 2jg1(x)j:

Ясно, что всегда L0(X) L+(X). В примере 1.1.3 пространство L+(X) совпадает с пространством L0(X). Рассмотрим другие прмеры.

Утверждение 1.1.4. Если пространство X есть отрезок [a ; b], пространство элементарных функций есть множество C([a ; b]) всех непрерывных функций на отрезке [a ; b], а элементарный интеграл есть интеграл Римана, то характеристические функции любого интервала ( ; ) [a ; b] и отрезка [ ; ] [a ; b] (а также характеристические функ-

ции полуинтервалов ( ; ] [a ; b] ; [ ; ) [a ; b]) принадлежат пространству L+(X).

Так как в рассматриваемой ситуации одноточечное множество (а также любое множество, состоящее из конечного чиса точек) есть множество меры ноль, то достаточно доказать, что характеристическая функция

I(( ; ) j x) любого интервала ( ; ) [a ; b] принадлежит пространству L+(X). Íî

19

Стоящая в правой части равенства (1.31) последовательность есть та последовательность, которая требуется в определении 1.1.5.

Аналогично доказывается

Утверждение 1.1.5. Если пространство X есть параллелипипед

K := fx j x = (x1 : : : xd) 2 Rd ; aj xj bj ; aj < bjg;

пространство элементарных функций есть множество C(K) всех непрерывных функций на параллелипипеде K, а элементарный интеграл есть

интеграл Римана, то характеристические функции любого открытого параллепипеда

K ; := fx j x = (x1 : : : xd) 2 Rd ; aj j < xj < j bjg

а также замкнутого параллелипипеда или параллелипипеда с некоторыми присоединенными гранями принадлежат пространству L+(X).

Ниже мы будем предполагать, что пространство элементарных функций -это множество непрерывных функций на соответствующей области задания, а элементарный интеграл -это интеграл Римана.

Пример 1.1.13. Пусть функция f(x) непрерывна во всех точках параллелипипеда K за исключением точки x0 2 K, неотрицательна, удовлетворяет условию lim f(x) = +1 ; x ! x0 и интегрируема по Риману в несобственном смысле. Тогда f 2 L+(K).

Для доказательства этого утвержденя достаточно рассмотреть последовательность

fn(x) = min(n ; f(x));

для которой выполнены условия

ZZ

ï.â. lim fn(x) = f(x) ; fn(x) dx f(x) dx < 1: (1.32)

n!1

В правой части неравенства (1.32) стоит несобственный интеграл Рима-

пространству L+([0 ; 1]), так как не существует такой непрерывной функ-

öèè pfn(x), которая почти всюду на [0 ; 1] удовлетворяет неравенству fn(x)

1= x.

Таким образом, пространство L+(X) не есть линейное пространство.

Распространим на пространство L+(X) понятие интеграла.

20

Определение 1.1.6. Пусть f 2 L+(X)

ffng L0(X) удовлетворяет условию

В силу условия (1.30) предел в (1.34) всегда существует и конечен. Докажем, что этот предел не зависит от выбора последовательности ffng, а определяется только функцией f 2 L+(X).

Лемма 1.1.6. Пусть последовательности элементарных функций ffng ; f ng удовлетворяют условиям:

ï.â fn(x) % f(x) ; ï.â n(x) % (x) ; n ! 1 è ï.â. f(x) (x):

Тогда

Доказательство. Пределы интегралов в (1.35) всегда существуют (как пределы монотонных числовых последовательностей), но так как в этой лемме мы не предполагаем равномерной ограниченности интегралов в

(1.35), эти пределы могут быть равны +1.

Фиксируем m < 1 и рассмотрим последовательность

hn(x) = fm(x) min(fm(x) ; n(x)):

Эта последовательность удовлетворяет условиям:

ï.â. hn(x) & (fm(x) min(fm(x) ; (x)) = 0 ; n ! 1:

Поэтому

8m : I0(hn) = I0(fm) I0(min(fm ; n)) ! 0 ; n ! 1:

Следовательно,

8 m: I0(fm) = lim I0(min(fm ; n)) lim I0( n);

n!1 n!1

è

lim I0(fm) lim I0( n):

m!1 n!1

Лемма доказана.

21

Из доказанной леммы следует, что предел в (1.34) зависит только от функции f 2 L+(X) и поэтому определение 1.1.6 корректно.

На пространстве L0(X) интеграл I+ совпадает с элементарным интегралом I0.

В условиях примера 1.1.13 интеграл I+ совпадает с несобственным интегралом Римана.

По построению, определенная равенством (1.1) функция Дирихле f(x)

принадлежит пространству L+([0 ; 1]) è I+(f) = 0. Напомним, что фунция Дирихле не интегрируема по Риману, и из этого примера следут, что пространство L+(X) шире пространства L0(X).

Лемма 1.1.7. Справедливы следующие утверждения.

1.Åñëè 0 ; 0 è f(x) ; g(x) 2 L+(X) òî I+( f + g) = I+(f)+

I+(g):

2.Åñëè f(x) 2 L+(X) è ï.â. f(x) 0, òî I+(f) 0.

3.Åñëè ï.â. f(x) = 0, òî f(x) 2 L+(X) è I+(f) = 0.

Первое утверждение леммы очевидно, а для доказательства второго утверждения заметим, что если п.в. f(x) 0 è ï.â. fn(x) % f(x), òî ï.â.

fn+(x) % f(x). Третье утверждение леммы следует из первого утверждения леммы 1.1.5 и только что доказанного утверждения 2 нашей леммы.

Третье утверждение нашей леммы можно сформулировать и в следующей форме.

Утверждение 1.1.6. Если Z -это множество меры ноль в смысле определения 1.1.1, то характеристическая функция I(Z j x) множе-

ства Z принадлежит пространству L+(X) и интеграл от нее равен нулю:

(mes(Z) = 0) ) (I(Z j x) 2 L+(X) ; I+(I(Z j ) = 0):

Так как область определения функционала

-не есть линейное пространство, то функционал I+ не есть линейный функционал.

Лемма 1.1.8. Если последовательность ffn(x)g L+(X) такова, что

òî

9 (f 2 L+(X)) : ï.â. fn(x) % f(x) è I+(fn) ! I+(f) ; n ! 1: (1.37)

22

Доказательство. Так как последовательность ffn(x)g почти всюду мо-

нотонно не убывает, то почти всюду существует (конечный или бесконеч- ный) предел

Для каждого n существует такая последовательность элементарных функций fgn;k(x)g ; k = 1; : : :, ÷òî

и константа в (1.39) не зависит от n. Положим

В силу неравенств (1.39) последовательность элементарных функций (1.40) почти всюду монотонно не убывает и ограничена сверху оперделенной

равенством (1.38)функцией f(x):

Так как последовательность элементарных функций fhk(x)g монотонно

не убывает и интегралы I0(hk) ограничены не зависящей от k константой, то по лемме 1.1.4 почти всюду существует предел

и по определению пространства L+(X) заданная равенством (1.43) функция h(x) принадлежит пространству L+(X), а по определению интеграла в пространстве L+(X) справедливо равенство

23

В неравенстве (1.46) перейдем к пределу k ! 1. Получим:

ï.â.fn(x) = lim gn;k(x) h(x) f(x): (1.47)

k!1

В неравенстве (1.47) перейдем к пределу n ! 1. Получим:

ï.â. f(x) h(x) f(x):

Следовательно, почти всюду справедливо равенство

f(x) = h(x);

поэтому предел в (1.38) конечен почти всюду, определенная равенством (1.38) функция f(x) принадлежит пространству L+(X) è I+(f) = I+(h): Из неравенства (1.42) следует, что

I+(f) = I+(h) = lim I0(hk) lim I+(fk);

k!1 k!1

а из неравенства (1.47) следует, что

lim I+(fn) I+(h) = I+(f);

n!1

поэтому

lim I+(fn) = I+(f):

n!1

Лемма доказана.

Введем основное для дальнешего понятие пространства интегрируемых функций.

Определение 1.1.7. Функция f : X 7!R1 принадлежит пространству

интегрируемых функций L(X), если эта функция почти всюду представима как разность двух функций из

Таким образом,

(L(X) 3 f) , (9( 2 L+(X) ; g 2 L+(X)) ; ï.â. f(x) = (x) g(x)):

Принадлежащие пространству L(X) функции мы будем называть интегрируемыми функциями.

24

Если справедливо представление (1.48), то

поэтому представление (1.48) не единственно. В дальнешем нам будет важно, что этой неоднозначностью можно распорядиться специальным образом.

Лемма 1.1.9. Если функция f(x) принадлежит пространству L(X), то для любого > 0 существует ее представление в виде разности таких двух функций из L+(X), ÷òî

Доказательство.Пусть справедливо равенство (1.48). Так как g 2 L+(X), то существует такая последовательность fgng L0(X), что почти всюду gn(x) % g(x) ; n ! 1 è I0(gn) % I+(g) ; n ! 1. Запишим равество

При достаточно большом n это представление является искомым.

ßñíî, ÷òî L+(X) L(X): Из определения следует, что если f 2 L(X) ; òî ( f) 2 L(X); поэтому из леммы 1.1.5 следует

Пространство L(X) -линейное пространство относи-

тельно операций поточечного сложения и умножения на действительные числа и если функция f(x) принадлежит пространству L(X), то

и функция jf(x)j принадлежит пространству L(X):

Действительно, из (1.48) следует, что если f(x) 2 L(X), то справедливо представление (1.48), поэтому

jf(x)j = max( (x) ; g(x)) min( (x) ; g(x)) ; ; g 2 L+(X);

но в силу леммы 1.1.5

max( (x) ; g(x)) 2 L+(X) ; min( (x) ; g(x)) 2 L+(X);

поэтому jf(x)j 2 L+(X).

Введем основное для дальнейшего понятие интеграла Даниэля на пространстве L(X).

25

Определение 1.1.8. Если функция f(x) принадлежит пространству L(X) и для нее справедливо равенство (1.48), то ее интегралом Даниэля I(f) называется число

Докажем, что правая часть (1.52) не зависит от представления (1.48), а определяется только функцией f(x). Пусть

ï.â. f(x) = (x) g(x) = 1(x) g1(x):

Тогда

ï.â. (x) + g1(x) = 1(x) + g(x):

Òàê êàê

( (x) + g1(x)) 2 L+(X) ; ( 1(x) + g(x)) 2 L+(X);

то в силу леммы 1.1.6 отсюда следует равенство

I+( ) + I+(g1) = I+( 1) + I+(g);

поэтому

I+( ) I+(g) = I+( 1) + I+(g1):

Таким образом, интеграл Даниэля определяется заданием трех объектов: основного пространства X, пространства элементарных функций L0(X)

и элементарного интеграла I0. Приведем примеры.

Пусть основное пространство X есть полуотркрытый интервал: X = [0 ; 1): Определим множества

A1 = [0 ; 0:25) ; A2 = [0:25 ; 0:5) ; A3 = [0:5 ; 0:75) ; A4 = [0:75 ; 1):

Определим пространство элементарных функций как множество функций вида

1 j 4

Если на этом пространстве элементарных функций мы определим элементарный интеграл как функционал, который каждой функции ставит

в соответствие число 0, то пространство L(X) будет состоять из всех функций, заданных на [0 ; 1) и интеграл Даниэля будет каждой функции ставить в соответствие число 0.

26

Если на пространстве функций вида (1.53) мы определим элементарный интеграл как интеграл Римана:

то множеством меры ноль будет только пустое множество и пространство L(X) будет совпадать с пространством L0(X), а никакие другие

функции, кроме функций из L0(X), не будут интегрируемы.

Если мы определим пространство элементарных функций как множество âñåõ конечных линейных комбинаций характеристических функций

âñåõ непересекающихся полуинтервалов множества [0 ; 1) а элементарный интеграл определим как интеграл Римана, то пространство L(X)

будет совпадать с пространством интегрируемых по Лебегу функций (мы подробно обсудим этот случай позже в разделе, посвященном понятию меры).

После того, как мы введем понятие меры и обсудим связь между интегралом Даниэля и классическим понятием интеграла Лебега, наряду с обозначением (1.52) мы будем использовать следующие общепринятые обозначения для интеграла

Z Z Z

I(f) f d f(x) d (x) f(x) (dx): (1.54)

X X X

Очевидна

Лемма 1.1.11. Интеграл Даниэля I(f) есть линейный неотрицательный функционал на пространстве интегрируемых функций L(X):

I: L(X) 7!R1 ; 8( 2 R1 ; 2 R1 ; f 2 L(X) ; g 2 L(X)) :

I( f + g) = I(f) + I(g)

(f(x) 0) ) (I(f) 0):

Доказательство. Линейность очевидна, а для доказательства неотрицательности интеграла заметим, что если почти всюду f(x) 0, òî â

равенстве (1.48) :

(x) g(x);

и в силу неотрицательности интеграла I+ справедливо неравенство I+( )

I+(g):

Ясно, что на пространстве элементарных функций интеграл Даниэля совпадает с элементарным интегралом. Больше того, справедлива

27

Лемма 1.1.12. Если функция f(x) принадлежит пространству L(X),

то существует такая последовательность элементарных функций ffn(x)g, ÷òî

Доказательство. Пусть

ï.â. f(x) = (x) g(x) ; ; g 2 L+(X) :

Тогда существуют такие последовательности элементарных функций f ng ; fgng, ÷òî

ï.â. n(x) % (x) ; gn(x) % g(x);

Положим

fn = n gn:

Тогда

ï.â.: jf fnj j( n) (g gn)j ( n) + (g gn) ! 0 ; n ! 1;

и по определению интеграла в пространстве L+(X)

I(jf fnj) I( n) + I(g gn) =

I+( n) + I+(g gn) ! 0 ; n ! 1:

Конструкция обычно используемого в современном анализе понятия интеграла принадлежит Лебегу (и именно для интеграла Лебега обычно используются обозначения (1.54)). В введенных нами терминах класси- ческую конструкцию интеграла Лебега в общих чертах можно описать так. Рассматривается ситуация, описанная в 1.1.1 (или в 1.1.2) и сначала интеграл распространяется на такие функции, которые принимают зна- чения 0 и 1, а потом с помощью линейных комбинаций этих функций интеграл распространяется на те функции, которые можно приблизить такими линейными комбинациями. Конструкция Лебега дает более подробную информацию о пространстве интегрируемых функций, но она требует и больших трудов на превоначальном этапе исследования. Интеграл Лебега будет обсужден нами после введения понятия меры множества. В большинстве случаев интеграл Лебега и интеграл Даниэля совпадают при соответствующем соглосовании при выборе элементарного интеграла и меры, поэтому в дальнейшем, следуя традиции, в тех слу- чаях, когда интеграл Даниэля и интеграл Лебега совпадают, полученное нами расширение интеграла мы будем называть интегралом Лебега.

Справедливо

28