FA Арсеньев Функ.Ан

Глава 3

Банаховы пространства.

3.1Основные определения.

В дальнейшем по умолчанию все линейные пространства мы будем рассматривать над полем комплексных чисел и будем специально отмечать случай, когда линейное пространство рассматривается над полем действительных чисел.

Определение 3.1.1. Заданная на линейном пространстве L функция

k k: L 7!R1+

называется нормой, если эта функция принимает неотрицательные зна- чения:

8(x 2 L) : kxk 0;

невырождена:

(kxk = 0) () (x = 0);

удовлетворяет неравенству треугольника:

8(x 2 L ; y 2 L) : kx + yk kxk + kyk;

и однородна:

8( 2 C1 ; x 2 L) : k xk = j jkxk:

Определение 3.1.2. Нормированным пространством называется линейное простанство, рассматриваемое вместе с заданной на нем нормой.

Из определения нормы следует, что функция

149

удовлетворяет аксиомам расстояния (метрики), и нормированное пространство по умолчанию обычно рассматривается как метрическое пространство с метрикой (3.1).

Из неравенства треугольника следует, что

kxk kyk kx yk:

Так как правая часть этого неравенства симметрична по x ; y, то отсюда следует, что

Из неравенства (3.2) следует, что в нормированном пространстве функция

x 7!xkk

непрерывна, если ее рассматривать как функцию на метрическом пространстве с метрикой (3.1).

Определение 3.1.3. Заданные на линейном пространстве L нормы k k1

если существуют такие положительные константы a è b, ÷òî

8(x 2 L) : akxk2 kxk1 bkxk2:

Так как эквивалентные нормы задают одну и ту же топологию метри- ческого пространства, то эквивалентные нормы иногда не различаются.

Будем рассматривать банахово пространство B как метрическое пространство M с метрикой (3.1). Пусть Mf -пространство, построенное при

доказательстве теоремы 2.1.1 на стр. 103. Перенесем на пространство Mf

структуру линейного пространства B, положив по определению

[xn] + [yn] := [ xn + yn]

и введем в пространстве Mf норму, положив по определению

k[xn]k := lim kxnk:

n!1

Существование предела следует из неравенства (3.2).

Так мы превратим пространство Mf в нормированное пространство.

Повторяя шаг за шагом доказательство теоремы 2.1.1, мы убедимся в том, что полученное пространство -это полное нормированное пространство, которое как метрическое пространство есть пополнение простран-

ñòâà B.

150

Определение 3.1.4. Банахово пространство -это нормированное пространство, которое как метрическое пространство полно относительно метрики (3.1).

Так как при необходимости мы можем перейти к пополнению пространства, то в дальнейшем все нормированные пространства мы будем считать банаховыми.

Если нужно указать, на каком именно банаховом пространстве B рассматривается норма, мы будем обозначать ее символом k j Bk: Прямая

сумма банаховых пространств и фактор-пространство банахового пространства по подпространству обычно рассматриваются как банаховы пространства.

Определение 3.1.5. Прямой суммой B1 B2 банаховых пространств B1 è B2 называется прямая сумма B1 B2 линейных пространств B1 è B2, в которой введена норма

Заметим, что в случае гильбертовых пространств вместо нормы (3.4) удобнее рассматривать другую, эквивалентную норму:

kx y j B1 B2k2 = kx j B1k2 + ky j B2k2:

Ясно, что отбражения проектирования

P r1 : x y 7!x ; P r2 : x y 7!y

есть линейные непрерывные отображения пространства B1 B2 â ïðî- странство B1 è B2 соответственно.

Пусть B=B0 -фактор-пространство линейного пространства B по линейному подпространству B0. Обозначим символом xe 2 B=B0 класс эк- вивалентности, который содержит вектор x 2 B. Положим

151

Доказательство. Сначала докажем, что функция (3.5) определяет норму. Из неравенства треугольника в пространстве B следует неравенство

kx + y + + j Bk kx + j Bk + ky + j Bk;

поэтому

kxe + ye j B=B0k = inffkx + y + + k j ( + ) 2 B0g inffkx + j Bk j 2 Bg + inffky + j Bk j 2 Bg = kxe j B=B0k + kye j B=B0k:

Следовательно, неравенство треугольника для функции (3.5) выполнено. Однородность относительно умножения на скаляр очевидна.

Пусть

kxe j B=B0k = 0:

Тогда существует такая последовательность f ng B0 и такой элемент x 2 xe, ÷òî

kx + nk ! 0 ; n ! 1:

В силу замкнутости пространства B0 (имено здесь используется замкнутость пространства B0) имеем:

x = lim n 2 B0;

n!1

поэтому

xe = 0:

Невырожденность функции (3.5) доказана. Итак, мы доказали, что функция (3.5) определяет норму на пространстве B=B0. Теперь докажем, что пространство B=B0 полно относительно этой нормы.

Пусть xen -фундаментальная относительно нормы (3.5) последователь-

ность. Без ограничения общности мы можем считать, что выполнено

неравенство

kxen+1 xen j B=B0k 2 (n+1); xe1 = 0:

Существуют такие xn 2 B ; n 2 B0, ÷òî

kxn+1 xn + n j Bk 2 n ; x1 = 0:

1 m n

Òàê êàê

yn+1 yn = xn+1 xn + n;

152

то существует предел

y := lim yn:

n!1

Справедливо неравенство

kye xen+1 j B=B0k = kye yen+1 j B=B0k ky yn+1 j Bk ! 0 ; n ! 1:

Полнота пространства B=B0 доказана. Приведем примеры банаховых пространств.

Пример 3.1.1. Пространство Cn есть банахово пространство относительно каждой из норм

X

kzk = jzjj ; kzk = maxfjzjj j 1 j ng:

1 j n

Пространство Cn можно рассматривать как прямую сумму пространств

C1.

Пример 3.1.2. Пространство C(D) всех определенных на компакте D Rn нерперывных функций есть банахово пространство относительно нормы

Пример 3.1.3. В пространстве Lp ; 1 p < 1; с интегралом I рассмотрим линейное подпространство L0:

L0 = ff j I(jfjp) = 0g;

и рассмотрим фактор-пространство относительно пространства L0:

Lp=L0:

Это фактор-пространство есть банахово пространство относительно нормы

8(fe2 Lp=L0) : kfek = I(jfjp)1=p:

ãäå f -любая функция из класса эквивалентности fe. Полнота простран- ñòâà Lp=L0 следует из теоремы Рисса-Фишера.

Обычно фактор-пространство Lp=L0 отождествляется с Lp и обозна- чается тем же символом.

153

Теорема 3.1.2. В банаховом пространстве операции сложения

(B B) 3 x y 7!x + y 2 B

и умножения на число

(C1 B) 3 x 7!x 2 B

непрерывны.

Доказательство. Пусть

xn 2 B ; yn 2 B ; xn ! x0 ; yn ! y0 ; n ! 1:

Тогда

k(x0 + y0) (xn + yn)k kx0 xnk + ky0 ynk ! 0 ; n ! 1;

что и доказывает непрерывность операции сложения. Непрерывность умножения на число доказывается абсолютно аналогично.

Теорема 3.1.3. 1. Если O -открытое множество в банаховом пространстве B и 6= 0, то множество

O = fx j x = y ; y 2 Og

открыто.

2. Если O -открытое множество в банаховом пространстве B и A - произвольное множество в банаховом пространстве B, то множество

A + O = fx j x = y + z ; y 2 O ; z 2 Ag

открыто.

Доказательство. Для доказательства первого утверждения заметим, что отображение

B 7!B : x 7!x=

непрерывно. Множество O есть прообраз открытого множества O ïðè

этом отображении и поэтому открыто.

Для доказательства второго утверждения заметим, что отображение

B 7!B : x 7!x y

непрерывно. Поэтому при любом y 2 A множество y + O открыто как прообраз открытого множества O при непрерывном отображении. Множество A + O открыто как объединение открытых множеств.

154

3.2Пространство линейных отображений.

Пусть B1 è B2 -банаховы пространства.

Определение 3.2.1. Отображение

T : B1 7!B2

называется линейным, если

8( 2 C; 2 C ; x 2 B1 ; y 2 B1) : T ( x + y) = T (x) + T (y):

Лемма 3.2.1. Если линейное отображение непрерывно в точке x = 0, то оно непрерывно в произвольной точке x0 2 B1.

Доказательство. Пусть

xn ! x0 ; n ! 1:

Тогда

(xn x0) ! 0 ; n ! 1;

и если линейное отображение T непрерывно в нуле, то

kT (xn) T (x0)k = kT (xn x0)k ! 0 ; n ! 1;

а отсюда следует непрерывность отображения T в точке x0.

Лемма 3.2.2. Если линейное отображение непрерывно в некоторой точке x0 2 B1, то оно непрерывно в нуле.

Доказательство. Пусть

yn ! 0 ; n ! 1:

Тогда

(x0 + yn) ! x0;

и если линейное отображение T непрерывно в точке x0, òî kT (yn)k = kT (x0 + yn) T (x0)k ! 0 ; n ! 1;

Из лемм 3.2.1 и 3.2.2 вытекает

Теорема 3.2.1. Если линейное отображение непрерывно в одной точке, то оно непрерывно всюду.

155

Множество всех линейных непрерывных отображений банахова пространства B1 в банахово пространство B2 мы обозначим символом L(B1 7!

B2).

Определение 3.2.2. Линейное отображение

T : B1 7!B2

ограничено, если существует такая константа C < 1, ÷òî

Âлевой части неравенства (3.8) норма берется в пространстве B2,

âправой части неравенства (3.8) норма берется в пространстве B1. Â

дальнейшем мы не будем специально оговаривать в каком именно пространстве берутся нормы, если это можно понять из контекста.

Точная нижняя грань всех возможных констант C, которые удовлетворяют неравенству (3.8) называется нормой ограниченного оператора

T :

Мы оставляем читателю проверку того, что правая часть (3.9) действительно задает норму на линейном пространстве всех ограниченных ли-

нейных операторов, которые действуют из B1 â B2.

Теорема 3.2.2. Линейный оператор непрерывен в том и только том случае, если он ограничен.

Доказательство. Непосредствено из определения (3.8) следует, что ограниченный оператор непрерывен в нуле, поэтому ограниченный оператор непрерывен.

Если оператор T непрерывен в нуле, то тогда существует такая константа > 0, ÷òî

что и доказывает ограниченность непрерывного оператора T .

В дальнейшем пространство L(B1 7!B2) мы будем рассматривать как нормированное пространство с нормой (3.9).

156

Теорема 3.2.3. Пространство L(B1 7!B2) есть банахово простран-

ство, т. е. оно полно относительно метрики, которая индуцирована нормой (3.9).

Доказательство. Пусть fTng L(B1 7!B2) -произвольная последовательность, которая фундаментальна по норме (3.9). Так как

8(x 2 B1) : kTn(x) Tm(x)k kTn Tmkkxk

и пространство B2 полно, то

8(x 2 B1) ; 9T (x) : lim Tn(x) = T (x): (3.12)

n!1

Ясно, что определенный равенством (3.12) оператор T линеен. Докажем, что он ограничен.

Пусть N выбрано настолько большим, что

8(m ; n > N) : kTn Tmk < 1

Тогда

Переходя в неравенстве (3.13) к пределу n ! 1, мы получаем неравенство

8(x 2 B1) : kT (x)k (1 + kTmk)kxk;

из которого и следует ограниченность оператора T . Но оганиченный опе-

ратор непрерывен, поэтому наша теорема доказана. Рассмотрим

D

задает оператор

K : C(D) 7!C(D):

157

Оценим его норму. Имеем:

Z

kKf j C(D)k = supfj k(x ; y)f(y)dyjx 2 Dg

D

Z

(supf jk(x ; y)jdy j x 2 Dg) supfjf(y)j j y 2 Dg =

D

Z

(supf jk(x ; y)jdy j x 2 Dg)kf j C(D)k

D

Следовательно,

Z

kK j L(C(D) 7!C(D))k supf jk(x ; y)jdy j x 2 Dg:

D

Будем рассматривать заданный формулой (3.14) оператор как оператор из L1(D) â L1(D) и оценим его норму. Имеем:

ZZ

kKf j L1(D)k = j k(x ; y)f(y)dyjdx

supf jk(x ; y)jdx j y 2 Dgkf j L1(D)k:

D

Следовательно,

Z

kK j L(L1(D) 7!L1(D))k supf jk(x ; y)jdx j y 2 Dg:

D

Будем рассматривать заданный формулой (3.14) оператор как оператор из L2(D) â L2(D) и оценим его норму. Имеем:

Z Z

DD

158