Доказательство. Выберем > 0 настолько малым, что число kak +
было бы меньше, чем радиус сходимости ряда (3.131), выберем в каче- стве контура интегрирования в (3.120) окружность радиуса kak + è
подставим в (3.120) разложения (3.104) и (3.131). Получим (3.131).
В теории банаховых алгебр важное значение имеет понятие спектрального радиуса.
Определение 3.5.13. Спектральным радиусом элемента a банаховой алгебры называется число
r(a) = supfj j j 2 (a)g: |
(3.132) |
Теорема 3.5.12. Справедлива формула |
|
|
|
r(a) = nlim kank1=n: |
(3.133) |
|
|
|
!1 |
|
|
|
|
|
Доказательство. Обратимся к формуле (3.104). Радиус сходимости |
степенного ряда можно вычислить по формуле |
|
R |
0 = |
lim sup |
k |
an |
k |
1=n: |
(3.134) |
|
n |
!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство этой формулы для случая банаховах алгебр дословно повторяет известное доказательство в теории функций комплексного переменного, и так же, как и в теории функций комплексного переменного
легко доказывается, что ряд (3.104) сходится при j j > R0, расходится ïðè j j < R0 и представленная рядом (3.104) функция обязательно имеет особенности на окружности f j j j = R0g Отсюда следует, что
r( |
a |
) = |
lim sup |
k |
an |
k |
1=n: |
(3.135) |
|
|
n |
!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теперь заметим, что из формулы (3.125) следует, что |
|
f j = n ; 2 (a)g = (an) f j j j kankg; |
|
поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8(n > 0) : r(a)n kank: |
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r( |
a |
) |
lim inf |
k |
an |
k |
1=n: |
(3.136) |
|
|
n |
!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сравнивая формулы (3.135) и (3.136), мы получаем утверждение теоремы.
Теорема 3.5.13. Пусть спектр элемента a есть объединение конечного числа замкнутых множеств:
|
(a) = [ j ; dist( j ; k) > 0 ; j 6= k: |
|
Тогда существуют такие элементы P ( j) 2 A, ÷òî |
|
P 2( j) = P ( j); |
(3.137) |
P ( j)P ( k) = 0 ; j 6= k; |
(3.138) |
Xj |
P ( j) = id; |
(3.139) |
8(f 2 Fa) : |
|
f(a)P ( j) = P ( j)f(a) ; (P ( j)f(a)) = f0g [f( j): |
(3.140) |
Доказательство. Пусть O( j) -непересекающиеся открытые окрестно-
сти множеств j. Положим
(
Pj( ) = 1 ; 2 O( j); 0 ; 62O( j):
Элементы
def
P ( j) = Pj(a)
удовлетворяют условиям теоремы.
Åñëè A = L(B 7!B), то доказанную нами теорему можно изложить в несколько иной редакции.
Определение 3.5.14. Оператор P 2 L(B 7!B) называется проектором, если
Обратим внимание на то, что мы рассматриваем только ограниченные линейные операторы, которые удовлетворяют равентсву (3.143)
Определение 3.5.15. Пусть j -замкнутая компонента спектра элемента a 2 A:
dist( j ; (a) n j) > 0:
Проектор
P ( j) = |
2 i@DI |
R( ; a)d |
def |
1 |
|
|
ãäå
\
j D O( j) ; O( j) ( (a) n j) = ;;
называется спектральным проектором на компоненту j спектра элемен- òà a.
Пусть P -проектор и y = P x. Тогда
P y = P 2x = P x = y;
поэтому справедлива
Лемма 3.5.10. Если P -проектор, то y 2 Im(P ) в том и только том
случае, если |
|
y = P y: |
(3.144) |
Следовательно, для любого непрерывного проектора P подпространство Im(P ) B есть замкнутое подпространство. Далее замечаем, что если P -проектор, то (id P ) -проектор. Следовательно, для любого непрерывного проектора P пространство B разлагается в прямую сумму замкнутых подпространств:
B = P B (id P )B = Im(P ) Im(id P ):
Теперь теорему 3.5.13 можно сформулировать так.
Теорема 3.5.14. Пусть спектр элемента a 2 L(B 7!B) есть объединение конечного числа замкнутых множеств:
[
(a) = j ; dist( j ; k) > 0 ; j 6= k;
è P ( j) -соответсвующие спектральные проекторы. Тогда пространство B разлагается в прямую сумму
B = Xj |
P ( j)B; |
(3.145) |
причем |
|
|
8(f 2 Fa) : f(a)P ( j)B P ( j)B ; (P ( j)f(a)) = f0g [f( j): |
(3.146) |
Посмотрим, как изменяется оператор f(a) при малом изменении оператора a.
Из теоремы 3.5.2 (см. стр. 189) следует
Теорема 3.5.15. Пусть f 2 Fa. Тогда существует такое > 0, что
8(b 2 b(a ; )) : f 2 Fb
è |
0 n |
2 i I |
R( ; a)((b a)R( ; a))nf( )d : |
(3.147) |
f(b) = |
|
X |
1 |
|
|
|
|
|
l(a) |
|
|
|
1 |
|
|
|
Доказательство. Из второго резольвентного тождества ( (3.108), стр. 190 ) следует, что
R( ; b)(id (b a)R( ; a)) = R( ; a):
Поэтому при достаточно малом > 0 :
8(b 2 b(a ; )) : R( ; b) = R( ; a) |
X |
((b a)R( ; a))n: (3.148) |
0 |
n1 |
Подставив эту формулу в (3.120), мы получим утверждение теоремы. Из (3.147) следует полезное и часто используемое равенство:
I
f(b) = f(a) + 21 i R( ; a)(b a)R( ; a)f( )d + O(kb ak2); (3.149)
l(a)
где символ O(: : :) означает слагаемое, норма которого имеет указанный
в скобках порядок.
Наконец отметим, что из леммы 3.5.5 (см. стр. 189) и формулы (3.107) следует
Теорема 3.5.16. Если U 2 A -обратимый элемент, то
Uf(a)U 1 = f(UaU 1): |
(3.150) |
3.6Изолированные особые точки резольвенты.
3.6.1Общий случай.
Определение 3.6.1. Точка 0 называется изолированной особой точкой резольвенты R( ; a), если существует такое 0 > 0, ÷òî
8( 2 f j 0 < j 0j < 0g) :
1X |
1 |
|
R( ; a) = |
An( 0)n; |
(3.151) |
<n< |
|
|
9(n < 0) : An 6= 0 |
(3.152) |
Входящие в (3.152) коэффициенты An удовлетворяют ряду тождеств,
которые мы сейчас выведем. Введем функции
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(0 ; n < 0: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n) = 1 ; n 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nm = |
(0 ; n = m: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 ; n = m; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема 3.6.1. Справедливы равенства |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1: 8(m ; n) : AnAm = (1 (m) (n))Am+n+1: |
(3.153) |
|
2: 8n: (a 0id)An = An 1 n0id: |
|
|
|
|
|
(3.154) |
Доказательство. Пусть 0 < < 0: Положим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l1 = f j j 0j = =2g; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l2 = f j j 0j = g: |
|
|
|
|
Тогда из (3.152) следует, что |
|
R( ; a)( 0) (n+1)d ; |
|
|
|
|
|
|
8n : An = 2 i lI2 |
(3.155) |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AnAm = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 i |
2 |
lI2 |
R( ; a)( 0) n 1d lI1 |
R( ; a)( 0) m 1d = |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 i |
2 |
lI2 lI1 |
R( ; a)R( ; a)( 0) n 1( 0) m 1d d = |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 i |
2 |
I I (R( ; a) R( ; a))( ) 1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l2 |
l1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 0) n 1( 0) m 1d d : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Íî |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
k |
|
|
|
|
|
( ) 1 = ( 0) 1 0 k |
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставив это равенство в предыдущее, мы получим первое утверждение теоремы.
Теперь докажем второе утверждение теоремы. Справедливо равенство
(( 0id a) + ( 0)id)R( ; a) = id:
Умножим это равенство на (2 i) 1( 0) n 1 и проинтегрируем по кон- òóðó l2. Получим (3.154). Теорема доказана.
Определим операторы
P ( 0) = A1 = |
2 i lI2 |
R( ; a)d ; |
(3.156) |
def |
1 |
|
|
|
D( 0) = A2 = 2 i lI2 |
R( ; a)( 0)d ; |
(3.157) |
|
|
1 |
|
|
|
A0( 0) = 2 i lI2 |
R( ; a)( 0) 1d : |
(3.158) |
1 |
|
|
|
|
|
Теорема 3.6.2. В окрестности изолированной особой точки резольвента имеет разложение:
R( ; a) = S ( ) + P ( 0)( 0) 1 + S+( ); |
(3.159) |
ãäå |
|
|
|
S ( ) = |
|
D( 0)(jnj1)( 0)n; |
(3.160) |
1X |
2 |
|
<n |
|
|
0 X1 |
( 1)n+1A0( 0)n+1( 0)n: |
|
S+( ) = |
(3.161) |
n<
Доказательство. Положим в (3.153) m = 2 ; n = q ; q 1. Полу- чим:
A (q+1) = A 2A q;
поэтому
A (q+1) = Aq 2:
Положим в (3.153) m = 0 ; n 0. Получим:
A(n+1) = A0An;
поэтому
8(n 0) : An = ( A0)(n+1):
Теорема доказана.
Теорема 3.6.3. Если у резольвенты элемента a есть только изолированные особые точки и нет других особенностей, то
X
a = ( jP ( j) + D( j)); (3.162)
j
где сумирование распространено на все особые точки резольвенты и входящие в (3.162) операторы вычисляются по формулам (3.156)-(3.157).
Во-первых отметим, что поскольку все особые точки резольвенты расположены внутри круга конечного радиуса, то изолированных особых точек может быть только конечное число. Далее заметим, что из (3.154) следует равенство
8j : P ( j)a jP ( j) = D( j):
Суммируя эти равенства по всем j и учитывая (3.139), мы получим утверждение теоремы.
3.6.2Строение резольвенты в окрестности полюса.
Определение 3.6.2. Изолированная особая точка 0 называется полю- сом порядка m 1, если в разложении (3.152)
8(n > m) : A n = 0 ; A m 6= 0: |
(3.163) |
В дальнешем нам будет удобно считать, что a = T 2 L(B 7!B):
Напомним
Определение 3.6.3. Число 0 называется собственным значением оператора T 2 L(B 7!B), åñëè
9(x 2 B ; x 6= 0) : T x = 0x:
Теорема 3.6.4. Åñëè 0 -полюс порядка m для резольвенты оператора T , то
1. 0 -собственное значение оператора T .
2. При n m справедливы равенства:
8(n m) : Ker(( 0 T )n) = Im(P ( 0)): |
(3.164) |
8(n m) : Im(( 0 T )n) = Im(id P ( 0)); |
(3.165) |
ãäå P ( 0) -спектральный проектор (3.156). |
|
Таким образом, |
|
8(n m) : B = Im(( 0id T )n) Ker(( 0id T )n): |
(3.166) |
Доказательство. Из (3.154) следует равенство
8(n 1) : (T 0id)A n = A (n+1): |
(3.167) |
Åñëè
A m 6= 0 ; íî A (m+1) = 0;
то существует такой вектор z 2 B, ÷òî
x = A mz 6= 0 ; A (m+1)z = 0:
Поэтому из (3.167) следует, что
9(x 2 B ; x 6= 0) : (T 0id)x0 = 0:
Мы доказали, что полюс резольвенты оператора есть собственное значе- ние оператора.
Замечание. Если 0 -собственное значение оператора, то Ker( 0id
T ) 6= 0 и у оператора ( 0id T ) нет обратного, поэтому собственное зна-
чение всегда принадлежит спектру оператора, но собственное значение может не быть изолированной особой точкой резольвенты оператора.
Перейдем к доказательству второго утверждения теоремы. Из (3.153) и (3.154) следуют равенства:
8(n 0) : An = (T 0id)A(n+1); (T 0id)A0 = P ( 0) id:
Поэтому
8(k 0) : (P ( 0) id) = (T 0id)A0 = (T 0id)2A1 = : : :
(T 0id)(k+1)Ak = Ak(T 0id)(k+1): |
(3.168) |
Следовательно, |
|
8(n 1) : Ker(( 0id T )n) Im(P ( 0)): |
(3.169) |
Из (3.144) и (3.168) следует, что |
|
8(n m ; x 2 Im(P ( 0))) : |
|
(T 0id)nx = (T 0id)nA 1x = A (n+1)x = 0: |
|
Поэтому |
|
8(n m) : Im(P ( 0)) Ker((T 0id)n): |
(3.170) |
Из (3.169) и (3.170) следует, что
8(n m) : Im(P ( 0)) = Ker((T 0id)n): |
(3.171) |
Åñëè
x = (P ( 0) id)z;
то в силу равенства (3.154)
x = (T 0id)A0z = (T 0id)nA(n 1)z 2 Im((T 0id)n);
поэтому справедливо включение
8(n 1) : Im(id P ( 0)) Im((T 0id)n): |
(3.172) |
Теперь докажем, что |
|
8(n m) : Im(( 0id T )n) \Ker(( 0id T )n) = 0: |
(3.173) |
Пусть n m è |
|
x = ( 0id T )nz ; ( 0id T )nx = 0: |
(3.174) |
Тогда
( 0id T )2nz = 0;
и из (3.171) следует, что
z 2 Im(P ( 0)) = Ker(( 0 T )n);
поэтому x = 0.
Утверждение (3.173) доказано. Итак, мы имеем:
8(n m) : B = (Im(P ( 0)) Im(id P ( 0)) =
Ker(( 0 T )n Im(( 0 T )n):
Теорема доказана.
Теорема 3.6.5. Åñëè 0 -изолированная особая точка резольвенты и
dim(Im(P ( 0))) = n < 1;
òî 0 -полюс.
Im(P ( 0)).
Доказательство. Пусть e1 ; e2 : : : en -базис в пространстве
Òàê êàê n+1 векторов e1 ; T e1 ; : : : T ne1 принадлежат пространству Im(P ( 0)) и поэтому линейно зависимы, то должны существовать такие числа 1;j ; 0 j n, ÷òî
P1(T )e1 := |
X |
1;jT je1 = 0: |
|
0 j n |
Точно так же должны существовать такие полиномы Pj( ), ÷òî
8j : Pj(T )ej = 0:
Положим
Q( ) = P1( )P2( ) : : : Pn( ):
Очевидно, что |
|
|
|
|
|
|
Q(T )P ( 0) = 0: |
(3.175) |
Если точка 0 не есть корень многочлена Q( ), то функция |
|
(0 ; |
|
j)0 |
|
> |
|
W ( ) = 1=Q( ) ; |
0j < ; |
(3.176) |
|
j |
|
|
j |
|
|
аналитична в окрестности спектра оператора T , и справедливо равенство
W (T )Q(T )P ( 0) = P ( 0):
Следовательно, 0 корень многочлена Q( ), и существует такое m < 1, что справедливо равенство
Q( ) = ( 0)mh( );
ãäå h( 0) 6= 0.
Отсюда вытекает, что существует такое > 0, при котором функция 1=h( ) аналитична в окрестности f j j 0j < g è
8(j 0j < ) : ( 0)m = Q( )=h( );
Отсюда следует, что оператор 1=h(T ) существует и
(T 0id)mP ( 0) = 1 Q(T )P ( 0) = 0;
h(T )
поэтому
8(n > m) : A n = (T 0id)nP ( 0)
= (T 0id)(n m)(T 0id)mP ( 0) = 0:
