FA Арсеньев Функ.Ан

Положим в этом неравенстве

Ay x = kAyk:

Получим:

8(kyk = 1) : kAyk M:

Лемма доказана.

Из леммы 4.3.4 вытекают два важных следствия.

Следствие 4.3.1. Если A -самосопряженный оператор, то

Это вытекает из равенства

kA2k = supf< x ; A2x >j kxk = 1g = supf< Ax ; Ax >j kxk = 1g = kAk2:

Следствие 4.3.2. Если r(A) -спектральный радиус самосопряженного оператора A, то

Доказательство. Из (4.38) следует, что

8n : kAq(n)k = kAkq(n) ; q(n) = 2n:

В силу теоремы 3.5.12 справедливо равенство

r(A) = lim kAq(n)k1=q(n) = kAk:

n!1

4.4Компактные самосопряженные операторы, операторы Гильберта-Шмидта и ядерные операторы.

4.4.1Компактные самосопряженные операторы.

Эти операторы часто встречаются в классических задачах математиче- ской физики. Свойства компактных самосопряженных операторов описываются теоремой Гильберта-Шмидта.

289

Теорема 4.4.1. Если A 6= 0 -самосопряженный компактный оператор в

гильбертовом пространстве,то существует такая не более чем счетная ортонормированная система fejg и такая последовательность f jg ;j ! 0 ; j ! 1, ÷òî

j<

Åñëè ðÿä (4.40) бесконечен, то он сходится по норме.

Доказательство. В силу леммы 4.3.1 хотя бы одно из чисел kAk 6= 0

принадлежит спектру оператора A. Пусть 1 2 (A) ; j 1j = kAk. Все не равные нулю точки спектра компактного оператора -изолированные собственные значения (см. теорему 3.8.5, стр. 235). Следовательно, 1

-собственное значение оператора A. Пусть e1 -собственная функция:

Рассмотрим оператор

A1 : A1f = Af 1 < e1 ; f > e1:

Оператор A1 самосопряжен и компактен. Либо A1 = 0, либо у операто- ðà A1 есть собстенное значение 2, которому соответствует собственная функция e2, причем kA1k = j 2j. Имеем:

Ae2 1 < e1 ; e2 > e1 = 2e2:

Умножив скалярно обе части этого равенства на e1, мы получим:

<e1 ; Ae2 > 1 < e1 ; e2 >=

<Ae1 ; e2 > 1 < e1 ; e2 >= 0 = 2 < e1 ; e2 > :

Следовательно,

ëèáî 2 = 0 ; ëèáî < e2 ; e1 >= 0

è

Ae2 = 2e2:

Далее положим

A2 : A2f = A1f 1 < e1 ; f > e1 2 < e2 ; f > e2

290

1 j n

либо получим бесконечную последовательность j, причем в силу теоре- ìû 3.8.5

j jj = kAjk ! 0 ; j ! 1:

Теорема доказана.

Приведем пример компактного самосопряженного оператора.

Пусть D Rd -ограниченная квадрируемая область, k(x ; y) -непрерывная функция от x ; y 2 D, которая принимает действительные значения и симметрична по x ; y:

8(x 2 D ; y 2 D) : k(x ; y) = k(y ; x):

Оператор Z

Af(x) = k(x ; y)f(y)dy

D

компактен в пространстве L2(D) (см. стр. 224) и самосопряжен.

Пусть f +j g -положительные собственные значения компактного самосопряженного оператора A, расположенные в порядке невозрастания

модуля:

+j+1 +j :

Пусть f j g -отрицательные собственные значения компактного самосопряженного оператора A, расположенные в порядке невозрастания мо-

äóëÿ:

j (j+1)j j j j:

Пусть L(j 1) -подпространства в H:

L(j 1) H ; dim(L(j 1)) = j 1;

+(L(j 1)) = supf< f ; Af >j kfk = 1 ; f 2 L?(j 1)g;

(L(j 1)) = inff< f ; Af >j kfk = 1 ; f 2 L?(j 1)g:

Следующий результат называется теоремой Е. Фишера или принципом минимакса.

Теорема 4.4.2. 1. Åñëè

\

(A) [0 ; 1) 6= ;;

291

Доказательство. Пусть

Aej = j ej

-собственные функции, соответствующие собственным значениям j . Ñïðà- ведливо равенство

Из (4.46) следует, что при вычислении точных граней в (4.42)-(4.44) достаточно рассмотреть случай

причем

+1 =< e+1 ; Ae+1 > :

Равенство (4.42) доказано.

Равенство (4.44)получается из (4.42) заменой A 7! A. Фиксируем произвольно линейно независимые векторы

fhi ; 1 i j 1g H;

292

пусть

L(j 1) = spanfhi ; 1 i j 1g

и определим числа f i ; 1 i jg из условий

Пусть

Тогда

поэтому

+(L(j 1)) < ; A > +j :

Íî

+(e+1 ; : : : e+(j 1)) = +j ;

что и доказывает (4.43).

Равенство (4.45) получается из (4.43) заменой A 7! A. Теорема доказана.

Åñëè j(A) è j(B) -занумерованные в порядке убывания собственные числа самосопряженных операторов A и B и

A B;

òî

8j : j(A) j(B):

Формула (4.40) в некотором смысле задает общий вид компактного самосопряженного оператора в гильбертовом пространстве.

Лемма 4.4.1. Если fejg -ортонормированная система в гильбертовом пространстве и j ! 0 ; j ! 1 -последовательность действительных чисел, то оператор

X

Af = j < ej ; f > ej

j

компактен.

293

Доказательство. Оператор

X

Anf = j < ej ; f > ej

1 j n

компактен. Дале имеем:

X

kAf Anfk2 = j2j < ej ; f > j2 kfk2 supf j2 j j > ng;

j>n

поэтому

kA Ank supfj jj j j > ng ! 0 ; n ! 1:

Следовательно, оператор A есть предел по норме компактных операторов и поэтому компактен.

4.4.2Полярное разложение оператора и характеристические числа.

Пусть A 2 L(H 7!H). Оператор A A 2 L(H 7!H) самосопряжен и его

спектр лежит на неотрицательной действительной оси, где определена

функция p

R1+ 3 7! 2 R1+:

В силу теоремы 4.5.1 корректно определен неотрицательный самосопряженный оператор

Следующая теорема называется теоремой о полярном разложении оператора.

Теорема 4.4.3. Оператор A 2 L(H 7!H) представим в ввиде:

где самосопряженный неотрицательный оператор jAj дается формулой (4.48), а оператор U удовлетворяет условиям:

294

Доказательство. Из определения (4.48) следует, что

8f 2 H : < jAjf ; jAjf >=< f ; A Af >= kAfk2:

Следовательно,

Оператор U мы оперделим, задав его график. Положим по определению

Òàê êàê Af = 0 в том и только том случае, если jAjf = 0, равенство (4.54) корректно задает график оператора, который удовлетворяет условию

A= UjAj

èв силу (4.53) на образе оператора jAj удовлетворяет остальным услови-

ям теоремы. Так как последовательность fjAjfng сходится в том и только том случае, если сходится последовательность fAfng, оператор U можно по непрерывности продолжить на замыкание множества Im(jAj), причем продолженный оператор удовлетворяет условию:

В силу теоремы Банаха об обратном операторе отсюда следует третье утверждение теоремы. Теорема доказана.

Замечание 4.4.1. Опрератор U 1 не определен в пространстве H. Пусть

Теорема 4.4.4. Если оператор A компактен, то оператор jAj -компактный оператор.

Доказательство. Если оператор A компактен, то оператор A A åñòü

произведение двух компактных операторов и поэтому есть неотрицательный компактный самосопряженный оператор. Пусть

295

-система собственных значений и собственных функций оператора A A. Из теоремы Гильберта-Шмидта 4.4.1 (см. стр. 290)следует, что

sj(A) ! 0 ; j ! 1:

Из определения 4.48 следует равенство

X

jAjf = sj(A) < ej ; f > ej: (4.59)

j

Из этого равенства и леммы 4.4.1 (см. стр. 293) следует, что оператор jAj -компактный оператор. Теорема доказана.

Расположенные в порядке убывания собственные значения оператора jAj называются характеристическими числами (или

s-числами) компактного оператора A.

Обычно характеристические числа оператора обозначаются символом sj(A).

Из формул (4.49), (4.59) и теоремы 4.4.3 следует

Теорема 4.4.5. Компактный оператор A в гильбертовом пространстве представим в виде

X

Af = sj(A) < ej ; f > gj; (4.60)

j

ãäå fejg è fgjg -ортонормированные системы.

Доказательство. Справедливы равенства

X

Af = UjAjf = sj(A) < ej ; f > Uej; (4.61)

j

ãäå fejg -ортонормированная система. Так как оператор U унитарен на области значений оператора jAj, система gj = Uej -ортонормирована.

Представление компактного оператора A в виде (4.60) называется

разложением Шмидта. Заметим, что у компактного оператора в гильбертовом пространстве может не быть ни одного собственного вектора. Пример такого оператора -оператор

Z x

Af(x) = f(t)dt

0

в пространстве L2([0 ; 1] ; dx). Однако характеристические числа есть у любого компактного оператора.

296

Мы будем считать, что рассматриваемые гильбертовы пространства сепарабельны и входящие в разложение Шмидта ортонормированные системы полны (ясно, что при необходимости ортонормированные систе-

ìû fejg è fgjg можно произвольно дополнить до полных ортонормиро-

ванных систем и считать, что соответствующие дополненным элементам слагаемые входят в разложение с нулевыми коэффициентами).

Фундаментальное свойство характеристических чисел компактного оператора описывается доказываемой ниже теоремой Д.Э.Аллахвердиева. Перед формулировкой этой теоремы мы напомним некоторые свойство конечномерных операторов.

Определение 4.4.2. Оператор K 2 L(H 7!H) называется конечномерным, если

1 j n

ãäå fejg è fgjg -линено независимые системы элементов гильбертова пространства.

Представление оператора в виде (4.62) не единственно. Если

1 j m

Следовательно, в представлении (4.63) n m. Аналогично мы получа- ем неравенство m n. Следовательно, для конечномерного оператора

зависит только от оператора K и не зависит от его представления в виде (4.63). Определеное равенством (4.64) число мы будем называть размерностью оператора. Если оператор K задан формулой (4.62), то

Im(K) = spanfg1 ; : : : gng:

Также очевидно равенство

dim(K ) = dim(K):

297

Пусть

Следующая теорема назывется теоремой Д.Э.Аллахвердиева.

Теорема 4.4.6. Справедливы равенства

Доказательство. Из теоремы Фишера (теорема 4.4.2, стр. 291) следует, что

Равенство (4.67) -это формулировка утверждения теоремы Фишера. Равенство (4.68) -это следствие равенства

Ker(K) = (Im(K ))?

которое есть следствие равенства (3.76) (см стр. 181). Впрочем, выписанное выше равенство легко можно проверить непосредственно. Последние два равенства есть формулировка соответствующих определений.

Следовательно,

s(j+1)(A) dist(A ; Mj):

Пусть (4.60) -разложение Шмидта оператора A. Положим

X

K0 = si(A) < ei ; f > gi:

1 i j

Очевидно, что

K0 2 Mj

è

i j+1

Следовательно,

kA K0k s(j+1)(A) è s(j+1)(A) dist(A ; Mj):

Теорема доказана.

298