Следовательно,
p(A)x = p(P AP )x:
Оператор P AP действует в конечномерном гильбертовом пространстве Hx, и согласно (4.105)
j < x ; p(A)x > j = j < x ; p(P AP )x > j kp(P AP )k
supfjp( )j j 2 (P AP )g supfjp( )j j j j kA j Hkg: (4.107) Правая часть неравенства (4.107) не зависит от x, следовательно,
supfj < x ; p(A)x > j j jkxk 1g = kp(A)k supfjp( )j j j j kA j Hkg:
Лемма доказана.
Заметим, что доказательство этой леммы опирается только на свойства эрмитовых операторов в конечномерном унитарном пространстве.
Замечание 4.5.1. Из доказываемой ниже теоремы (4.5.2) следует, что для произвольного самомопряженного оператора A справедливо равенство (4.105).
В дальнйешем мы будем опираться только на неравенство (4.106), поэтому читатель может сразу перейти к следствию 4.5.1 на стр. 314.
Ниже мы докажем несколько утверждений, которые по смыслу близки лемме 4.5.1 и которые полезно знать.
Лемма 4.5.2. Если A -ограниченный самосопряженный оператор и p( ) -полином с действительными коэффициентами, то
kp(A)k = supfjp( )j j 2 (p(A))g = supfjp( )j j 2 (A)g: (4.108)
Доказательство. Если коэффициенты полинома p( ) действительны, то оператор p(A) самосопряжен, поэтому в силу следствия 4.3.2 (см. стр. 289) справедливо равенство
kp(A)k = supfj j j 2 (p(A))g = supfj j j 2 p( (A))g =
supfjp( )j j 2 (A)g:
Лемма доказана.
Заметим, что при доказательстве этой леммы мы существенно использовали теорему об отображении спектра и свойства спектрального радиуса. Если читатель усвоил эти понятия, то в последующих рассуждениях он может использовать лемму (4.5.2) вместо леммы (4.5.1) и тогда можно последующие расуждения сделать более точными: во всех оцен-
ках отрезки [ kAk ; kAk] можно заменить на компакт (A).
Ниже дается доказательство леммы, которая полезна и в многих других приложениях.