FA Арсеньев Функ.Ан

Следовательно, по теореме Рисса об общем виде линейного непрерывного функционала в гильбертовом пространстве в пространстве H+ существу- ет такой вектор Jg, ÷òî

Формула (4.201) определяет линейный оператор

J : H 7!H+ H:

Для рассматриваемого нами примера равенство (4.201) принимает вид:

Z Z

Jg (x)f(x)(1 + x2)dx = g (x)f(x)dx;

поэтому в рассматриваемом нами примере

Jg(x) = (1 + x2) 1g(x):

Доказательство. Имеем:

8(g 2 H) : kJg j k+ = supfj[Jg ; f]+j j kfk+ 1g =

supfj < g ; f > j j kfk+ 1g supfj < g ; f > j j kfk 1g = kgk:

Первое неравенство доказано. Второе есть очевидное следствие первого.

Лемма 4.8.2. Оператор J удовлетворяет соотношениям:

Замыкание в (4.205) берется в метрике пространства H+.

Доказательство. Если f 2 Ker(J), òî

8(g 2 H+) : [Jf ; g]+ =< f ; g >= 0:

Òàê êàê H+ плотно в H, то отсюда следует, что f = 0. Åñëè g 2 H+ ; g?Im(J), òî

(8(f 2 H) : [Jf ; g]+ =< f ; g >= 0) ) (g = 0):

Лемма доказана. Из леммы 4.8.2 вытекает

349

Следствие 4.8.1. Оператор J 1 определен на плотном в пространстве H множестве

Im(J) H+ H:

Лемма 4.8.3. Оператор J 1 симметричен на пространсве Im(J) относительно скалярного произведения < ; >.

Доказательство. Имеем:

8(f 2 Im(J) ; g 2 Im(J)) : < J 1f ; g >= [f ; g]+ = [g ; f]+ =< J 1g ; f > =< f ; J 1g > :

Лемма доказана.

Лемма 4.8.4. Оператор J самосопряжен и неотрицателен на пространстве H.

Доказательство. Докажем, что оператор J симметричен на пространстве H. Имеем:

8(f 2 Im(J) ; g 2 Im(J)) : < J 1f ; g >=< f ; J 1g > :

Заменяя в этом равенстве

f ! Jf ; g ! Jg;

мы получим:

8(f 2 H ; g 2 H) : < f ; Jg >=< Jf ; g > :

Оператор J определен на всем пространстве H, ограничен и симметри- чен. Следовательно, он самосопряжен. Неотрицательность оператора J следует из равенства

< g ; Jg >= [Jg ; Jg]+ 0:

Из самосопряженности оператора J в силу леммы 4.7.8 вытекает

Следствие 4.8.2. Оператор J 1 с областью определения

Dom(J 1) = Im(J) H

самосопряжен в пространстве H.

350

В рассматриваемом нами примере

Im(J) = ff j f(x) = (1 + x2) 1g(x) ; g(x) 2 L2(R1 ; dx)g = ff j (1 + x2)f(x) 2 L2(R1 ; dx)g

è

J 1f(x) = (1 + x2)f(x):

На пространстве H определим скалярное произведение:

Пусть H -гильбертово пространство, полученное пополнением пространства H по норме k k со скалярным произведением [ ; ] . По построению пространство H плотно в H по норме k k .

В рассматриваемом нами примере

Z Z

kfk2 = (1 + x2) 2jf(x)j2(1 + x2)dx = (1 + x2) 1jf(x)j2dx:

Теорема 4.8.1. Определенный равенством (4.201) оператор J продолжается по непрерывности на пространство H до оператора

Je2 L(H 7!H+) ; 8(f 2 H) : Je(f) = J(f):

Оператор Je удовлетворяет условиям:

Dom(Je) = H ; Im(Je) = H+ ; Ker(Je) = 0 ; kJej L(H 7!H+)k = 1:

351

Так как пространство H плотно в H , то существует и единственно такое непрерывное отображение

Je2 L(H 7!H+);

которое продолжает это равенство на все пространство H . Действитель- но, пусть

f 2 H ; kf fnk ! 0 ; n ! 1 ; fn 2 H:

Из (4.209) следует, что последовательность Jfn фундаментальна в про- странстве H+ и мы можем по определению положить

Jfe := lim Jfn:

n!1

Докажем, что множество Im(Je) замкнуто в H+. Пусть

Jfe n ! g ; n ! 1:

Тогда из (4.209) следует, что последовательность fn фундаментальна в пространстве H и поэтому

9(f0 2 H ) : f0 = lim fn è g = Je(f0):

n!1

Åñëè Im(Je) 6= H+, то существует g 2 H+ ; g?Im(Je), но тогда

8(f 2 H) : < f ; g >= [Jf ; g]+ = 0:

Следовательно, g = 0 è Im(Je) = H+. Остальные утверждения леммы тривиальны.

Следствие 4.8.3. Оператор Je обратим и

kJe 1 j L(H+ 7!H )k = 1:

Теорему 4.8.1 можно изложить в немного другой редакции. Скалярное произведение на пространстве H мы можем рассматри-

вать как билинейную форму, заданную на декартовом произведении H H+:

352

Теорема 4.8.2. Билинейная форма (4.210) продолжается по непрерывности на декартово произведение пространств H H+ и ее продол- жение:

7! 1 8 2 def

[ ; ]0 : H H+ C ; (f g H H ) : [f ; g]0 =< f ; g > (4.211)

приводит пространства H и H+ в двойственность: любой линейный непрерывный функционал на пространстве H+ может быть представ- ëåí â âèäå:

и любой линейный непрерывный функционал на пространстве H ìî- жет быть представлен в виде:

Доказательство. Напомним, что декартово произведение пространств H H+ мы можем рассматривать как метрическое пространство с мет-

рикой

d(f g ; f0 g0) = kf f0k + kg g0k+:

Имеем:

8(f g 2 H H+) : j < f ; g > j = j[Jf ; g]j kJfk+kgk+ =

Отсюда следует, что билинейная форма (4.210) продолжается по непрерывности на декартово произведение пространств H H+, òàê êàê åñëè последовательность fn gn 2 H H+ фундаментальна в метрике пространства H H+ è

fn gn ! f0 g0 2 H H+ ; n ! 1;

то последовательность < fn ; gn > фундаментальна и отображения

H+ 3 g 7![f ; g]0 ; f 2 H ; H 3 f 7![f ; g]0 ; g 2 H+

задают линейные непрерывные функционалы на соответствующих пространствах. Докажем, что любой линейный непрерывный функционал на

пространстве H+ может быть представлен в виде (4.212). Пусть l -такой

функционал. По теореме Рисса об общем виде линейного непрерывного функционала на гильбертовом пространстве существует такой вектор

g0 2 H+, ÷òî

8(g 2 H+) : l(g) = [g0 ; g]+:

353

Тогда мы имеем:

l(g) = [g0 ; g]+ = [Je 1g0 ; g]0:

Аналогично доказывается, что любой линейный непрерывный функцио- нал на пространстве H может быть представлен в виде (4.213). Теорема доказана.

Пространства H+ ; H и билинейная форма [ ; ]0 называются осна- щением гильбертова пространства H, а само пространство H вместе с пространствами H+ ; H -оснащенным гильбертовым пространством.

4.8.2Полуограниченные эрмитовы формы и расширение операторов по Фридрихсу.

Пусть Dom(B) -плотное в гильбертовом пространстве H линейное мно-

гообразие.

Функция

B : Dom(B) Dom(B) 3 x y ! B(x ; y) 2 C1

называется полуограниченной эрмитовой формой с областью определения Dom(B), åñëè

1. Функция B(x ; y) линейна по второму агрументу:

8(x 2 Dom(B) ; y 2 Dom(B)) : B(x ; y1 + y2) = B(x ; y1)+ B(x ; y2):

2. Выполнено условие:

8(x 2 Dom(B) ; y 2 Dom(B)) : B(x ; y) = B(y ; x) :

3. Существует такая константа 1 < M < 1, ÷òî

8(x 2 Dom(B)) : ëèáî B(x ; x) Mkxk2 ; ëèáî B(x ; x) Mkxk2:

Если эрмитова форма B(x ; y) ограничена, то в силу теоремы Лакса- Мильграма-Вишика существует такой ограниченый самосопряженный оператор A, ÷òî

Если справедливо равенство (4.215), то говорят, что форма B(x ; y) представлена оператором A. Если форма неограничена, то, вообще говоря,

она не может быть представлена оператором (соответствующий пример будет приведен ниже). Нас будет интересовать вопрос о том, при каких

354

условиях полуограниченная форма может быть представлена самосопряженным оператором.

Если форма B(x ; y) представлена оператором A, то при замене

предсталяющий ее оператор A заменится на оператор

A ! A + aid:

Ясно, что с помощью замены (4.216) можно получить форму, которая будет удовлетворять неравенству

В дальнейшем мы будем считать, что неравенство (4.217) выполнено. Удовлетворяющая условию (4.217) эрмитова форма B(x ; y) íà ïðî-

странстве Dom(B) определяет скалярное произведение и норму

Определение 4.8.1. Эрмитова форма B(x ; y) замкнута, если пространство Dom(B) есть гильбертово пространство (т. е. полно) относительно нормы (4.218).

Пусть HB -пополнение пространства Dom(B) по норме (4.218).

Åñëè fxng Dom(B) -сходящаяся по метрике пространства HB ïî- следовательность:

Предел в правой части (4.220) вычисляется в метрике пространства H.

Определение 4.8.2. Эрмитова форма B(x ; y) замыкаема, если определенное формулой (4.220) отображение имеет нулевое ядро:

Ker(I) = 0:

355

Приведем примеры. Пусть

В этом случае

Z

HB = ff j (1 + 2)jfb( )j2d < 1g ; Ker(I) = 0

и форма (4.222) замыкаема. Пусть

В этом случае

HB = L2(R1 ; dx) C1 ; Ker(I) = 0 C1 6= 0

и форма (4.223) не замыкаема (и не может быть представлена действующим в пространстве L2(R1 ; dx) оператором).

Если эрмитова форма B замыкаема, то пространство HB (пополне- ние пространства Dom(B) по норме k j Bk) с помощью определен-

ного равенством (4.220) отображения I можно вложить в пространство H так, что вложение будет взаимно однозначно на образе пространства HB, поэтому можно считать, что пространство HB есть подмногообразие пространства H:

HB H;

а эрмитова форма B по непрерывности продолжена на HB.

Если B -замкнутая плотно определенная полуограни-

ченная эрмитова форма, то существует такой самосопряженный оператор A, что выполнены условия:

1.Область определения оператора A содержится в Dom(B) и плотна в Dom(B):

356

2. Справедливо равенство:

Удовлетворяющий условиям 1-2 самосопряженный оператор единственен и называется оператором, который представляет форму B.

Доказательство. Докажем существование оператора A. Заменой (4.216)

перейдем к форме, которая удовлетворяет неравенству (4.217). Далее используем конструкцию, описанную в предыдущем параграфе: пусть

Dom(B) = H+ ; B(x ; y) = [x ; y]+ ; A = J 1;

ãäå J 1 -введенный в следствии (4.8.2) оператор. Как доказано в предыдущем параграфе, условия 1-2 выполнены. Докажем единственность опе- ратора A. Пусть оператор A0 удовлетворяет условиям 1-2. Так как

8(x 2 Dom(A0)) ; B(x ; x) = [x ; A0x]+ kxk2;

òî

Ker(A0) = 0

и оператор A 1

0 существует. Далее имеем:

8(x 2 Dom(B) ; y 2 Dom(A0)) :

<A0y ; x >= [y ; x]+ = [JA0y ; x]+ = [A0y ; Jx]+ = [y ; A0Jx]+;

<y ; x >= [A0 1y ; x]+ = [Jy ; x]+:

Так как множество Dom(A0) плотно в Dom(B), то отсюда следует, что

оператор A0 непрерывен как оператор L(H+ ! H) и совпадает на плотном в H+ множестве с ораниченным оператором J 1, а оператор A0 1

совпадает на Dom(B) с оператором J. Теорема доказана.

Пусть H линейное многообразие, и A -опреденный на Dom(A) симметричный полуограни- ченный оператор:

8(x 2 Dom(A) ; y 2 Dom(A)) : < x ; Ay >=< Ax ; y >;

8(x 2 Dom(A)) : < x ; Ax > Mkxk2 èëè < x ; Ax > Mkxk2: (4.226)

Теорема 4.8.4. Если A -опреденный на плотном в H линейном многообразии Dom(A) симметричный полуограниченный оператор, то форма

8(x 2 Dom(A) ; y 2 Dom(A)) : B(x ; y) =< x ; Ay >

эрмитова, полуограничена и замыкаема.

357

Доказательство. В нем нуждается только последнее утверждение. Без ораничения общности будем считать, что выполнено неравенство (4.217).

Нам нужно доказать, что если последовательность fxng Dom(A)) удовлетворяет условиям:

1. Последовательность fxng фундаментальна по норме kx j Bk2 = B(x ; x):

2. Последовательность fxng сходится к нулю в пространстве H: kxnk ! 0 ; n ! 1;

òî

B(xn ; xn) ! 0 ; n ! 1:

Пусть пространство HB есть пополнение пространства H по норме k j

Так как множество Dom(A) плотно в HB, то отсюда следует, что x0 = 0. Теорема доказана.

Пусть A -опреденный на плотном в гильбертовом пространстве H линейном многообразии Dom(A) симметричный полуограниченный оператор.

Сделаем такую замену и пусть B -замыкание формы (4.228), а A - оператор, который представляет форму B:

8(x 2 Dom(B) ; ; y 2 Dom( A)) : B(x ; y) =< x ; Ay > :

самосопряжен и удовлетворяет условиям:

Dom(A) Dom(A) Dom(B) ; 8(x 2 Dom(A)) : Ax = A(x):

Оператор A называется расширением по Фридрихсу оператора A. Это расширение часто используется в математической физике.

358