FA1-2007

2

ПРЕДИСЛОВИЕ

Функциональный анализ возник на рубеже 19-го и 20-го столетий в трудах Гильберта (теория операторов в бесконечномерных евклидовых пространствах), Фреше, Хаусдорфа (теория топологических и метрических пространств), Фредгольма (теория интегральных уравнений), Лебега (теория интеграла и меры), Рисса, Банаха (теория линейных нормированных пространств) и др.

Для функциональнного анализа характерен общий абстрактный подход, при котором исследуются не отдельные функции и уравнения, а различные пространства и операторы в этих пространствах. Этот подход позволил с единой точки зрения рассматривать, например, вопросы решения дифференциальных и интегральных уравнений, граничных задач для уравнений в частных производных, бесконечных систем уравнений. В настоящее время общепризнана объединяющая роль функционального анализа. Его язык, идеи и методы используются в теории дифференциальных уравнений и математической физике, в теории численных методов, в математической экономике, в теории управления и других теоретических и прикладных дисциплинах.

Сегодня имеется большое количество первоклассных учебников и монографий по функциональному анализу. Но их объем далеко превосходит возможности семестрового лекционного курса. Поэтому возникает необходимость в учебном пособии в объеме лекционного курса, которое являлось бы в определенной мере логически завершенным введением в предмет. Именно такую цель ставил автор при написании данного пособия.

Его содержание кратко можно охарактеризовать как введение в теорию линейных ограниченных операторов в банаховых пространствах. Оно базируется на курсе "Функциональный анализ", читаемого автором на механи- ко-математическом факультете Южного федерального университета.

Любое множество можно рассматривать как метрическое пространство, определив метрику, полагая, например, ½(x; x) = 0 и ½(x; y) = 1 при x =6 y. Правда, такое введение метрики малосодержательно, так как все такие пространства будут отличаться лишь мощностью соответствующих множеств. Очевидно, что на данном множестве можно рассматривать различные метрики и в этом случае мы получаем различные метрические пространства.

Первые примеры метрических пространств

1.Вещественная прямая R с метрикой ½(x; y) = jx ¡ yj.

2.Вещественное линейное пространство Rn с метрикой

½(x; y) = max jx(t) ¡ y(t)j:

t2[a;b]

Проверка аксиом в данных случаях тривиальна и предоставляется читателю.

Неравенства Гельдера и Минковского

Для рассмотрения дальнейших примеров нам понадобятся два важных неравенства – неравенства Гельдера и Минковского. Имеются варианты этих неравенств для конечных последовательностей чисел, для числовых рядов и для функций. Наиболее общей является формулировка для функций. Остальные получаются из нее в качестве следствий.

Лемма 1.1.1 (неравенство Гельдера)

Пусть 1 < p ; q < 1, причем 1=p + 1=q = 1 (такие числа называют сопряженными показателями). Тогда для измеримых по Лебегу функций

Дальнейшие примеры метрических пространств 1. Метрики на Rn. Формула

при 1 · p < 1 определяет метрику на Rn.

Неравенство треугольника следует из неравенства Минковского (достаточно положить fk = xk ¡ zk; gk = zk ¡ yk:)

Упражнение. Доказать, что метрики ½p ; 1 · p · 1 на Rn эквивалентны в смысле следующего определения:

метрики d1; d2 на множестве X называются эквивалентными, если существуют такие константы c1; c2 > 0, что для всех x; y выполняются неравенство

c1d1(x; y) · d2(x; y) · c2d1(x; y):

2. Пространства последовательностей

Обозначим через lp ; 1 · p < 1 – множество всех числовых последовательностей (бесконечных векторов) таких, что сходится ряд P1 jxkjp < 1.

В случае p = 1 определяем l1 как множество всех ограниченных последовательностей с метрикой

½1(x; y) = sup jxk ¡ ykj:

k

Упражнение. Показать, что все введенные метрики определены на l1, но не являются попарно эквивалентными.

3. Функциональные пространства Лебега

Обозначим через Lp(a; b); 1 · p < 1 – множество всех измеримых по

Лебегу функций на (a; b) с конечным интегралом Rb jf(t)jp dt < 1, который

a

понимается в смысле Лебега. Метрика определяется формулой

Отметим, что равенство ½p(f; g) = 0 выполняется тогда и только тогда, когда f(t) = g(t) почти всюду. Поэтому для выполнения аксиомы тождества следует считать элементами пространства Lp(a; b) классы эквивалентных (т.е. совпадающих почти всюду) функций, а расстояние между классами определяется как расстояние между любыми представителями этих классов.

В случае p = 1 пространство L1(a; b) определяется как множество классов эквивалентных функций, для которых ess sup jf(t)j < 1, а метрика определяется соотношением

½1(f; g) = ess sup jf(t) ¡ g(t)j:

Упражнение. Показать, что неравенство Минковского справедливо для измеримых функций на пространстве с мерой, и определить функциональные пространства Лебега на пространствах с мерой.

Сходимость

Пусть задано метрическое пространство (X; ½): Наличие метрики позволяет ввести понятие сходимости.

Определение. Будем говорить, что последовательность элементов xn 2 X сходится к элементу x 2 X в метрике ½ при n ! 1, если

lim ½(xn; x) = 0:

n!1

Обычно пишут x = lim xn, если нужно указать в какой метрике понимает-

n!1

½

ся сходимость, то используют запись x = lim xn. Мы будем использовать

n!1

также запись xn ! x без указания, что n ! 1:

Понятие сходимости в метрическом пространстве – естественное обобщение понятия сходимости числовой последовательности. С другой стороны – второе понятие является частным случаем первого, как сходимость в метрическом пространстве R.

Сформулируем несколько простых утверждений относительно сходимости.

1. Единственность предела. Последовательность не может иметь более одного предела.

Доказательство. От противного. Пусть xn ! x и xn ! y. Из неравенства треугольника следует, что

½(x; y) · ½(x; xn) + ½(xn; y):

Переходя к пределу, получим, что ½(x; y) = 0. Вследствие аксиомы тождества x = y.¥

2.Если xn ! x, то ее подпоследовательность также сходится к x.

3.Непрерывность метрики. Если xn ! x; yn ! y, то ½(xn; yn) ! ½(x; y):

Доказательство. Имеем

j½(xn; yn) ¡ ½(x; y)j · j½(xn; yn) ¡ ½(xn; y)j + j½(xn; y) ¡ ½(x; y)j:

Далее ввиду неравенства

j½(x; y) ¡ ½(z; y)j · ½(x; z);

эквивалентного неравенству треугольника (докажите), получаем j½(xn; yn) ¡ ½(x; y)j · ½(y; yn) + ½(xn; x) ! 0

при n ! 1. ¥

Пример. Смысл сходимости в C[0; 1].

Пусть xn ! x в метрике пространства C[0; 1]. Это означает, что

½(xn; x) = max jxn(t) ¡ x(t)j ! 0

t2[0;1]

при n ! 1. Таким образом, сходимость в пространстве непрерывных функций является равномерной сходимостью.

Упражнение. На множестве всех m - раз непрерывно дифференцируемых функций Cm[0; 1] ввести метрику так, чтобы сходимость в этой метрике совпадала с равномерной сходимостью последовательностей функций и их производных до порядка m включительно. Рассмотреть аналогичный вопрос для множества всех бесконечно дифференцируемых функций

C1[0; 1].

Открытые и замкнутые множества

Введем ряд важных для дальнейшего понятий. Пусть задано метрическое пространство (X; ½).

Определение. Шаром S(x0; r) ( замкнутым шаром S(x0; r) ) с центром в точке x0 радиуса r называется множество

S(x0; r) = fx 2 X; ½(x; x0) < rg (S(x0; r) = fx 2 X; ½(x; x0) · rg):

Определение. Точку a будем называть предельной точкой множества M, если существует такая последовательность fxng точек множества M, что xn =6 a и xn ! a.

Упражнение. Точка a – предельная точка множества M тогда и только тогда, когда для любого r > 0 M \ (S(a; r) n fag) =6 ®:

Определение. Замыканием множества M будем называть множество, полученное добавлением к M всех его предельных точек. Замыкание множества M обозначается следующим образом: M.

Определение. Множество называется замкнутым, если оно совпадает со своим замыканием.

Упражнение. Доказать, что замыкание любого множества является замкнутым множеством.

Определение. Множество U называется открытым, если его дополнение X n U замкнутое множество.