FA1-2007

5. Cl[a; b] – множество вещественных l раз непрерывно дифференцируемых функций со скалярным произведением

Xl Zb

(x; y) =

j=0 a

Теорема о норме

Теорема 2.2.1 Каждое предгильбертово пространство является линей-

ным нормированным пространством относительно нормы

p

kxk = (x; x):

Доказательство. Предварительно установим неравенство Коши - Буняковского

j(x; y)j · kxkkyk:

Ввиду аксиом скалярного произведения справедливо неравенство

0 · (x + ¸y; x + ¸y) = (x; x) + ¸(x; y) + ¸(x; y) + j¸j (y; y):

Считая, что y =6 0 и полагая ¸ = ¡(x; y)=(y; y), приходим к неравенству j(x; y)j · (x; x)(y; y):

Извлекая квадратнный корень, получаем нужное неравенство.

Докажем теорему о норме. Достаточно проверить неравенство треугольника. Для любых элементов x; y имеем цепочку неравенств

kx + yk2 = (x; x) + (x; y) + (y; x) + (y; y) = (x; x) + 2Re(x; y) + (y; y) ·

· kxk2 + 2j(x; y)j + kyk2 · (kxk + kyk)2:¥

Определение. Полное предгильбертово пространство называется гильбертовым пространством.

Пространства Rn; Cn; l2; L2(a; b), приведенные в примерах, являются гильбертовыми. Cl[a; b] не является полным. Пополнение этого пространства по метрике, определяемой скалярным произведением, называется пространством Соболева и обычно обозначается Hl(a; b). Аналогично определяются многомерные пространства Соболева в областях пространства Rn,

играющие фундаментальную роль в современной теории уравнений в частных производных.

Свойства скалярного произведения

1.Скалярное произведение непрерывно.

Действительно, если xn ! x; yn ! y, то ввиду неравенства

j(xn; yn) ¡ (x; y)j · j(xn; yn ¡ y)j + j(xn ¡ x; y)j · jxnkky ¡ ynk + kx ¡ xnkkyk

имеем j(xn; yn) ¡ (x; y)j ! 0, что и означает непрерывность скалярного произведения.

2. Тождество параллелограмма

kx + yk2 + kx ¡ yk2 = 2(kxk2 + kyk2):

3. Поляризационное тождество

(x; y) = 1=4fkx + yk2 ¡ kx ¡ yk2 + i(kx + iyk2 ¡ kx ¡ iyk2)g:

Замечание. Если в ЛНП для нормы выполняется тождество параллелограмма, то в нем можно ввести с помощью поляризационного тождества скалярное произведение [12], с. 160.

Упражнение. Докажите тождество параллелограмма и поляризационное тождество.

Упражнение. Докажите, что пополнение предгильбертова пространства относительно метрики, определяемой скалярным произведением, является гильбертовым пространством.

Ортонормированные системы

Определение. Элементы x; y называются ортогональными: x ? y, если

(x; y) = 0.

Определение. Систему элементов fejg будем называть ортонормированной, если выполняются соотношения

В дальнейшем для определенности будем рассматривать бесконечномерные пространства.

Процесс ортогонализации Шмидта

Пусть в предгильбертовом пространстве H задана линейно независимая система элементов fhjg1j=1, т.е. ее каждая конечная подсистема линейно независима. Процесс ортогонализации позволяет из данной линейно независимой системы построить ортонормированную систему.

Алгоритм построения.

Полагаем e1 = h1=kh1k. Выбираем g2 = h2 + ®21e1 и требуем, чтобы выполнялось условие g2 ? e1: Условие ортогональности однозначно определяет коэффициент ®21 = ¡(h2; e1): Элемент e2 получаем, нормируя элемент g2 : e2 = g2=kg2k:

Заметим, что kg2k =6 0, иначе h2 пропорционален h1. Далее продолжаем по индукции. Предположим, что элементы e1; e2; :::en¡1 уже построены. Тогда выбираем gn в форме gn = hn + ®n1e1 + ®n2e2 + :::®nn¡1en¡1 и требуем выполнения условий ортогональности gn ? e1; e2; :::en¡1: Эти условия однозначно определяют коэффициенты ®nj = ¡(hn; ej); j = 1; :::n ¡1: Элемент en получаем, нормируя gn: en = gn=kgnk:

Продолжая этот процесс, построим ортонормированную систему fejg1j=1. Важное свойство процесса ортогонализации состоит в том, что при любом n = 1; 2; :::1 линейные оболочки систем векторов fhjgnj=1 и fejgnj=1 совпадают. Действительно, из алгоритма определения элементов ej следует, что элемент en является линейной комбинацией элементов h1; h2; ::hn:

en = ¯nnhn + ¯nn¡1hn¡1 + ::: + ¯n1h1;

причем ¯nn =6 0:

Системы ортогональных многочленов

Процесс ортогонализации используется для построения систем ортогональных многочленов. На множестве вещественных функций, определен-

ных на интервале (a; b), введем скалярное произведение по формуле

Zb

(x; y) = ½(t)x(t)y(t) dt;

a

где ½(t) > 0 – функция, называемая весом. Предположим, что существуют

интегралы Rb ½(t)t2n dt: Тогда, применяя процесс ортогонализации к системе

a

одночленов ftng1n=0; получаем систему многочленов, ортогональных относительно введенного скалярного произведения. Таким образом получаются классические системы ортогональных многочленов Лежандра, Эрмита, Якоби, Лагерра. Например, если (a; b) = (¡1; 1); ½(t) = 1, то получается система многочленов Лежандра, определяемая рекуррентной формулой

Pn(t) = cn dn [(t2 ¡ 1)n]; dtn

а в случае (a; b) = (¡1; +1); ½(t) = e¡t2 получается система многочленов Эрмита с рекуррентной формулой

Hn(t) = cnet2 dn [e¡t2]: dtn

Упражнение. Доказать рекуррентные формулы для многочленов Лежандра и Эрмита.

Теорема о существовании ортонормированного базиса

Определение. Ортонормированная система fejg1j=1 в гильбертовом пространстве H называется полной или ортонормированным базисом, если ее

линейная оболочка всюду плотна в H.

Теорема 2.2.2 В каждом сепарабельном гильбертовом пространстве существует ортонормированный базис.

Доказательство. В сепарабельном гильбертовом пространстве выберем счетное всюду плотное множество fgjg1j=1: Построим линейно независимую систему элементов fhjg1j=1, линейная оболочка которой L(fhjg1j=1) содержит все элементы gj; j = 1; 2; :::. Эту систему можно выбрать следующим

образом. В качестве h1 выбираем первый ненулевой элемент в последовательности g1; g2; :::gn; :::, в качестве h2 – первый линейно независимый с элементом h1 в этой последовательности, в качестве h3 – первый линейно независимый с элементами h1 и h2, и т.д. К выбранной линейно независимой системе применим процесс ортогонализации. В результате получим ортонормированную систему fejg1j=1, которая является ортонормированным базисом. Этот факт следствие того, что линейная оболочка системы fejg1j=1 содержит всюду плотное множество fgjg1j=1:¥

Теорема Рисса – Фишера

Роль ортонормированного базиса в гильбертовом пространстве аналогична роли базиса в евклидовом пространстве. Каждый элемент можно разложить по базису, но в случае бесконечномерного пространства это разложение есть ряд, называемый рядом Фурье.

Теорема 2.2.3 Пусть fejg1j=1 – ортонормированный базис в гильбертовом пространстве H.

1. Тогда каждый элемент x 2 H можно разложить в ряд Фурье

X1

x = (x; ej)ej;

j=1

сходящийся в смысле нормы:

Xn

kx ¡ (x; ej)ejk ! 0

j=1

при n ! 1; причем выполняется равенство Парсеваля

kxk2 = X1 j(x; ej)j2:

j=1

2. Если задана числовая последовательность fajg и для нее выполняется условие

X1

jajj2 < 1;

j=1

то ряд P1 ajej сходится к некоторому элементу y и является его рядом

j=1

Фурье, т.е. (y; ej) = aj.

Доказательство. Сначала установим экстремальное свойство коэффициентов Фурье.

Из последнего равенства с очевидностью следует, что точная нижняя грань достигается тогда и только тогда, когда aj = cj:

Следствие.(неравенство Бесселя) Для любой ортонормированной системы fejg1j=1 справедливо неравенство

X1

j(x; ej)j2 · kxk2:

j=1

Перейдем к доказательству теоремы. Так как линейная оболочка системы fejg1j=1 плотна в пространстве H, то существует последовательность

линейных комбинаций xn = Pn a(jn)ej, сходящаяся при n ! 1 к элементу

j=1

x. В силу экстремального свойства коэффициентов Фурье имеем

Таким образом, установлено, что ряд Фурье сходится к элементу x и выполняется равенство Парсеваля.

Для доказательства второй части теоремы рассмотрим последовательность частичных сумм Sn = Pn

и сходимости ряда P1 jajj2 последовательность Sn фундаментальна. Вслед-

Таким образом, установлено, что рассматриваемый ряд является рядом Фурье для элемента y:¥

Теорема об ортогональном разложении

Определение. Пусть M – подмножество в гильбертовом пространстве H. Его ортогональным дополнением M? называется множество

M? = fy 2 H; (y; x) = 0; 8x 2 Mg:

Заметим, что M? является подпространством в H: (докажите)

Теорема 2.2.4 Пусть L – подпространство в гильбертовом пространстве H, L? – его ортогональное дополнение. Тогда H разлагается в ортогональную сумму

H = L © L?:

Это означает, что любой элемент x можно единственным представить в виде суммы x = y + z, где y 2 L; z 2 L?:

Доказательство. Первый вариант – для сепарабельного гильбертового пространства.

Заметим, что подпространство сепарабельного гильбертового пространства само является сепарабельным гильбертовым пространством (приведите доказательство). Поэтому в подпространстве L существует ортонормированный базис, который обозначим через ffjg1j=1. Для определенности

считаем, что L бесконечномерно. Рассмотрим элемент y = P1 (x; fj)fj: Дан-

j=1

ный ряд сходится ввиду неравенства Бесселя и его сумма y принадлежит подпостранству L. Согласно второй части теоремы Рисса - Фишера данный ряд является рядом Фурье для элемента y, т.е. (y; fj) = (x; fj); j = 1; 2; :::

Пусть z = x ¡ y: Из равенства коэффициентов Фурье элементов x и y по системе ffjg1j=1 вытекает, что z 2 L?: Поэтому установлено существование ортогонального разложения для элемента x.

Остается доказать единственность разложения. Предположим, что существует еще одно разложение x = y1 + z1: Вычитая одно разложение из другого, получаем равенство y ¡ y1 = z1 ¡ z. Умножая скалярно обе части этого равенства на элемент y ¡ y1, получаем

(y ¡ y1; y ¡ y1) = (z1 ¡ z; y ¡ y1) = 0:

Следовательно, y = y1; z = z1 и единственность доказана.

Второй вариант – для общего случая. Для этого используем теорему о существовании элемента наилучшего приближения [22], с. 58.

Теорема 2.2.5 Пусть M – выпуклое замкнутое множество в гильбертовом пространстве H и элемент x 2= M: Тогда существует единственный элемент y 2 M; для которого

Доказательство. Обозначим ½(x; L) = d: Существует последовательность элементов yn; для которых

d2 · kx ¡ ynk2 · d2 + 1=n:

Применим тождество параллелограмма к точкам x ¡ yn и x ¡ ym:

kyn ¡ ymk2 + k2x ¡ (yn + ym)k2 = 2(kx ¡ ynk2 + kx ¡ ymk2):

В силу выпуклости множества M точка 1=2(yn + ym) принадлежит M; поэтому

k2x ¡ (yn + ym)k ¸ 2d:

Следовательно, справедливо неравенство

kyn ¡ymk2 = 2(kx¡ynk2 +kx¡ymk2)¡4kx¡1=2(yn +ym)k2 · 2(1=n+1=m);

вследствие которого последовательность fyng фундаментальна. Но тогда

y = lim yn является элементом наилучшего приближения для элемента x:

n!1

Если y0 – второй такой элемент, то, применяя тождество параллелограмма к элементам x ¡ y и x ¡ y0; аналогично предыдущему получаем равенство

ky ¡ y0k2 + k2x ¡ (y + y0)k2 = 2(kx ¡ yk2 + kx ¡ y0k2):

Отсюда y = y0:

Завершим доказательство теоремы об ортогональном разложении. Применим предыдущую теорему к элементу x и подпространству L: Пусть y 2 L – элемент наилучшего приближения. Достаточно показать, что x¡y ? L: Пусть h – произвольный элемент из подпространства L: Тогда верно неравенство

d2 · kx ¡ y ¡ ¸hk2 = d2 ¡ 2Ref¸(x ¡ y; h)g + j¸j2khk2:

Считаем, что h =6 0 и полагаем в этом неравенстве ¸ = (h; x ¡ y)=khk2: В результате получаем j(x ¡ y; h)j · 0: Следовательно x ¡ y ? L:¥

Замкнутые ортонормированные системы

Определение. Ортонормированная система fejg называется замкнутой, если для любого элемента x 2 H справедливо равенство Парсеваля.

Теорема 2.2.6 Пусть fejg – ортонормированная система в сепарабельном гильбертовом пространстве H. Тогда следующие условия эквивалентны:

1.fejg1j=1 – ортонормированный базис;

2.fejg1j=1 – замкнутая ортонормированная система;

3. не существует элемента y 6= 0, ортогонального всем элементам си-

стемы fejg1j=1, т.е. из равенств (y; ej) = 0; 8j = 1; 2; ::: следует, что y = 0.

Доказательство. Импликация 1: ! 2: установлена в теореме Рисса - Фишера. Если (y; ej) = 0 8j = 1; 2; :::, то из равенства Парсеваля следует, что y = 0. Таким образом, установлена импликация 2: ! 3: Наконец, предположим, что система fejg1j=1 не является ортонормированным базисом. Тогда ортогональное дополнение к линейной оболочке системы fejg1j=1 нетривиально, т.е. содержит ненулевой элемент. Но это противоречит условию 3. ¥

Примеры ортонормированных базисов

1.В пространстве l2 система единичных ортов ej = (0; 0; :::1; 0; :::) образует ортонормированный базис. Легко проверяется замкнутость этой ортонормированной системы.

2.В пространстве L2(¡1; 1) система многочленов Лежандра образует ортонормированный базис.

Действительно, по свойству процесса ортогонализации линейная оболочка всех многочленов Лежандра совпадает с множеством всех многочленов. Согласно теореме Вейерштрасса множество всех многочленов плотно в пространстве C[¡1; 1]. В свою очередь, множество всех непрерывных функций плотно в пространстве L2(¡1; 1): Таким образом, линейная оболочка всех многочленов Лежандра плотна в пространстве L2(¡1; 1) и, следовательно, система многочленов Лежандра образует ортонормированный базис.

Теорема Рисса - Фишера для системы многочленов Лежандра формулируется следующим образом.

Теорема 2.2.7 Любую функцию f(t) 2 L2(¡1; 1) можно разложить ряд Фурье по системе многочленов Лежандра

X1

f(t) = fjPj(t);

j=0