FA Арсеньев Функ.Ан

Доказательство. Дифференцируя правую часть равенства (3.275) по t и используя равенство (3.273), мы получаем:

Z t

a(t)U(t ; 0)y0 + a(t)U(t ; )f( )d + U(t ; t)f(t) =

0

a(t)y(t) + f(t):

Лемма доказана.

Формула (3.275) называется формулой Дюамеля. Если оператор a(t) не зависит от t:

a(t) a;

òî

U(t ; ) = exp((t )a);

и формула Дюамеля принимает вид

где операторы a è b не зависят от t. Полагая f(t) = by(t)

и применяя формулу (3.277), мы получаем:

Z t

exp(t(a + b))y0 = exp(ta)y0 + exp((t )a)b exp( (a + b))y0d :

0

Заменяя в этом уравнении

b7!b a

èиспользуя произвольность y0, мы получаем формулу

Z t

exp(tb) exp(ta) = exp((t )a)(b a) exp( b)d : (3.278)

0

259

Формулы дифференцирования экспоненты. Положим в фор-

ìóëå (3.278)

Формулы (3.279)-(3.280) иногда называют формулами Фейнмана. Положим в формуле (3.279)

a( ) = t exp( a)h exp( a);

воспользуемся формулой (3.150) (см. стр. 202) и потом положим = 0. Мы получим:

Z t

[a ; exp( th)] = exp( (t )h)[a ; h] exp( h)d (3.281)

0

ãäå

[a ; b] = ab ba:

Формула (3.281) называется формулой Кубо (правда, она выписана в непривычных для глаза физика обозначениях).

Физики назывют формулами Бейкера-Кембелла-Хаусдорфа (или формулами Бейкера-Хаусдорфа) ряд формул, которые получаются как следствие известной в теории групп

Ли формулы Кембелла-Хаусдорфа для оператора ln(exp A exp B): Ïî-

лучим некоторые из этих формул. Мы будем считать, что все операторы оганичены, хотя на практике формулы чаще всего применяются к неограниченным операторам.

Положим

[A ; B] := AB BA:

260

Лемма 3.10.19. Åñëè

[A [A ; B]] = 0;

òî

exp(A)B exp( A) = B + [A ; B]; exp(A) (B) = (B + [A ; B]) exp(A):

Доказательство. Положим

f(t) = exp(tA)B exp( tA):

Диффиренцируя по t, получаем:

dfdt = exp(tA)(AB BA) exp( tA) = [A ; B] exp(tA) exp( tA) = [A ; B]:

f(t) = B + t[A ; B]:

Отсюда следует первая из доказываемых формул, из которой вытекает (см. формулу (3.150) на стр. 202), что

exp(tA) (B) exp( tA) = (exp(tA)B exp( tA)) = (B + t[A ; B]);

что эквивалентно второй формуле.

Лемма 3.10.20. Åñëè

[A ; B] = C ; [A ; C] = [B ; C] = 0;

exp(tA) exp(tB)(A + B) exp( t(A + B)) =

exp(tA)(A exp(tB) exp(tB)A) exp( t(A + B)) = tCf(t):

Отсюда следует, что

f(t) = exp(12t2C):

Лемма доказана.

261

Замечание 3.10.3. Не существует элементов банаховой алгебры, которые удовлетворяют равенству

ab ba = id

Докажем это утверждение от противного. Пусть такие элементы существуют. Тогда должны выполняться равенства

a2b aba = a ; aba ba2 = a;

поэтому

a2b ba2 = 2a;

и по индукции

8n : anb ban = nan 1;

следовательно

8n : nkan 1k 2kakkbkkan 1k;

что возможно только в том случае, если kan 1k = 0, а отсюда следует, что an 1 = an 2 = : : : = a = 0 = id:

3.11Коментарии и литературные указания.

3.11.1Определение линейнного пространства.

Напомним определение линейного (векторного) пространства. Линейное пространство -это коммутативная (абелева) группа, на которой определено подчиняющееся ряду аксиом действие поля скаляров. В качестве поля скаляров мы будем рассматривать только два поля: поле действительных чисел и поле комплексных чисел. Алгебраические свойства действительных и комплексных чисел мы считаем известными, поэтому общего определения поля мы давать не будем. Общеринятый список аксиом линейного пространства мы приводим ниже.

Линейное пространство L -это множество, в котором определены операция сложения, ставящая каждым двум элементам a 2 L ; b 2 L в соответствие третий элемент, обозначаемый символом a + b, и опрерация умножения на (комплексное) число, ставящая каждому числу 2 C1 è элементу a 2 L в соответствие обозначаемый символом a элемент пространства L. Предполагается, что операции сложения и умножения на число удовлетворяют следующим аксиомам.

262

1. Сложение ассоциативно:

(a + b) + c = a + (b + c):

2. Существует такой элемент 0 2 L, ÷òî

8(a 2 L) : a + 0 = 0 + a = a:

3. Для каждого элемента a 2 L существует такой элемент ( a) 2 L, ÷òî a + ( a) = 0:

4. Сложение коммутативно:

8(a 2 L ; b 2 L) : a + b = b + a:

Операция умножения на число удовлетворяет следующим аксиомам.

5: 8( 2 C1 ; 2 C1 ; a 2 L) : ( a) = ( )a:

6: 8( 2 C1 ; a ; b 2 L) : (a + b) = a + b:

7: 8( 2 C1 ; 2 C1 ; a 2 L) : ( + )a = a + a:

8: 8(a 2 L) : 1 a = a:

Аксиомы 1-3 задают в L структуру группы, аксиома 4 уточняет, что эта группа коммутативна (абелева), аксиомы 5-7 задают в L стуктуру

модуля над полем, аксиома 8 уточняет, что этот модуль -унитарный. Не все аксиомы 1-8 независимы: некоторые из них можно вывести из

других, некоторые можно сформулировать в более слабой форме, однако список 1-8 удобен и является общепринятым.

Примеры линейных пространств общеизвестны и мы не будем на них останавливаться.

3.11.2Определение фактор-пространства.

Напомним определение фактор-пространства линейного пространства. Пусть L -линейное пространство и L L0 -линейное подпространство

пространства L. Введем в пространстве L соотношене эквивалентности, положив

Пусть L=L0 -фактор множество множества L по соотношению эквива- лентности (3.282) и пусть [a] 2 L=L0 -тот класс эквивалентности, кото-

рый содержит элемент a 2 L. Превратим множество L=L0 в линейное пространство, положив по определению

263

Корректность этого определения следует из того факта, что L0 -линейное

пространство и поэтому правая часть (3.283) не зависит от выбора представителей в классах эквивалентности.

Множество классов эквивалентности по соотношению (3.282) с определенными соотношением (3.283) операциями линейного пространства

называется фактор-пространством пространства L по подпространству

L0.

3.11.3Определение прямой суммы пространств.

Пусть I -произвольное множество индексов и пусть каждому 2 I ïî-

ставлено в соответствие линейное пространство L над одним и тем же полем скаляров. Рассмотрим множество функций

I3 7!a( ) 2 L

èпревратим это множество в линейное пространство, положив по определению

( a + b)( ) := a( ) + b( ) 2 L :

L :

2I

Âкачестве примера подобной конструкции можно рассмотреть пространство Rd. В этом случае множество индексов I -это отрезок натурального

ðÿäà f1 dg ; L R1 è

Другой подход к понятию прямой суммы линейных пространств дает следующая конструкция.

Пусть L -линейное пространство и пусть L Lj ; 1 j n - линейныйе подпространства пространства L, которые удовлетворяют следующему условию: каждый элемент a пространства L единственным образом представим в виде

X

a = aj ; aj 2 Lj:

j

264

В этом случае говорят, что линейное пространство L разложено в прямую сумму пространств Lj:

X

L = Lj:

j

Изложенные в этой главе факты теории банаховых пространств, по существу, являются простейшим бесконечномерным обобщением известной читателю теории матриц и операторов в конечномерном линейном пространстве и есть практически в каждом учебнике функционального анализа. Классическими учебниками являются книги [21, 27, 18]. Простое изложение начал теории банаховых пространств есть в учебнике [33]. Краткое и рассчитанное на подготовленного читателя изложение основ теории банаховых пространств есть в [32]. Обстоятельное изложение основных принципов читатель найдет в [40]. Много интересных фактов теории банаховых пространств читатель узнает из книг [19, 20].

265

Вместо условия линейности скалярного произведения по второму аргументу часто принимают условие линейности скалярного произведения по первому аргументу. Мы будем следовать сложившейся в математиче- ской физике традиции.

В прямой сумме унитарных пространств

X

H = Hj

j

скалярное произведение вводится по формуле

X

8(a 2 H ; b 2 H) : < a ; b >= < aj ; bj >j ; aj 2 Hj ; bj 2 Hj;

j

ãäå < ; >j -скалярное произведение в пространстве Hj.

Теорема 4.1.1. Скалярное произведение на унитарном пространтсве удовлетворяет неравенству

8(a 2 L ; b 2 L) : j < a ; b > j < a ; a >1=2< b ; b >1=2 : (4.1)

Доказательство. Достаточно рассмотреть случай

< a ; b >6= 0:

В неравенстве

8(z 2 C1) : < za z 1b ; za z 1b >=

jzj2 < a ; a > +jzj 2 < b ; b > 2Re (exp( 2i arg(z)) < a ; b >) 0

положим

Получим (4.1).

Неравенство (4.1) в математической литературе на русском языке назывют неравенством Коши-Буняковского. В математической литературе на английском языке это неравенство называют неравенством Коши или неравенством Шварца.

Теорема 4.1.2. На унитарном пространстве функция

L 3 a 7!< a ; a >1=22 R1

+ (4.2)

удовлетворяет условиям нормы.

268