взаимно однозначно и изометрично. Следовательно,
J(Lp(D ; (dx))) = Lp(D ; (dx))??:
Теорема доказана.
Пространство L1(D ; (dx)), вообще говоря, не есть рефлексивное пространство.
3.4.2Сопряженный оператор.
Определение 3.4.4. Оператором T ?, сопряженным к оператору
T 2 L(B1 7!B2)
называется оператор, который каждому функционалу f 2 B2? ставит в соответствие функционал T ?(f) 2 B1?, действующий по формуле
8(f 2 B2? ; x 2 B1) : < T ?(f) j x >=< f j T (x) > : |
(3.71) |
Рассмотрим пример.
Пусть D -ограниченная замкнутая область в пространстве Rd. Пусть функция k(x ; y) непрерывна в D D:
k(x ; y) 2 C(D D):
На пространстве Lp(D) рассмотрим оператор T , который действует по
правилу: |
Z |
|
|
8(f 2 Lp(D)) : T (f)(x) = |
k(x ; y)f(y)dy: |
(3.72) |
D
Эта формула задает оператор
T 2 L(Lp(D) 7!Lp(D)):
Пусть J -определенное в (3.53) отображение. Вычислим оператор
TJ? 2 L(Lq(D) 7!Lq(D));
который делает коммутативной диаграмму
p ? T ? p ?
L (D) ! L (D)
??
??
JJ
yy
T ?
Lq(D) J! Lq(D)
Имеем:
< TJ?(g) j >=< J(g) j T ( ) >= |
Z g(x) |
0Z |
k(x ; y) (y)dy1dx = |
|
|
@ |
A |
D D
01
ZZ
@k(x y)g(x)dxA (y)dy:
DD
Отсюда следует, что
Z
TJ?(g)(y) = k(x ; y)g(x)dx:
D
Разница между операторами T ? è TJ? |
в том, что оператор T ? действует |
в пространстве Lp(D)?, а оператор T ? |
в пространстве |
Lq(D). Часто этой |
|
|
J |
|
|
разницей пренебрегают и отждествляют оператор T ? с операторм T ? |
|
|
|
|
|
J . |
Теорема 3.4.7. Отображение |
|
|
|
|
|
T 7!T ? |
|
(3.73) |
есть линейное |
изометрическое отображение пространства |
L(B1 7! |
? |
? |
|
|
B2) в пространство L(B2 |
7!B1). |
|
|
|
Доказательство. Линейность отображения (3.73) очевидна, а для доказательства изометричности этого отображения заметим, что
kT ? j L(B2? 7!B1?)k =
supfkT ?(f) j B1?k j kf j B2?k 1g =
supfj < T ?(f) j x > j j kf j B2?k 1 ; kx j B1k 1g = supfj < f j T (x) > j j kf j B2?k 1 ; kx j B1k 1g = kT j L(B1 7!B2)k
Теорема доказана.
Определение 3.4.5. Аннулятором подмножества A B? называется подмножество пространства B, определяемое равенством
\
N(A) = fx j 8(f 2 A) : < f j x >= 0g = fx j< f j x >= 0g: (3.74)
f2A
Аналогично,
Определение 3.4.6. Аннулятором подмножества A B называется подмножество пространства B?, определяемое равенством
\
N(A) = ff j 8(x 2 A) : < f j x >= 0g = fx j< f j x >= 0g: (3.75)
x2A
Åñëè A B, òî N(A) B?, à åñëè A B?, òî N(A) B. Иногда аннулятор обозначается символом
A? N(A):
Теорема 3.4.8. Для любого оператора
T 2 L(B1 7!B2)
справедливо равенство
Cl(Im(T )) = N(Ker(T ?)): |
(3.76) |
Доказательство. Пусть |
|
y 2 Cl(Im(T )): |
|
Тогда существует такая последовательность fxng B1, ÷òî |
|
yn = T (xn) ! y ; n ! 1: |
|
Следовательно, |
|
8(f 2 Ker(T ?)) : < f j y >= nlim < f j T (xn) >= |
|
!1 |
|
nlim < T ?f j xn >= 0: |
|
!1 |
|
Поэтому |
|
y 2 N(Ker(T ?)) |
|
è |
|
Cl(Im(T )) N(Ker(T ?)): |
(3.77) |
Пусть |
|
y 62Cl(Im(T )): |
(3.78) |
Тогда в силу теоремы 3.4.1 (см. стр. 174) существует такой функционал f0 2 B2?, ÷òî
f0(y) = 1 ; f0(Cl(Im(T ))) = 0: |
(3.79) |
Следовательно,
8(x 2 B1) : < f0 j T (x) >=< T ?(f0) j x >= 0:
Отсюда вытекат, что
T ?(f0) = 0; |
|
и поэтому |
|
f0 2 Ker(T ?): |
(3.80) |
Из (3.79) и (3.80) следует, что если справедливо (3.78), то |
|
y 62 N(Ker(T ?)) |
(3.81) |
Поэтому |
|
Cl(Im(T )) N(Ker(T ?)): |
(3.82) |
Из (3.77) и (3.82) вытекает утверждение теоремы. Пусть Bi ; 1 i 3 -банаховы пространства,
T1 2 L(B1 7!B2) ; T2 2 L(B2 7!B3)
Определение 3.4.7. Определенный формулой
B1 7!B3 : x 7!T1(x) 7!T2(T1(x))
оператор называется композицией (или произведением) операторов T2 è
T1:
def |
(T1(x)): |
|
T2 T1 2 L(B1 7!B3) ; T2 T1(x) = T2 |
(3.83) |
Очевидно, что
kT2 T1(x) j B3k kT2 j L(B2 7!B3)k kT1(x) j B2j kT2 j L(B2 7!B3)k kT1 j L(B1 7!B2)k kx j B1k:
Поэтому
kT2 T1 j L(B1 7!B3)k kT2 j L(B2 7!B3)k kT1 j L(B1 7!B2)k: (3.84)
Определение 3.4.8. Тождественным (или единичным) отображением (оператором) мы называем отображение (оператор) id 2 L(B 7!B), êî-
торое определено формулой
8(x 2 B) : id(x) = x: |
(3.85) |
Тождественное отображение на любом пространстве мы будем обозначать одним и тем же символом id:
Таким образом, определение обратного оператора может быть записано в виде:
T 1 : T 1 T = T T 1 = id: |
(3.86) |
Очевидна
Лемма 3.4.1. Справедливо равенство
(T2 T1)? = T1? T2? 2 L(B3? 7!B1?) |
(3.87) |
Теорема 3.4.9. Оператор (T ?) 1 существует в том и только том слу- чае, если существует оператор T 1, причем справедливо равенство
|
(T ?) 1 = (T 1)?: |
|
|
(3.88) |
Доказательство. Пусть оператор T 1 существует. Тогда переходя к |
сопряженным операторам в (3.86), мы получаем: |
|
|
|
T ? (T 1)? = (T 1)? T ? = id: |
(3.89) |
Следовательно, оператор (T ?) 1 существует и справедливо равенство (3.88). |
Теперь предположим, что оператор (T ?) 1 |
2 L |
(B? |
B?) существует. |
|
|
1 ! |
2 на простран- |
Тогда существует оператор (T ??) 1. Так как оператор T ?? |
ñòâå B1 B1?? |
совпадает с оператором T , òî |
|
|
|
|
Ker(T ) Ker(T ??) = 0: |
|
(3.90) |
Простанство B1 замкнуто в пространстве B1??, и множество Im(T ) B2 есть прообраз замкнутого в пространстве B1?? множества B1 при непре- рывном отображении (T ??) 1. Следовательно, множество Im(T ) замкну-
òî â B2. Так как оператор (T ?) 1 существует, то
Ker(T ?) = 0;
и в силу теоремы 3.4.8 (см. стр. 181) справедливо равенство
B2 = Ker(T ?)? = Cl(Im(T )) = Im(T ): |
(3.91) |
Из (3.90) , (3.91) и теоремы Банаха о существовании обратного оператора 3.3.6 (см. стр. 168) следует существование непрерывного оператора T 1.
Теорема доказана.
3.5Банаховы алгебры и операторное исчисление.
3.5.1 Предварительные сведения.
Напомним определение алгебры.
Определение 3.5.1. Множество A называется алгеброй над полем комплексных чисел C1, если множество A есть линейное пространство над полем комплексных чисел C1 и в множестве A определена бинарная операция умножения
A A 7! A: a b 7!ab;
которая удовлетворяет следующим условиям. 1. Операция умножения ассоциативна:
8(a 2 A ; b 2 A ; c 2 A) : a(bc) = (ab)c:
2. Операция умножения билинейна:
8(a 2 A ; b 2 A ; c 2 A ; 2 C; 2 C; 2 C) : ( a + b)c = ac + bc ; a( b + c) = ab + ac:
Определение 3.5.2. Алгебра A называется банаховой алгеброй, если на A определена норма, относительно которой A есть банахово пространство, причем операция умножения и норма связаны условием:
Определение 3.5.3. Банахова алгебра A называется унитальной банаховой алгеброй (или алгеброй с единицей) если
9(id 2 A) ; 8(a 2 A) : id a = a id = a:
В дальнейшем (если явно не оговорено другое) рассматриваемые нами алгебры будут алгебрами с единицей. Из (3.92) следует, что операция умножения непрерывна: если
an ! a0 ; bn ! b0 ; n ! 1;
òî
kanbn a0b0k kankkbn b0k + kb0kan a0k ! 0 ; n ! 1:
Примером унитальной банаховой алгебры является банахово пространство
всех линейных непрерывных операторов из банахова пространства B в банахово пространство B, в котором операция умножения определена
как композиция операторов (см. определение 3.4.7 и (3.83) на стр. 182). В частности, если банахово пространство B = Rn, то алгебру (3.93)
можно отождествить с алгеброй квадратных матриц размером n n, â
которой линейные операции и операция умножения матриц определены обычным образом.
В дальнейшем (как можно доказать, в существенном не ограничи- вая общности) для простоты можно считать, что рассматриваемая нами алгебра есть алгебра (3.93).
Распространим на функции со значениями в банаховой алгебре некоторые понятия теории функций комплексного переменного.
Гладким контуром l в плоскости комплексного переменного C1 ìû будем называеть образ полуинтервала [a ; b) при непрерывно дифференцируемом инъективном (взаимно-обнозначном на образе) отображении:
l = fz j z = z(t) ; a t < b ; jz0(t)j < const: < 1; g ; l C1: |
(3.94) |
Пусть |
|
|
|
a(z): l 7! A |
|
|
|
|
|
|
-равномерно по z непрерывное отображение контура l в алгебру A. |
Составим интегральную сумму Римана: |
|
S = Xj |
a(z(tj))(z(tj+1) z(tj)) ; tj tj tj+1: |
(3.95) |
Диаметром разбиения |
e |
|
|
|
|
e |
|
|
a = t0 < t1 : : : tj < tj+1 : : : < b |
|
полуинтервала [a ; b) называется число |
|
|
|
|
|
= |
max t |
|
t : |
|
|
|
|
j |
j |
j+1 |
jj |
|
Åñëè S è S0 -две интегральные суммы Римана и , 0 -соответствующие этим суммам диаметры разбиений полуинтервала [a ; b), то справедлива очевидная оценка
kS S0k (b a) sup jz0(t)j
t
supfka(z(t0)) a(z(t00))k j jt0 t00j < + 0 ; a t0 ; t00 < bg;
из которой следует
Лемма 3.5.1.
функция на l предел
Z
l
Если l -гладкий контур и a(z) -равномерно непрерывная со значениями в банаховой алгебре A, то существует
( ) |
= |
!0 |
Xj |
( (ej))( ( |
j+1) |
( |
j))! |
a z |
dz def |
lim |
|
a z t z t |
|
z t |
; |
|
= |
max t |
t |
|
; t |
j |
t |
|
t |
: |
(3.96) |
|
j |
j j+1 |
jj |
|
j |
j+1 |
|
|
|
Предел (3.96) называется |
|
|
|
e |
|
|
|
a(z) |
|
|
|
|
|
|
интегралом Бохнера от функции |
|
ïî |
контуру l.
Пусть D -открытая область в плоскости комплексного переменного
C1.
Определение 3.5.4. Функция
a(z): D 7! A
называется дифференцируемой в точке z 2 D, если существует предел
da(z) = lim |
a(z + z) a(z): |
(3.97) |
|
def |
|
|
|
dz z!0 |
z |
|
Определение 3.5.5. Если предел (3.97) существует в каждой точке z 2 D, то функция a(z) называется аналитичесой в области D.
Доказательство существования предела (3.97) облегчает
Теорема 3.5.1. Пусть в области D задана функция:
D 3 z 7!T (z) 2 L(B 7!B): |
(3.98) |
Åñëè
8(x 2 B ; f 2 B?)
функция
(z ; x ; f) =< f j T (z)(x) >
аналитична в области D, то функция (3.98) аналитична в области D в смысле определения 3.5.5.
Доказательство. Фиксируем z 2 D. Из аналитичности функции (z ; x ; f) следует, что функция
z 7! (f ; x ; z) = ( (z + z ; x ; f) (z ; x ; f))= z
аналитична в окрестности нуля. Следовательно,
8(x 2 B ; f 2 B?) ; 9( > 0) : supfj( z1 z2) 1 |
|
( (f ; x ; z1) (f ; x ; z2))j j j z1j + j z2j < g < 1: |
(3.99) |
Из теоремы 3.4.5 (см. стр. 177) следует, что
9( > 0) : supfk( z1 z2) 1((T (z + z1) T (z))= z1
(T (z + z2) T (z))= z2k j z1j + j z2j < g < 1:
Поэтому
9( > 0 ; C( ) < 1) : k((T (z + z1) T (z))= z1
(T (z + z2) T (z))= z2k < C( )j z1 z2j:
Теорема доказана.
На функции комплексного переменного со значениями в банаховой алгебре практически без изменения формулировок и доказательств ( с очевидной заменой оценок по модулю на оценки по норме) переносятся многие классические теоремы теории функций комплексного переменного. Детали доказательств подобных обобщений мы предоставляем читателю. В частности, нам понадобятся обобщение интегральной формулы Коши и некоторых теорем теории степенных рядов (формулы для радиуса сходимости степенного ряда и теоремы Коши о существовании особых точек на границе круга сходимости). Мы надеямся, что читатель самостоятельно получит обобщения этих теорем на случай функций со значениями в банаховой алгебре.
3.5.2Резольвента и спектр.
Определение 3.5.6. Элемент a 1 2 A называется обратным к элементу a 2 A, åñëè
a 1a = aa 1 = id:
Определение 3.5.7. Элемент a 2 A называется обратимым, если у него существует обратный элемент a 1 2 A.
Очевидна
Лемма 3.5.2. Если элементы a и b обратимы, то элемент c = ab об-
ратим и
c 1 = b 1a 1:
Следствие 3.5.1.
В дальнешем мы по определению полагаем
8(a 6= 0) : a0 = id:
Прямым вычислением доказывается
Лемма 3.5.3. Если kak < 1, то элемент (id a) обратим и
Отсюда вытекает
Лемма 3.5.4. Если элемент a обратим и kbk < ka 1k 1, то элемент a + b обратим и
(a + b) 1 = |
n< |
( a 1b)n!a 1: |
(3.100) |
|
0 X1 |
|
|
Для доказательства достаточно заметить, что
(a + b) = a(id + a 1b);
и оба сомножителя в правой части этого равенства обратимы, так как ka 1bk ka 1kkbk < 1:
Из этого утверждения вытекает очень важное
Множество всех обратимых элементов банаховой алгебры A открыто и отображение
непрерывно в достаточно малой окрестности обратимого элемента.
Определение 3.5.8. Если элемент ( id a) 1 2 A существует, то он называется резольвентой элемента a 2 A:
def |
(3.102) |
R( ; a) = ( id a) 1: |
Замечание. Иногда резольвентой элемента a называют элемент (a
id) 1:
Âформулах, подобных (3.102), часто опускают обозначение id, считая по умолчанию, что:
id ;
и при такой договоренности определение (3.102) записывается так:
R( ; a) = ( a) 1:
