FA Арсеньев Функ.Ан

из которой следует, что последовательность Sn фундаментальна и поэто-

му имеет предел. Лемма доказана.

Эту лемму можно уточнить. Положим

A(m ; n) = fx j m2 n f(x) < (m + 1)2 ng:

Определим функциональную последовательность

X

Fn(x) := m2 nI(A(m ; n) j x):

jmj2n

Справедлива

Лемма 1.2.5. Если интеграл (определенный по Даниэлю) и мера связаны равенством (1.116), то справедливо равенство

Доказательство. Очевидна оценка

Z

jFn(x) f(x)j (dx) =

Z

X

I(A(m ; n) j x)jFn(x) f(x)j (dx) 2 n+1;

jmj2n

которая и доказывает наше утверждение.

Вычислим интеграл в смысле Даниэля от функции Fn(x). Получим:

Z

X

Fn(x) (dx) = m2 n (fx j m2 n f(x) < (m + 1)2 ng);

jmj2n

Отсюда и из предыдущей леммы вытекает

Теорема 1.2.4. Интегал Лебега в смысле определения 1.2.8 совпадает с интегралом Даниэля в смысле определения 1.1.8.

Мы доказали это утверждение для ограниченных функций, для остальных можно воспользоваться теоремой Лебега.

Выясним связь между множествами меры ноль в смысле определения 1.1.1 и теми измеримыми в смысле определения 1.2.9 множествами, для которых определенная равенством (1.116) мера равна нулю.

Мы уже обсуждали этот вопрос в следствии 1.1.4 и утверждении 1.1.6. Остановимся на этом еще раз.

59

Лемма 1.2.6. Множество Z X есть множество меры ноль в смысле определения 1.1.1 в том и только том случае, если множество Z измеримо в смысле определения 1.2.9 и мера множества Z равна нулю:

(Z) = 0.

Доказательство. Если Z есть множество меры ноль в смысле определения 1.1.1, то согласно этому определению характеристическая функция множества Z почти всюду равна нулю:

поэтому согласно лемме 1.1.7 характеристическая функция множества Z интегрируема:

I(Z j x) 2 L+(X);

è

(Z) = I(I(Z j )) = 0:

Если характеристическая функция множества Z интегрируема и

I(I(Z j )) = 0;

то согласно следствию 1.1.4 множество Z есть множество меры ноль в смысле определения 1.1.1. Лемма доказана. Очевидно

Следствие 1.2.1. Если мера множества и интеграл связаны равен-

то определения 1.1.2 1.1.3 эквивалентны определениям

Определение 1.2.11. 1. Свойство P (x) справедливо почти всюду, если множество точек x 2 X; где свойство P (x) не справедливо, есть множество, мера которого в смысле определения (1.128), равна нулю.

Эквивалентная формулировка: пусть P (x) -функция на множестве X, которая принимает два значения:

P : X 3 x 7!P (x) 2 ftruth ; falseg

Тогда

Определение 1.2.12. P (x) = truth почти всюду, если (fx j P (x) = falseg) = 0:

60

Именно в этом смысле мы можем теперь понимать термин почти всюду во всех предыдущих рассуждениях.

Когда нужно пояснить, относительно какой меры мы рассматриваем свойство почти всюду, мы будем писать п.в. mod( ).

Из доказанной нами леммы вытекает и утверждение 1.1.7.

Из леммы 1.2.6 и утверждения 1.1.3 следует, что мера (1.116) на - алгебре AI полна в следующем смысле: если Z A 2 AI è (A) = 0, òî

Z 2 AI è (Z) = 0.

Определение (1.116) не исчерпывает все интересные и важные для приложений случаи задания меры на множестве X: существуют меры, определение которых естественно задавать иначе.

Можно поступить следующим образом. Задать на некоторой -алгебре подмножеств множества X полную вероятностную меру. Далее опреде-

лить интеграл по 1.2.8. Этот интеграл принять за элементарный интеграл, а потом по построенному интегралу задать новую меру. Можно показать, что мы получим исходную меру. Таким образом, при построении интеграла в конечном счете безразлично с чего начинать: с задания меры или элементарного интеграла.

1.2.3Измеримые функции.

Пусть AI есть -алгебра измеримых в смысле определения 1.2.9 мно-

жеств, а мера на -алгебре AI и интеграл связаны соотношением (1.128). Обозначим множество измеримых (см. определение 1.2.6) относительно-алгебры AI функций символом L(X). Таким образом,

Множество L(X) зависит от -алгебры AI . Например, если -алгебра состоит из двух множеств: ; è X, то в пространство L(X) входят только постоянные на X функции. В примере 1.1.6 пространство L(X) состоит из линейных комбинаций характеристических функций полуинтервалов

Aj = [ j ; j+1).

Пусть в пространстве R1 задана -алгебра борелевских множеств, в пространстве X задана произвольная -алгебра и L(X) -множество отоб-

ражений

f : X 7!R1;

-измеримых в смысле определения 1.2.6.

Лемма 1.2.7. Справедливы следующие утверждения.

1. Множество L(X) есть линейное пространство: если f(x) ; g(x) 2 L(X); то f(x) + g(x) 2 L(X).

61

2.Åñëè f(x) 2 L(X), òî jf(x)j 2 L(X).

3.Åñëè f(x) 2 L(X) ; g(x) 2 L(X), òî f(x)g(x) 2 L(X).

4.Если мера полна и последовательность измеримых функций ffn(x)g почти всюду имеет предел:

9 f(x) : ï.â. mod( ) lim fn(x) = f(x); (1.130)

n!1

то определенная равенством (1.130) функция f(x) измерима: f(x) 2 L(X).

5. Для произвольной последовательности измеримых функций ffn(x)g множество A тех точек x, где последовательность ffn(x)g фундаментальна (т.е. имеет предел ), принадлежит -алгебре AI .

Доказательство. Для доказательства первого утверждения достаточ- но заметить, что для любых измеримых функций f(x) ; g(x) множество

fx j f(x) + g(x) < ag =

измеримо.

Второе утверждение следует из равенства

\

fx j jf(x)j < ag = fx j f(x) < ag fx j f(x) > ag

Заметим, что отсюда следует измеримость функции f2(x), если функция f(x) измерима.

Òàê êàê

f(x)g(x) = 12((f(x) + g(x))2 f2(x) g2(x));

то из утверждений 1 и 2 следует утверждение 3.

Перейдем к доказательству четвертого утверждения. Пусть Z ìíî-

жество тех точек x, где последовательность fn(x) не имеет предела. На множестве C(Z) = X n Z рассмотрим -алгебру

\

A0 = fA0 j A0 = A C(Z) ; A 2 Ag

и сужение меры на эту -алгебру. Это можно сделать, поскольку мера полна. На множестве C(Z) справедливо равенство

62

Стоящее в правой части равенства (1.131) множество измеримо относительно -алгебры A0. Отсюда в силу полноты меры следует измери-

мость множества fx j limn!1 fn(x) ag относительно -алгебры A. Для доказательства последнего утверждения нашей леммы достаточ-

но заметить, что множество (быть может, пустое) тех точек x, где последовательность ffn(x)g фундаментальна, есть множество

\ [ \

A = fx j jfp(x) fp+q(x)j 1=kg:

k 1 n 1 p n q>0

1.2.4Сходимость по мере.

Пусть нам задана -алгебра множеств A и мера на этой -алгебре.

Определение 1.2.13. Последовательность измеримых относительно - алгебры A функций ffn(x)g фундаментальна по мере , если для любых a > 0 ; > 0 существует такой номер n(a ; ), ÷òî ïðè n n(a ; ) äëÿ âñåõ p 1 выполнено неравенство

Определение 1.2.14. Последовательность измеримых относительно - алгебры A функций ffn(x)g сходится по мере к измеримой функции f(x), если для любых a > 0 ; > 0 существует такое число n(a ; ), ÷òî ïðè n n(a ; )

Ниже предполагается, что -алгебра и мера на ней фиксированы. Из неравенства

jfn(x) fn+p(x)j jfn(x) f(x)j + jf(x) fn+p(x)j

следует, что

поэтому из сходимости по мере следует фундаментальность по мере. Ниже мы докажем, что из фундаментальности по мере следует сходимость по мере. Однако сначала мы докажем, что из сходимости почти всюду следует сходимость по мере.

63

Лемма 1.2.8. Если последовательность измеримых функций ffn(x)g сходится почти всюду к функции f(x), то последовательность ffn(x)g сходится к функции f(x) по мере.

Доказательство.Рассмотрим множество

m n m

Åñëè x 2 Aa; то в этой точке x последовательность fn(x) не сходится к f(x), поэтому (Aa) = 0 è

[

( fx j jfn(x) f(x)j > ag) ! 0 ; m ! 1:

n m

Следовательно,

[

(fx j jfn(x) f(x)j > ag) ( fx j jfn(x) f(x)j > ag) ! 0 ; m ! 1:

n m

Лемма 1.2.9. Если последовательность ffn(x)g фундаментальна по мере, то последовательность ffn(x)g содержит подпоследовательность, которая сходится почти всюду.

Доказательство. Из условия 1.132 следует, что для любого k > 0 существует такой номер n(k), что мера множества

Ak : (x 2 Ak) () (supfjfn(k)(x) fm(x)j j m > n(k)g 2 k):

удовлетворяет неравенству

(Ak) < 2 k:

Пусть

поэтому

(A) = 0

64

è

(C(A)) = 1:

Íî

[ \

C(A) = C(Ak):

j 1 k j

T

Åñëè x 2 C(A); то существует такое j 1; ÷òî x 2 C(Ak); поэтому

k j

8(k j ; p > 0): jfn(k)(x) fn(k+p)(x)j

<supfjfn(k)(x) fm(x)j j m n(k)g < 2 k;

àэто означает, что последовательность fn(k)(x) фундаментальна. Лемма

доказана.

Замечание. Легко заметить, что доказательства двух последних лемм однотипны и основаны на рассмотрении множеств (1.137) и (1.136). В вероятностной интерпретации эти множества представляют некоторые события, которые происходят бесконечное число раз. При определен-

ных условиях такие события должны быть измеримы относительно - алгебры, состоящей из двух множеств: ; ; X, и поэтому их вероятность

может быть равна только нулю или единице (это одна из формулировок закона нуля или единицы в теории вероятности).

Из двух предыдущих лемм следует

Лемма 1.2.10. Если последовательность измеримых функций фундаментальна по мере, то она сходится по мере к измеримой функции.

Доказательство. Пусть ffn(x)g -фундаментальная по мере последовательность и ffn(j)g -ее подпоследовательность, которая сходится почти всюду к функции f(x). Согласно лемме 1.2.7 функция f(x) измерима.

При любом a > 0 справедливо неравенство

(fx j jf(x) fm(x)j > 2ag) <

(fx j jf(x) fn(j)(x)j > ag) + (fx j jfn(j)(x) fm(x)j > ag);

Первое слагаемое в правой части этого неравенства может быть сделано сколь угодно малым при j ! 1, так как из сходимости почти всюду

следует сходимость по мере. Второе слагаемое может быть сделано сколь угодно малым при выборе достаточно большого m в силу фундаменталь-

ности по мере последовательности ffn(x)g. Лемма доказана.

65

Лемма 1.2.11. При a > 0 справедливо неравенство

Неравенство (1.138) называется неравенством Чебышева . Для доказательства этого неравенства заметим, что

Z Z

(jf(x)j=a) (dx) (jf(x)j=a) I(fx j jf(x)j > ag j x) (dx)

Z

I(fx j jf(x)j > ag j x) (dx) = (fx j jf(x)j > ag):

Напомним, что последовательность ffn(x)g сходится в метрике пространства L(X) к функции f(x), если

Z

jfn(x) f(x)j (dx) ! 0 ; n ! 1:

Из неравенства (1.138) следует, что

1

Z

8a > 0 : (fx j jfn(x) f(x)j > ag) a jfn(x) f(x)j (dx);

поэтому из сходимости в L(X) следует сходимость по мере. Собирая доказанные леммы, мы получим

Теорема 1.2.5. Справедливы следующие утверждения.

1.Если последовательность измеримых функций ffn(x)g сходится почти всюду, то она сходится по мере.

2.Если последовательность измеримых функций сходится в мет-

рике пространства L(X), то она сходится по мере.

3.Для сходимости по мере последовательности ffn(x)g необходимо

èдостаточно, чтобы последовательность ffn(x)g была фундаментально по мере.

4.Фундаментальная по мере последовательность ffn(x)g содержит

сходящуюся почти всюду подпоследовательность.

В заключении приведем одну полезную формулу. Пусть (t) -непрерывно дифференцируемая на инервале [0 ; 1) неубывающая функция, f(x) - измеримая функция. Тогда справедливо равенство

Для доказательства этого равенства достаточно проинтегрировать по мере (dx) очевидное равенство

66

1.2.5Функция Кантора.

Приведем во многих отношениях принципиально важный классический пример: функцию Кантора. Эта функция строится на отрезке [0 ; 1]. Построение будем вести индуктивно. На нулевом шаге индукции мы определим функцию Кантора Ct(t) на интервалах t < 0 ; t > 1:

Ct(t): Ct(t) = 0 ; t < 0 ; Ct(t) = 1 ; t > 1:

Далее отметим на отрезке [0 ; 1] интервал (1=3 ; 2=3) и на этом интервале положим

Ct(t) = (0 + 1)=2 = 1=2 ; 1=3 < t < 2=3:

У нас остались два отрезка: [0 ; 1=3] ; [2=3 ; 1]. На каждом отрезке мы отметим среднюю треть: интервалы (1=9 ; 2=9) ; (7=9 ; 8=9) и на отмеченных интервалах положим

Ct(t) = (0 + 1=2)=2 = 1=4 ; 1=9 < t < 2=9;

Ct(t) = (1=2 + 1)=2 = 3=4 ; 7=9 < t < 8=9:

Предположим, что мы сделали n шагов построения. На шаге n + 1 мы поступаем так. Двигаясь от точки 0 вправо мы на каждом встретившем-

ся отрезке будем отмечать лежащий посередине отрезка интервал, длина которого равна одной трети длинны отезка, и на отмеченном интервале

определим функцию Ct(t) как полусумму тех значений, которые она имеет на ближайших слева и справа отмеченных ранее интервалах. Так мы будем делать до тех пор, пока не дойдем до точки 1. Затем мы вернемся

к точке 0 и повторим построение. Объединение отмеченных в результате такого процесса интервалов называется отрытым множеством Кантора

[[

G = (1=3 ; 2=3) (1=9 ; 2=9) (7=9 ; 8=9) : : :

Дополнение множества G

P = [0 ; 1] n G

называется замкнутым множеством Кантора (или еще совершенным множеством Кантора). Так как на каждом шаге построения суммарная дли-

на неотмеченных отрезков уменьшается в 2=3 раза, мера Лебега замкну-

того множества Кантора равна нулю, поэтому мера Лебега открытого множества Кантора равна единице. По построению функция Кантора постоянна на каждой связанной компоненте открытого множества Кан-

òîðà G и монотонно не убывает на G:

Ct(t1) Ct(t2) ; t1 t2 ; t1 ; t2 2 G;

67

причем все числа вида m2n ; 0 < m < 2n ; n 2 Z+ принадлежат множе- ству значений функции Кантора Ct(t) на множестве G.

Доопределим функцию Кантора на всех точках отрезка [0 ; 1] равенствами

Ясно, что так определенная функция Ct (t) монотонно не убывает на отрезке [0 ; 1] è Ct(1) = 1. Докажем, что Ct(t) непрерывна на отрезке [0 ; 1]. В силу монотонности функции Ct(t) в каждой точке t0 2 [0 ; 1] должны существовать пределы слева и справа. Предположим, что Ct (t0 + 0) > Ct(t0 0). Тогда интервал (Ct(t0 0) ; Ct(t0 + 0)) не может содержать значений функции Ct(t) в силу монотонности функции Ct(t) , à ýòî ïðî-

m2 n ; 0 < m < 2n ; n 2 Z+ принад- лежат множеству значений функции Ct(t).

Мы доказали, что функция Кантора Ct (t) обладает следующими свойствами: она непрерывна на отрезке [0 ; 1] и монотонно не убывает на этом отрезке, причем Ct(0) = 0 ; Ct(1) = 1. По построению функция Кантора Ct(t) постоянна на каждом открытом интервале, объединение которых составляет открытое множество G. Отсюда следует, что функция Кантора дифференцируема в каждой точке открытого множества G и ее производная тождественно равна нулю на G. Так как дополнение множества G имеет меру ноль, мы получаем, что функция Кантора дифференцируема почти всюду на отрезке [0 ; 1] и ее производная почти всюду равна

нулю. Это может противоречить наивным предположениям о том, что с непрерывной функцией на множестве меры ноль ничего произойти не может. В данном случае на множестве меры ноль непрерывная функция возрастает от нуля до единицы.

В наших построениях мы фактически нигде не использовали то обстоятельство, что отмечается именно треть отрезка. К тем же выводам можно было бы прийти, если бы на каждом шаге отмечать, например,

открытый интервал длины 4=5 èëè 1=5 отмечаемого отрезка. Классиче- ская конструкция удобна тем, что она позволяет просто доказать, что замкнутое множество P имеет мощность континуума. Действительно, из

построения следует, что множеству P принадлежат те и только те числа q, которые имеют вид

X

q = 3 na(n) ; ãäå a(n) = 0 ; 2

1 n<1

-произвольная последовательность из нулей и двоек. Но все такие числа

68