FA Арсеньев Функ.Ан

находятся во взаимно однозначном соответствии с числами вида

X

r = 2 n 1a(n) ; ãäå a(n) = 0 ; 1;

1 n<1

а это и есть все числа из полуинтервала (0 ; 1].

Таким образом замкнутое множество Кантора (или, как его еще называют, совершенное множество Кантора) есть пример множества, которое имеет меру ноль и мощность континуума.

В некотором смысле противоположный пример можно получить, если рассмотреть множество

[

A = [0 ; 1] n (xn 4 n ; xn + 4 n );

1 n<1

ãäå fxng -последовательность всех рациональных точек отрезка [0 ; 1]: Множество A замкнуто и имеет меру, больше чем 1 ; но не содержит ни одного открытого интервала.

1.2.6Теорема Фубини.

Пусть K1 ; K2 -компактные топологические пространства, K = K1 K2 -декартово произведение пространств K1 ; K2. Точки пространства K = K1 K2 мы будем обозначать символами (x ; y) x y ; x 2 K1 ; y 2 K2. Пусть C(K) -множество всех непрерывных функций на пространстве K. Возьмем пространство всех непрерывных на компакте K функций C(K) в качестве пространства элементарных функций и пусть

I0 : C(K) 7!R1

-элементарный интеграл на L0(K) = C(K). Напомним, что элементарный интеграл необходимо удовлетворяет условию

ãäå I0;1 ; I0;2 -линейные функционалы на C(K1) ; C(K2) соответственно. Приведем пример. Пусть K1 = K2 = [0 ; 1]: Тогда функционалы

I0 : f(x ; y) 7!f(x0 ; y0)

69

удовлетворяют условию (1.142), а функционал

Z 1

I0 : f(x ; y) 7! f(x ; x) dx

0

не удовлетворяет условию (1.142).

Из того факта, что элементарный интеграл I0 удовлетворяет услови- ям 1.1.5-1.1.7 на пространстве C(K) следует, что функционалы I0;1 ; I0;2 â

(1.142) удовлетворяют условиям 1.1.5-1.1.7 на пространствах C(K1) ; C(K2)

и поэтому могут рассматриваться как элементарные интегралы на этих пространствах.

Элементарные интегралы I0 ; I0;1 ; I0;2 по схеме Даниэля порождают

пространства L(K) ; L(K1) ; L(K2) соответственно и этим интегралам соответствуют меры

(dxdy) ; (dx; ) ; ( ; dy):

Мы будем говорить, что эти меры порожденны элементарными интегралами I0 ; I0;1 ; I0;2.

Определение 1.2.15. Ìåðà (dxdy) на компакте K = K1 K2 называ- ется произведением мер (dx ; ) è ( ; dy):

(dxdy) = (dx ; ) ( ; dy);

если порождающие их элементарные интегралы связаны соотношением (1.142).

Следующее утверждение называется теоремой Фубини.

Теорема 1.2.6. Пусть выполнены все сделанные выше предположения

èf(x ; y) 2 L(K). Тогда

1.Почти всюду по мере ( ; dy) функция

K1 3 x 7!f(x ; y)

принадлежит пространству L(K1).

2. Почти всюду по мере (dx ; ) функция

K2 3 y 7!f(x ; y)

принадлежит пространству L(K2).

70

3. Функции

Z

K1 3 x 7! f(x ; y) ( ; dy);

Z

K2 3 y 7! f(x ; y) (dx ; )

принадлежат пространствам L(K1) ; L(K2) соответственно. 4. Справедливо равенство

Z Z Z

f(x ; y) (dxdy) = f(x ; y) ( ; dy) (dx ; ); (1.143)

где в левой части равенства интегрирование ведется по компакту K, а

в правой части равенства внутренний интеграл берется по компакту K2, а внешний по компакту K1.

Доказательство. Ясно, что теорему достаточно доказать для f(x ; y) 2

L+(K). В дальнейшем мы будем рассматривать пространство C(K) как банахово пространство с нормой

kfk = supfjf(x ; y)j j (x ; y) 2 Kg:

В этом пространстве алгебра функций вида

1 j n

плотна по норме и ее замыкание совпадает с C(K). На каждой функции вида (1.144) формула (1.143) верна в силу предположения (1.142). Следовательно, в силу непрерывности функционалов I0 ; I0;1 ; I0;2 ôîð- мула (1.143) верна для любой непрерывной функции f 2 C(K). Пусть теперь f 2 L+(K) è fn 2 C(K) такая последовательность, что fn(x ; y) % f(x ; y) ; n ! 1: Тогда

Z Z Z

8n: fn(x ; y) (dxdy) = fn(x ; y) ( ; dy (dx ; ): (1.145)

Последовательность

Z

n(x) = fn(x ; y) ( ; dy)

состоит из непрерывных функций, она монотонно не убывает и интегралы от нее ограничены в совокупности. Следовательно, в силу теоремы

Беппо Леви почти всюду по мере (dx ; ) существует предел

71

причем

При тех значениях x 2 K1, при которых существует предел в (1.146), последовательность интегралов

Z

fn(x ; y) ( ; dy);

ограничена в совокупности, поэтому при этих значениях x в силу теоремы Беппо Леви функция

y ! lim fn(x ; y) = f(x ; y) 2 L+(K2);

n!1

и справедливо равенство

Теорема доказана.

1.2.7 Разложение Лебега и теорема Радона-Никодима.

Пусть на -алгебре A заданы две меры m1 è m2.

Определение 1.2.16. Ìåðà m1 называется сингулярной относительно меры m2, если существует такое множество B 2 A, ÷òî

è åñëè ìåðà m1 сингулярна относительно меры m2, òî ìåðà m2 сингуляр- на относительно меры m1.

Рассмотрим пример. Пусть Ct(t) ; t 2 [0 ; 1] -функция Кантора. Эта

функция монотонно не убывает и непрерывна, и поэтому (см. пример 1.1.8) на -алгебре A борелевских подмножеств отрезка [0 ; 1] она порож-

äàåò ìåðó mCt, которая на каждом открытом интервале ( ; ) [0 ; 1] принимает значение

mCt( ; ) = Ct( ) Ct( ):

72

На этой же алгебре A борелевских множеств отрезка [0 ; 1] рассмотрим меру Лебега

ml( ; ) = :

Лебега сингулярны.

Пусть на некоторой -алгебре A заданы две меры и .

Определение 1.2.17. Мера называется абсолютно непрерывной относительно меры , если из того, что (A) = 0 следует, что (A) = 0:

Åñëè !(x) 2 L (X) ; !(x) 0, то формула

Z

8(A 2 A) : (A) = I(A j x)!(x) (dx) (1.150)

задает меру, которая является абсолютно непрерывной относительно меры . Ниже мы увидим, что любая абсолютно непрерывная мера имеет такой вид.

Лемма 1.2.12. Пусть на некоторой -алгебре A подмножств множества X заданы две меры и . Тогда пространство X есть объединение трех принадлежащих -алгебре A непересекающихся множеств

[[

X = X0; X0; X;;

причем

Доказательство. Положим

8(m 2 A) : (m) = (m) + (m):

Рассмотрим действительное гильбертово пространство L2(X) со скалярным произведением

Z

< f ; g >= f(x)g(x) (dx):

73

В этом гильбертовом пространстве определим линейный функционал

Z

l : L2(X) 3 f 7!l(f) = f(x) (dx):

Функционал l непрерывен, так как

Z 1=2 Z 1=2 Z 1=2 jl(f)j 1 (dx) f2(x) (dx) f2(x) (dx)

По теореме Рисса об общем виде линейного непрерывного функционала в гильбертовом пространстве, в пространстве L2(X) существует такая

функция f0(x), ÷òî

8(f 2 L2(X)) : l(f) =< f0 ; f > :

Следовательно,

ZZ

Òàê êàê

8(f 0) : l(f) 0;

то из (1.153) следует, что

ï.â. mod( ) : f0(x) 0:

Из (1.153) следует равенство

Z Z

8(f 2 L2(X)) : f(x)(1 f0(x)) (dx) = f(x)f0(x) (dx) 0; (1.154)

Пусть

A = fx j f0(x) > 1 + g:

Подставив в (1.154)

f(x) = I(A j x);

мы получим:

(A ) = (A ) = 0;

поэтому

ï.â. mod( ) : 1 f0(x) 0:

74

Положим в (1.154)

f(x) = fn(x) = I(A j x) min(n ; (1 f0(x)) 1) ; A X;:

Получим:

Z

I(A j x)(1 f0(x)) min(n ; (1 f0(x)) 1) (dx) =

Z

Íî

8A X; ï.â. mod( ) :

I(A j x)(1 f0(x)) min(n ; (1 f0(x)) 1) % I(A j x);

поэтому из (1.159) следует, что

8(A X;) : !(x) := I(A j x)(1 f0(x)) 1f0(x) 2 L (X)

è Z

8(A X;) : (A) = I(A j x)!(x) (dx):

В силу симметрии между мерами и аналогичное утверждение справедливо и для меры . Лемма доказана.

Пусть на -алгебре A заданы две меры и . Воспользуемся обозна- чениями предыдущей леммы и определим меры

ßñíî, ÷òî ìåðà ? сингулярна отноcительно меры , а мера k àáñî- лютно непрерывна относительно меры : Таким образом, из леммы 1.2.12 следует

75

Теорема 1.2.7. Если на -алгебре A заданы две меры и , то справедливо разложение

ãäå ìåðà k абсолютно непрерывна относительно меры , а мера ? сингулярна относительно меры .

Представление меры в виде (1.162) называется разложением Лебега (Лебег открыл эту формулу).

Из леммы 1.2.12 и разложения Лебега следует теорема Радона-Никодима.

Теорема 1.2.8. Если мера абсолютно непрерывна относительно меры , то существует такая функция !(x) 2 L (X), что

Z

8(A 2 A) : (A) = I(A j x)!(x) (dx): (1.163)

Доказательство. Если мера абсолютно непрерывна относительно меры , то второе слагаемое в (1.162) равно нулю, а первое слагаемое дается формулой (1.161), что и доказывает теорему.

1.2.8Счетно-аддитивные функции множеств и теорема Хана.

Определение 1.2.18. Определенная на -алгебре A подмножеств мно-

жества X функция

: A 7!R1

называется счетно-аддитивной, если

(;) = 0

и если для любого счетного семейства непересекающихся множеств fAjg выполнено равенство

В отличии от меры, счетно-аддитивная функция множеств может принимать отрицательные значения. Иногда рассматривают и такие счетноаддитивные функции множеств, которые могут принимать бесконечные значения. Мы не будем рассматривать такие функции и будем считать, что

8(A 2 A) : j (A)j < 1:

Изучение счетно-аддитивных функций множеств сводится к изучению мер, и это утверждение есть содержание следующей теоремы Хана.

76

Теорема 1.2.9. Для любой определенной на -алгебре A подмножеств множества X счетно-аддитивной функции множеств существуют такие подмножества E X ; E 2 A, что

\

8(A 2 A) : (A E ) 0:

Доказательство. Мы будем называть подмножество E+ X ; E+ 2 A положительным, если выполнено условие (1.165), и будем называть подмножество E X ; E 2 A отрицательным, если выполнено условие (1.166). Семейство всех положительных (отрицательных) множеств не пусто: пустое множество всегда есть одновременно и положительное мно-

жество, и отрицательное множество. Ясно, что любое принадлежащее - алгебре A подмножество положительного (отрицательного) множества

есть множество положительное (отрицательное), пересечение положительных (отрицательных) множеств есть множество положительное (отрицательное), объединение положительных (отрицательных) множеств есть множество положительное (отрицательное).

Пусть

= inf (B);

где нижняя грань берется по всем отрицательным множествам. Из определения точной нижней грани следует, что существует такая последова-

тельность отрицательных множеств fBng, ÷òî

= lim (Bn):

n!1

Без ограничения общности можно считать, что Bn Bn+1; поэтому

[

= ( Bn);

n

n

77

Определенное равенством (1.167) множество отрицательно и удовлетво-

ряет равенству

= (E ):

Для доказательства теоремы нам достаточно доказать, что множество

Мы докажем, что отрицание этого утверждения ведет к противоречию. Пусть существует такое множество E0 E+, ÷òî (E0) < 0: Множе-

ñòâî E0 не может быть отрицательным, так как тогда

[

(E E0) = (E ) + (E0) < ;

что противоречит выбору числа : Следовательно, существуют такие множества A E0; ÷òî (A) > 0: Пусть

1 = supf (A) j A E0g:

Справедливо неравенство

1 > 0;

и существует такое множество

1

A1 E0 ; ÷òî (A1) > 2 1:

Положим

E1 = E0 n A1:

Из равенства

(E0) = (E1) + (A1)

следует, что

(E1) < 0:

Рассуждая как и выше, мы получим, что множество E1 не может быть отрицательным, поэтому

2 := supf (A) j A E1g > 0;

и существует такое множество

A2 E1;

78