FA Арсеньев Функ.Ан

Утверждение 1.1.7. Пусть пространство X есть параллелипипед K

Rd:

K := fxjx = (x1 ; : : : ; xd) 2 Rd ; ai xi bi ; ai < bi g;

(и отезок [a ; b] в случае d = 1). Пусть пространство элементарных функций L0(K) есть пространство всех непрерывных функций, заданных на K : L0(K) = C(K), а элементарный интеграл I0 íà L0(K) есть интеграл Римана: Z

I0(f) = f(x) dx:

K

Тогда построенный по схеме Даниэля интеграл I совпадает с классиче- ским интегралом Лебега. Это означает, что:

1.Функция f(x) принадлежит пространству L(K) в том и только том случае, если она интегрируема по Лебегу на K.

2.Интегал Даниэля функции f равен ее интегралу Лебега:

Z

8 (f 2 L(K)) : f(x) dx := I(f): (1.56)

K

В левой части (1.56) стоит интеграл Лебега, в правой части -интеграл Даниэля.

3. Множество Z K есть множество меры ноль в смысле определения (1.1.1) в том и только том случае, если мера Лебега множества Z равна нулю.

Так как мы не вводили интеграл Лебега, то мы сейчас не будем доказывать это утверждение, но обсудим его позже после введения понятия меры множества. Сейчас это утверждение можно принять за определение интеграла Лебега в Rd.

Равенство (1.56) мы будем рассматривать как определение стоящего в левой части этого равенства символа.

Утверждение 1.1.7 дает нам основание дать

Определение 1.1.9. Мы будем говорить, что определенная в параллелипипеде K Rd функция f(x) интегрируема по Лебегу в параллелипи-

ïåäå K, если она принадлежит пространству L(K) интегрируемых по Даниэлю функций, причем при построении пространства L(K) в качестве

элементарных функций взято пространство непрерывных в параллелипипеде функций и в качестве элементарного интеграла взят интеграл Римана.

Заметим, что часто под интегралом Лебега понимают интеграл, построеннный по предложенной Лебегом схеме, но с произвольной мерой. Такой интеграл также называется интегралом Лебега-Стильтеса.

В дальнейшем мы будем придерживаться следующих определений.

29

Определение 1.1.10. Пусть D -ограниченная область в Rd è K -параллелипипед, который содержит область D : K D. Мы будем говорить, что заданная

âобласти D функция f(x) интегрируема по области D, åñëè

1.Функция I(D j x) интегрируема в параллелипипеде K.

2.Функция f(x)I(D j x) интегрируема в параллелипипеде K.

При этих условиях мы полагаем по определению

ZZ

DK

Читателю предлагается проверить, что правая часть (1.57) не зависит от выбора объемлющего параллелипипеда K.

Âдальнейшем интеграл в смысле определений 1.1.10-1.1.12 мы будем называть просто интегралом èëè интегралом Лебега, если уточение необходимо.

Âобщем случае при построении интеграла Даниэля не предполагается выполнение условия 1.1.8. Однако если это условие не выполнено и

если функция f(x) 1 не принадлежит пространству L(X), то работать

с таким интегралом довольно трудно, и здесь часто помогает конструкция, аналогичная конструкции несобственного интеграла Римана в многомерном случае. Это обобщение понятия интеграла в смысле определения 1.1.8 можно назвать несобственным интегралом. В общем случае мы определим это понятие так.

Условие 1.1.11. Пусть K(m) ; m = 1 : : : -последовательность множеств, которая удовлетворяет условиям:

m

Предположим, что для каждого m построено пространство L(K(m)) и интеграл Im на пространстве L(K(m)), причем выполнены условия:

При выполнении этих условий мы определяем несобственный интеграл от заданной в области D функции так.

30

Определение 1.1.11. Мы говорим, что заданная в области D функция f(x) интегрируема в области D в несобственном смысле, если конечен предел

и в это случае мы по определению полагаем

Z

\

Dm!1 m(fI(D K(m) j )): (1.63)

Âслучае неограниченной области D в евклидовом пространстве Rd è классического интеграла Лебега это определение конкретизируется так.

Пусть K(m) ; m = 1 : : : -последовательность параллелипипедов, ко-

Определение 1.1.12. Мы будем говорить, что заданная в неограниченной области D Rd функция f(x) интегрируема по области D, åñëè

T

1. При любом m функция I(D K(m) j x) интегрируема в параллелипипеде K(m).

T

2. Функция f(x)I(D K(m) j x) интегрируема в параллелипипеде

K(m).

3. Конечен предел:

В этом случае мы по определению полагаем

ZZ

\

f(x) dx := lim f(x)I(D K(m) j x) dx: (1.66)

Dm!1 K(m)

Âдальнейшем интеграл в смысле определений 1.1.11-1.1.12 мы также будем называть интегралом èëè интегралом Лебега, если уточение необходимо и не будем специально фиксировать внимание на том, что интеграл понимается как несобственный.

Из леммы 1.1.12 следует, что интеграл в смысле определения 1.1.9 есть предел интегралов Римана от непрерывных функций, поэтому на интеграл в смысле определения 1.1.9 с помощью операции предельного перехода легко переносятся обычные правила действия с интегралами ( замена переменных, интегрирование по частям, аддитивность относительно области интегрирования и т.д.) Однако сама операция предельного перехода в интеграле Лебега отличается от операции предельного перехода в интеграле Римана и будет изучена нами ниже.

31

1.1.4Предельный переход в интеграле Лебега.

Нас будет интересовать следующая задача. Пусть последовательность интегрируемых функций ffng ïðè n ! 1 в каком-то смысле сходится

к предельной функции f. При каких условиях предельная функция f

интегрируема и ее интеграл есть предел интегралов от функций fn? Îñ-

новными результатами этой части являются две теоремы: теорема Лебега о предельном переходе в интеграле и теорема Рисса-Фишера о полноте

пространства L(X).

Мы начнем с доказательства теоремы Беппо Леви.

Теорема 1.1.1. Пусть последовательность f ng L(X) удовлетворяет условиям:

1 k n

сходится почти всюду и его сумма (x) принадлежит пространству

L(X).

2. Справедливо равенство

n

Доказательство. В силу леммы 1.1.9 каждую функцию n(x) можно представить в виде

32

Мы видим, что последовательности частных сумм

XX

Sn(f) = fn ; Sn(g) = gk

1 k n 1 k n

удовлетворяют условиям леммы 1.1.8: это монотонно неубывающие последовательности функций из пространства L+(X) с ограниченными в совокупности интегралами. Следовательно, в силу леммы 1.1.8 почти всюду при n ! 1 эти суммы имеют пределы, эти пределы принадлежат

пространству L+(X):

ï.â. 9S(f)(x) : lim Sn(f)(x) = S(f)(x) ; S(f) 2 L+(X);

n!1

ï.â. 9S(g)(x) : lim Sn(g)(x) = S(g)(x) ; S(g) 2 L+(X);

n!1

и справедливы равенства:

1 k n

Теорема доказана.

Следствие 1.1.2. Если принадлежащая пространству L(X) последо-

вательность функций ffn(x)g имеет равномерно ограниченные интегралы:

fn 2 L(X) ; jI(fn)j < C;

где C не зависит от n, и почти всюду

то определенная в (1.71) функция f(x) принадлежит пространству

L(X):

f 2 L+(X) è I(f) = lim I(fn):

n!1

33

Для доказательства этого утверждения достоточно рассмотреть либо последовательность

n = fn 1 fn ; f0 = 0 ;

либо последовательность

n = fn fn 1 ; f0 = 0 ;

и применить доказанную теорему.

Следствие 1.1.3. Если принадлежащая пространству L(X) функция f(x) почти всюду неотрицательна и интеграл от нее равен нулю, то функция f(x) почти всюду равна нулю.

Для доказательства данного утверждения достаточно применить теорему Беппо-Леви к ряду

X

nf(x):

n

В частности, справедливо

Следствие 1.1.4. Если характеристическая функция

множества A X интегрируема:

I(A j x) 2 L(X)

и интеграл от нее равен нулю:

I(I(A j )) = 0;

то множество A есть множество меры ноль в смысле определения 1.1.1.

Следующая теорема называется теоремой Лебега о предельном переходе в интеграле и часто применяется в приложениях.

Теорема 1.1.2. Если последовательность интегрируемых функций n 2 L(X) почти всюду имеет предел:

ï.â. 9 (x) : (x) = lim n(x) ; (1.72)

n!1

34

и существует такая интегрируемая функция 0(x) 2 L(X), ÷òî

то определенная равенством (1.72) функция интегрируема:

и справедливо равенство

Таким образом, если выполнены условия (1.72)-(1.73), то мы можем утверждать, что обе части равенства

lim I( n) = I( lim n);

n!1 n!1

сущесвуют и равны.

Доказательство. Определим функции

fn;k(x) := maxf n+j(x) j 0 j kg ; gn;k(x) := minf n+j(x) j 0 j kg:

Справедливы оценки

Очевидно, что

fn;k+1(x) fn;k(x) ; gn;k+1(x) gn;k(x):

В силу следствия 1.1.2 и оценки (1.73) справедливы утверждения

В силу (1.72) определенные равенствами (1.77) -(1.78) функции удовлетворяют условиям:

fn(x) & (x) ; gn(x) % (x) ; n ! 1; 8n : jgn(x)j 0(x) ; jfn(x)j 0(x):

Снова примения следствие 1.1.2, мы можем утверждать, что

2 L(X) è I( ) = lim I(fn) = lim I(gn):

n!1 n!1

35

Но очевидно, что

I(gn) I( n) I(fn):

Теорема доказана. Рассмотрим пример. Пусть

Òàê êàê jfn(x)j 1; а множество точек fxm j xm = 1m ; m = 1; : : :g есть множество меры ноль, то мы можем утверждать что an ! 0 ; n ! 1.

Иногда полезно следующее уточнение теоремы 1.1.2.

Для доказательства этого утверждения достаточно заметить, что

ï.â. j n(x) (x)j ! 0 ; n ! 1 ; 8n : j n(x) (x)j 2 0(x);

и применить доказанную теорему.

Доказання теорема показывает существенное отличие интеграла Лебега от интеграла Римана: интеграл Лебега при очень общих предположениях "выдерживает"поточечный предельный переход под знаком интеграла.

Фиксируем внимание читателя на следующем обстоятельстве: теорема Лебега 1.1.2 доказана нами для интеграла, понимаемого в смысле определения 1.1.8. Если же интеграл понимается как несобственный в смысле определения 1.1.11, то необходимо еще рассмотреть возможность перестановки операций предельного перехода в 1.63

Следующие три леммы являются вариациями на тему теоремы Лебега и часто исползуются в приложениях.

Лемма 1.1.13. Если последовательность интегрируемых функций f n(x)g почти всюду сходится к функции (x):

ï.â. lim n(x) = (x);

n!1

36

и модуль функции (x) ограничен сверху интегрируемой функцией:

ï.â. j (x)j 0(x) ; 0(x) 2 L(X);

то функция (x) интегрируема:

(x) 2 L(X)

и справедливо неравенство

jI( )j I( 0):

Доказательство. Определим функцию

n(x) = max(min( n(x) ; 0(x)) ; 0(x)):

ßñíî, ÷òî

ï.â. : j n(x)j 0(x) ; lim n(x) = (x):

n!1

Поэтому в силу теоремы Лебега

(x) 2 L(X) è lim I( n) = I( ):

n!1

Íî

jI( n)j I( 0);

поэтому

jI( )j I( 0): (1.80)

Утверждение доказано.

Лемма 1.1.14. Если последовательность интегрируемых функций f n(x)g удовлетворяет условиям:

ï.â. n(x) 0 ; lim n(x) = (x) ; I( n) C; (1.81)

n!1

где C не зависит от n, то определенная в равенстве (1.81) функция(x) интегрируема и выполнено неравенство:

I( ) C:

Доказательство. Рассмотрим последовательность

n(x) = inff k(x) j k n < 1g:

Эта последовательность удовлетворяет условиям: п.в. : n(x) % (x) ; I( n) C:

Поэтому в силу следствия из теоремы Беппо Леви

(x) 2 L(X) ; I( ) C:

Лемма доказана.

37

Лемма 1.1.15. Если последовательность интегрируемых функций f n(x)g удовлетворяет условиям:

ï.â. lim n(x) = (x) ; 8n : I(j nj) C; (1.82)

n!1

то определенная в равенстве (1.82) функция (x) интегрируема и вы-

полнено неравенство:

jI( )j C:

Доказательство. Очевидно, что

ï.â. lim j n(x)j = j (x)j:

n!1

Поэтому в силу леммы 1.1.14 j (x)j 2 L(X). Теперь достаточно восполь-

зоваться леммой 1.1.13.

Теперь мы готовы к доказательству одного из основных для нас фактов теории интеграла Лебега: теоремы Рисса-Фишера о полноте про-

странства L(X).

Теорема 1.1.3. Если последовательность интегрируемых функций fn(x) удовлетворяет условию:

òî

1. В пространстве L(X) существует такая функция f(x), что

2. Существует такая подпоследовательность ffn(j)(x)g последовательности ffn(x)g, ÷òî

ï.â. fn(j)(x) ! f(x) ; j ! 1:

Доказательство. Напомним, что про последовательность, которая удовлетворяет условию (1.83), говорят, что она удовлетворяет условию Коши

в метрике L(X) èëè фудаментальна в метрике L(X).

Из условия (1.83) следует, что существует такая подпоследовательность fn(j)(x) последовательности fn(x), которая удовлетворяет условию:

8(m > n(j)) : I(jfn(j) fmj) < 2 j:

Для такой подпоследовательности сходится ряд

X

I(jfn(j+1) fn(j)j) < 1;

1 j<1

38