FA Арсеньев Функ.Ан

Следовательно,

D D

В рассмотренном примере мы получили оценку сверху для нормы оператора. Точное вычисление нормы оператора может быть трудной задачей.

3.3Основные принципы.

Основными принципами функционального анализа традиционно называются несколько наиболее часто цитируемых теорем, которые, как правило, составляют трудную часть доказательств. Интересно, что эти теоремы (за исключением теоремы Хана-Банаха) являются следствием теоремы Бэра о категориях.

3.3.1Принцип равномерной ограниченности и теорема Банаха-Штейнгауза.

Пусть

F : B1 7!B2 ; 2 I

-семейство не обязательно линейных отображений банахова простран- ñòâà B1 в банахово пространство B2. Следующее утверждение обычно называется принципом равномерной ограниченности.

Теорема 3.3.1. Предположим, что выполнены следующие условия.

1.Каждое отображение F непрерывно.

2.Выполнены неравенства:

3. При каждом x 2 B1 семейство отображений F ограничено равно- мерно по :

!

159

Доказательство. В силу непрервности отображения F при каждом2 I ; n 1 множество

fx j kF (x)k ng

замкнуто. Поэтому при каждом n 1 множество

\

Xn = fx j kF (x)k ng

2I

замкнуто как пересечение замкнутых множеств. Из (3.17) следует, что

[

B1 = Xn;

n

поэтому в силу теоремы Бэра о категориях (см. стр. 114) существует такой открытый шар b(x0 ; ) и такое n, ÷òî

Включение (3.19) означает, что

8(kyk < ) : supfkF (x0 + y)k j 2 Ig n:

Следовательно, в силу неравенства (3.15) справедлива оценка:

8(kyk < ) : supfkF (y)k j 2 Ig

supfkF (x0 + y)k j 2 Ig + supfkF ( x0)k j 2 Ig n + C(x0):

Но тогда из (3.16) следует, что

supfkF (x)k j kxk < ; 2 Ig (n + C(x0))= :

Теорема доказана.

Следующие две теоремы есть простое следствие принципа равномерной ограниченности и вместе эти теоремы называются теоремой БанахаШтейнгауза.

Пусть T -семейство линейных непрерывных отображений банахова пространства B1 в банахово пространство B2. Åñëè

8(x 2 B1) : supfkT (x)k j 2 Igg = C(x) < 1;

òî

supfkT k j 2 Ig < 1:

160

Доказательство. Применим теорему 3.3.1 к семейству отображений F = T . Получим, что

9( > 0) ; 8(kxk < ) : supfkF (x)k j kxk < ; 2 Ig < 1:

Но тогда

supfkT k j 2 Ig = supfkT (x)k j kxk < 1 ; 2 Ig < 1= :

Теорема доказана.

Теорема 3.3.3. Пусть Tn -последовательность линейных непрерывных отображений банахова пространства B1 в банахово пространство B2 и для каждого x 2 B1 существует предел

8(x 2 B1) ; 9 T0(x) : lim Tn(x) = T0(x): (3.20)

n!1

Тогда определенный формулой (3.20) оператор T0 непрерывен.

Доказательство. Из (3.20) следует, что

8(x 2 B1) : supfkTn(x)k j 1 n < 1g < 1:

Но тогда в силу теоремы 3.3.2

supfkTnk j 1 n < 1g < 1;

è

8(x 2 B1) : kT0(x)k supfkTnk j 1 n < 1gkxk:

Следовательно, оператор T0 ограничен и поэтому непрерывен.

Теорема доказана.

Следующая теорема есть простое следствие неравенства треугольника, но она тоже иногда называется теоремой Банаха-Штейнгауза.

Пусть Tn -последовательность линейных непрерывных отображений банахова пространства B1 в банахово пространство B2 удовлетворяет условию

пусть D -плотное в B1 множество:

Cl(D) = B1;

161

и для каждого x 2 D существует предел:

8(x 2 D) ; 9T0(x) : T0(x) = lim Tn(x):

n!1

Тогда предел limn!1 Tn(x) существует для всех x 2 B1 и определенный формулой

оператор непрерывен.

Доказательство. Для каждого x 2 B1 è > 0 найдем такое y(x ; ) 2 D, ÷òî

kx y(x ; )k < =4C;

ãäå C -константа из (3.21). Тогда

kTn(x) Tm(x)k k(Tn Tm)y(x ; )k + k(Tn Tm)(x y(x ; ))k=2 + k(Tn Tm)y(x ; )k:

Пусть n ; m выбраны настолько большими, что

k(Tn Tm)y(x ; )k < =2:

Тогда из предыдущего неравенства следует, что для таких n ; m будет выполнено неравенство

kTn(x) Tm(x)k :

Следовательно, последовательность Tn(x) сходится для всех x 2 B1. ßñíî, ÷òî

kT0(x)k supfkTnk j 1 n < 1gkxk Ckxk:

Следовательно, оператор T0 ограничен и поэтому непрерывен.

Теорема доказана. Рассмотрим

Пример 3.3.1. Пусть B -банахово пространство всех периодичных и непрерывных на отрезке [0 ; 2 ] функций: f 2 B, åñëè f непрерывна и

f(0) = f(2 ):

Определим в пространстве B норму:

kf j Bk = supfjf(x)j j x 2 [0 ; 2 ]g:

162

Определим в пространстве B операторы Tn 2 L(B 7!C1), положив

ãäå ak ; bk -коэффициенты Фурье функции f по тригонометрической системе функций:

Tn. С этой целью вспомним интегральное представление частной суммы ряда Фурье через ядро Дирихле:

Пусть

0 m 2n + 1 ; tm ; n = m=(n + 1=2) ; m = 0; : : : ;

(

fn ; (t) = sign sin((n + 1=2)(t)) ; åñëè jt tm ; nj > ; jt tm ; nj <

и непрерывна. Ясно, что

kfn ; k = 1;

kTn j L(B 7!C1)k supfjTnfn ; j jj > 0g =

1Z 2 sin((n + 1=2)t)

dt

2 0 sin(t=2)

1 k (n 1)

В выписанных выше неравенствах

символ const: обозначает положительную константу, которая не зависит от n и точное значение которой для нас не важно. Следовательно, нормы

163

операторов Tn не ограничены в совокупности. Из теоремы 3.3.2 следует, что это может быть только в том случае, если существует такая функция f0 2 B, ÷òî jTn(f0)(0)j ! 1 ; n ! 1. Следовательно, существует такая непрерывная периодическая функция, ряд Фурье которой расходится в точке x = 0 (сдвигом аргумента существование такой функции

доказывается для любой точки).

Доказанный нами результат -это теорема существования, и теорема Банаха-Штенгауза часто используется для этих целей.

3.3.2Теорема об открытом отображении и ее следствия.

Определение 3.3.1. Линейное отображение T банахова пространства B1 в банахово пространство B2 называется открытым, если образ любого открытого в B1 множества открыт в B2.

Заметим, что отображение может быть линейным и непрерывным, но не быть открытым. Примером линейного, непрерывного, но не открытого отображения является отображение, которое все пространство

B1 переводит в ноль пространства B2.

Определение 3.3.2. Образом (или областью значений) отображения

T : B1 7!B2

называется множество

Иногда область значений отображения T обозначается символом

.

Следующее утверждение называется теоремой об открытом отображении или принципом открытости отображения.

Теорема 3.3.5. Если отображение

T 2 L(B1 7!B2)

линейно, непрерывно и образ пространства B1 при отображении T есть

то отображение T открыто.

164

Доказательству теоремы 3.3.5 мы предпошлем несколько лемм. В дальнейшем шар в пространстве Bi

bi( ; ) Bi:

Если выполнены условия теоремы 3.3.5, то замыкание образа любого шара с центром в нуле содержит открытый шар с центром в нуле:

n

Из (3.27) и теоремы Бэра о категориях (см. стр. 114)следует, что

Теперь заметим, что из включения

y 2 Cl(T (b1(0 ; n)))

следует включение

y 2 Cl(T (b1(0 ; n)));

а из включений

y1 2 Cl(T (b1(0 ; n))) ; y2 2 Cl(T (b1(0 ; n)))

следует включение

8(0 1) : y1 + (1 )y2 2 Cl(T (b1(0 ; n)))

Поэтому из (3.28) следует, что

M = fy j y = (2 1)z ; z 2 b2(y0 ; r) ; 0 1g Cl(T (b1(0 ; n)))

(3.29) Òàê êàê øàð b2(y0 ; r) открыт, множество M открыто и содержит точку 0, поэтому

9( > 0) : b2(0 ; ) M Cl(T (b1(0 ; n))):

Следовательно,

8( > 0) : b2(0 ; ) Cl(T (b1(0 ; n))):

165

Положив в этом включении

= =n;

мы получим включение (3.26) с

( ) = 2=n:

Лемма доказана.

Лемма 3.3.2. Если выпонены условия предыдущей леммы, а числа и( ) удовлетворяют условию (3.26), òî

Доказательство. Пусть

1 = ; n = 2 (n 1) (n 1):

Мы будем считать, что выбранная в соответствии с (3.26) последовательность ( n) удовлетворяет условию:

1( (n+1)) < 2 ( n):

Фиксируем произвольно

y 2 b2(0 ; ( 1)):

Нам нужно доказать, что

9(x 2 b1(0 ; 3 )) : y = T (x):

Из леммы 3.3.1 следует, что

и поэтому существует такое x1 2 b1(0 ; 1), ÷òî

1

ky T (x1)k < 2 ( 2):

Следовательно,

(y T (x1)) 2 b2(0 ; ( 2));

166

и существует такое x2 2 b1(0 ; 2) ÷òî

1

ky T (x1) T (x2)k < 2 ( 3):

Рассуждая по индукции, мы получим такую последовательность fxng, ÷òî

1

kxnk < n ; ky T (x1 + x2 + : : : + xn)k < 2 ( (n+1)) ! 0 ; n ! 1: (3.31)

Лемма доказана.

Переходим к доказательству теоремы.

Пусть A -открытое в пространстве B1 множество, x0 2 A è y0 = T (x0):

Òàê êàê A -открыто, то существует такой шар b1(0 ; ) B1, ÷òî x0 + b1(0 ; ) = b1(x0 ; ) A:

В силу леммы 3.3.2 существует такой шар b2(0 ; ( )) B2; ÷òî b2(0 ; ( )) T (b(0 ; )). Поэтому

y0 + b2(0 ; ( )) = b2(y0 ; ( )) T (x0 + b1(0 ; )) T (A):

Следовательно, множество T (A) вместе с каждой своей точкой содержит некоторый открытый шар с центром в этой точке и поэтому множество T (A) открыто. Теорема доказана.

Выведем некоторые следствия из доказанной теоремы. Пусть

-линейное (не обязательно непрерывное) отображение и Im(T ) = B2:

Определение 3.3.3. Отображение

T 1 : B2 7!B1

называется обратным к отображению T , åñëè

8(x 2 B1) : T 1(T (x)) = x ; 8(y 2 B2) : T (T 1(y)) = y:

167

Замечание. Сейчас мы рассматриваем только такие отображения, область определения которых совпадает со всем пространством. Позже мы будем рассматривать отображения, область определения которых является лишь линейным подмногообразием в банаховом пространстве, и для таких отображений будет дано свое определение обратного отображения.

Для существования обратного отображения необходимо и достаточ- но, во-первых, чтобы образ пространства B1 при отображении T совпа- дал бы со всем пространством B2, и, во-вторых, чтобы каждый элемент пространства B2 имел бы только один прообраз при отображении T :

(T (x1) = T (x2)) ) (x1 = x2):

В силу линейности отображения T последнее условие можно сформулировать в виде:

(T (x1 x2) = 0) ) (x1 x2 = 0):

Определение 3.3.4. Ядром линейного отображения T назавается мно-

Итак, необходимое и достаточное условие существования обратного к линейному (не обязательно непрерывному) отображению (3.32) состоит в следующем:

Отображения, удовлетворяющие первому из условий (3.34), называются сюръективными отображениями. Отображения, удовлетворяющие второму условию (3.34), называются инъективными отображениями.

Следующая теорема называется теоремой Банаха об обратном отображении.

Теорема 3.3.6. Если линейное отображение T удовлетворяет условиям (3.34) и непрерывно, то обратное отображение непрерывно.

Доказательство. Пусть A -открытое множество в пространстве B1. Тогда в силу теоремы об открытом отображении множество

(T 1) 1(A) = T (A)

открыто, поэтому при отображении T 1 (которое существует в силу (3.34)) прообраз любого открытого множества открыт, т. е. отображение T 1

непрерывно (см. стр. 117). Теорема доказана.

Еще одно следствие теоремы об открытом отображении -теорема о замкнутом графике.

168