FA Арсеньев Функ.Ан

Определение 2.2.4. Подмножество A M метрического пространства (M ; d) открыто, если либо A = ;, либо для любой точки x0 2 A множества A существует шар b(x0 ; ) с центром в этой точке, который содержится в A.

Лемма 2.2.1. Пересечение любых двух открытых в смысле определения (2.2.4) множеств открыто.

Доказательство. Пусть A1 ; A2 открытые в смысле определения (2.2.4)

Определение 2.2.5. Топология T = f; ; M ; Og, ãäå O -система открытых в смысле определения (2.2.4) подмножеств метрического пространства M, называется естественной топологией метрического пространства.

Рассмотрим примеры других топологических пространств.

Пример 2.2.1. Рассмотрим полуинтервал [0 ; 1) и на нем систему подмножеств, которая состоит из всех полуинтервалов [0 ; a) ; a 1:

Легко проверить, что эта система подмножеств удовлетворяет аксиомам топологии.

Пример 2.2.2. Рассмотим отрезок [0 ; 1] и рассмотрим на нем систему подмножеств O, которая состоит из всех дополнений к конечным множествам: A 2 O, åñëè A = [0 ; 1] n fxj ; 1 j n < 1g ; n = 1 ; : : :. Система множеств T = f; ; [0 ; 1] ; Og определяет топологию на отрезке

[0 ; 1].

Определение 2.2.6. Система открытых подмножеств B T топологи- ческого пространства (X ; T ) называется базой топологии T , если любое открытое подмножество пространства X есть объединение множеств из системы B.

109

Пример 2.2.3. Базой естественной топологии метрического пространства является система шаров B = fb(x ; ) j x 2 X ; > 0g.

Одна и таже топология может быть задана с помощью разных баз. Например, естественная топология метрического пространства может быть задана с помощью системы шаров с рациональными радиусами.

Лемма 2.2.2. Если система множеств B есть база топологии на топологическом пространстве (X ; T ), то

T

Доказательство. Первое утверждение следует из того, что все пространство X есть объединение множеств из системы B. Второе утвер-

T

ждение следует из того, что множество B1 B2 открыто и поэтому есть объединение множеств из системы B.

Лемма 2.2.3. Пусть B -система подмножеств пространства X, которая удовлетворяет условиям b1 и b2 леммы 2.2.2. Пусть O -система подмножеств пространства X, которая состоит из всех объединений множеств системы B. Тогда система множеств f; ; X ; Og определяет топологию на пространстве X, для которой система множеств B является базой.

110

Пусть B -система подмножеств множества X, которая состоит из всех пересечений конечного числа множеств из системы B0:

\

B 2 B: B = Bj ; Bj 2 B0 ; n = 1; : : :

1 j n

Легко видеть, что так построенная система множеств B удовлетворяет условиям b1 è b2 и поэтому является базой топологии на множестве X.

Система B0 называется предбазой топологии с базой B.

Приведем пример задания топологии с помощью базы топологии.

Пример 2.2.4. Пусть X -окружность радиуса 1 è B -множество дуг l с угловыми координатами

Множество B образует базу топологии. Пространство X â ýòîé òîïî-

логии есть свернутая в окружность прямая Зоргенфрея (другое название этого топологического пространства -свернутое в окружность пространство стрелок).

Приведем пример задания топологии с помощью предбазы.

Пример 2.2.5. Пусть X = R1, è B0 -система полубесконечных интерва- ëîâ âèäà ( 1 ; a) ; (b ; 1) ; a ; b 2 R1. Эта система образует предбазу

естественной топологии на R1:

Множество тех элементов базы топологии, которые содержат данную точку x, называется базой топологии в точке x или локальной базой топологии.

Ясно, что для задания топологии достаточно в каждой точке пространства задать локальную базу топологии.

Определение 2.2.8. Система окрестностей точки x называется фундаментальной системой окрестностей в точке x, если любой элемент базы топологии в точке x содержит окрестность из этой системы.

Опишем задание топологии в произведении пространств.

Сначала напомним определение декартова произведения пространств. Пусть I -произвольное множество. Предположим, что каждому 2 I

поставлено в соответствие множество X . Рассмотрим множество всех функций, которые каждому 2 I ставят в соответствие элемент множе-

ñòâà X :

I 3 7!x 2 X :

111

Это множество функций называется декартовым произведением про-

значений этой функции (x1 ; x2 : : : xd) есть точка пространства R Теперь предположим, что каждое множество X есть топологическое

пространство с топологией T . В декартовом произведении пространств

Q

X рассмотрим систему B подмножеств вида

2I

2I

где O = X для всех , за исключением конечного числа индексов 2 I. Эта система подмножеств задает базу топологии в декартовом произве-

дении Q

X , и порожденная этой базой топология называется тихонов-

2I

ской топологией произведения пространств. Обычно по умолчанию счи- тается, что декартово произведение топологических пространств снабжено тихоновской топологией.

2.2.2Замкнутые множества.

Определение 2.2.9. Множество A X в топологическом пространстве (X ; T ) называется замкнутым, если его дополнение открыто:

(A замкнуто) () (C(A) 2 T ):

Приведем примеры замкнутых множеств. Все пространство X и пустое множество ; замкнуты в любом топологическом пространстве. Отрезок [a ; b] есть замкнутое множество в естественной топологии про- странства R1. В примере 2.2.4 каждое множество вида (2.29) есть одно-

временно и открытое и замкнутое множество.

Из определения топологии и формул де Моргана следует

Утверждение 2.2.1. Любое пересечение замкнутых множеств замкнуто и объединение конечного числа замкнутых множеств замкнуто.

112

Определение 2.2.10. Замыканием Cl(A) множества A называется пересечение всех замкнутых множеств, которые содержат множество A:

A B

Замыкание множества всегда существует ( все пространство есть замкнутое множество и содержит любое множество, поэтому пересечение всех замкнутых множеств,содержащих данное множество, всегда определено) и замыкание множества есть наименьшее замкнутое множество,

которое содержит множество A.

Замечание. По-английски замкнутое множество -это closed set, и за-

мыкание множества часто обозначают символом A (как сказали авто-

ру студенты, черта сверху символизирует крышку, которой множество closed). Однако это обозначение не совсем удобно, если на данном множестве рассматривается несколько топологий и нужно пояснить, в какой топологии берется замыкание.

Определение 2.2.11. В топологическом пространстве точка x0 называ- ется точкой прикосновения множества A, если любая открытая окрестность точки x0 имеет непустое пересечение с множеством A.

Любая точка множества A есть точка его прикосновения. Точки 0 ; 1 есть точки прикосновения для интервала (0 ; 1) в естественной топологии прямой R1.

Теорема 2.2.1. Множество всех точек прикосновения множества совпадает с его замыканием.

Доказательство. Обозначим множество точек прикосновения множества A символом [A]. Докажем, что [A] -замкнутое множество. Пусть

x0 2 C([A]). Тогда существует такая открытая окрестность

крытая окрестность точки y0, окрестность V (x0) должна иметь непустое пересечение с множеством A, а это противоречит ее выбору. Следовательно, точек пересечения окрестности V (x0) и множества [A] не существует и окрестность V (x0) принадлежит дополнению множества [A]. Отсюда следует, что дополнение множества [A] открыто, а само множество [A] замкнуто. Так как Cl(A) -наименьшее замкнутое множество, которое содержит множество A, мы должны иметь включение:

113

Докажем, что выполнено включение

Пусть x0 2 C(Cl(A)). Òàê êàê C(Cl(A)) открыто, то существует такая открытая окрестность V (x0) точки x0, ÷òî V (x0) C(Cl(A)). Эта окрест-

Следствие 2.2.2. В метрическом пространстве точка x0 â òîì è только том случае принадлежит замыканию множества A, если в множестве A существует последовательность, которая сходится к точке x0.

Для доказательства этого утверждения достаточно заметить, что в силу только что доказанной теоремы в метрическом пространстве точка

x0 в том и только том случае принадлежит замыканию множества A,

если любой шар с центром в точке x0 пересекается с множеством A.

Из определения 2.1.4 следует, что расстояние между точкой и множеством равно нулю в том и только том случае, если существует принадлежащая множеству последовательность, которая сходится к этой точке.

Поэтому из 2.2.2 вытекает

Следствие 2.2.3. Если A -замкнутое подмножество метрического пространства, то x 2 A в том и только том случае, если dist(x ; A) = 0.

Заметим, что расстояние между двумя замкнутыми непересекающимися множествами может быть равно нулю. Приведем пример. В плос- кости R2 с обычной топологией рассмотрим множества

A = f(x1 ; x2) j x1x2 = 0g ; B = f(x1 ; x2) j x1x2 = 1g:

Множество A -это координатные оси, множество

Множества A è B замкнуты и не пересекаются, но dist(A ; B) = 0:

Важное свойство замкнутых множеств в полном метрическом пространстве описывается в теореме, которая по историческим причинам носит название теоремы Бэра о категориях. Термин категория в этом названии не имеет ничего общего со своим современым значением.

Теорема 2.2.2. Если полное метрическое пространство M есть счетное объединение своих замкнутых подмножеств:

[

M = An ; 8n: Cl(An) = An;

n

114

то одно из этих подмножеств содержит открытый шар:

9(An ; > 0 ; b(x0 ; ))) : b(x0 ; ) An:

Доказательство. Если M = A1, то все доказано: множество A1 содер- жит все шары пространства M. Åñëè C(A1) 6= ;, то множество C(A1) открыто и содержит по крайней мере одну точку

множество C(A1) содержит открытый шар:

9 b(x1 ; 1) C(A1):

\

9b(x2 ; 2) : b(x2 ; 2) C(A2) b(x1 ; 1=4)

Мы можем выбрать радиус этого шара так, что

2 < 1=4 :

Очевидно, что

\[

b(x2 ; 2) A1 A2 = ;:

Òàê ìû ëèáî íà n-ом шаге построения получим шар, который целиком

содержится в множестве An, либо построим бесконечную последовательность шаров fb(xn ; n)g, которые удовлетворяют условиям:

1 j n

Очевидно, что

d(xn ; xn+m) d(xn ; xn+1) + : : : d(xn+m 1 ; xn+m)

1 1 1 1 1

4 n(1 + 4 + 4 4 + : : :) < 3 n :

115

Òàê êàê n ! 0 ; n ! 1; то отсюда следует, что последовательность fxng сходится, причем ее предел x0 лежит в шаре b(xn ; n):

1

8n: d(xn ; x0) 3 n:

В силу соотношения (2.34) отсюда следует, что

чего быть не может, так как x0 2 M. Теорема доказана.

В заключении заметим, что в топологическом пространстве множество может быть открытым, замкнутым, открытым и замкнутым одновременно и ни открытым, ни замкнутым.

2.2.3Непрерывные отображения.

Определение 2.2.12. Отображение

стью значений Y ) топологического пространства X в топологическое

пространство Y называется непрерывным в точке x0 2 X, если прообраз f 1(V (y0)) X любой окрестности V (y0) Y точки y0 = f(x0) åñòü

окрестность точки x0. Очевидна

Лемма 2.2.4. Отображение (2.35) непрерывно в точке x0 2 X, если для любого множества V (y0) 2 B(y0), ãäå B(y0) TY -локальная áàçà топологии в точке y0 = f(x0), существует такая окрестность U(x0) 2 B(x0) TX из локальной базы топологии в точке x0, ÷òî f(U(x0))

V (y0).

Отсюда следует

Лемма 2.2.5. Отображение

f : M1 7!M2

метрического пространства (M1 ; d1) в метрическое пространство (M2 ; d2) непрерывно в точке x0, åñëè

116

Как и в курсе математического анализа, легко доказывается, что условие (2.36) эквивалентно условию:

8fxng: (xn ! x0) ) (f(xn) ! f(x0)):

Определение 2.2.13. Отображение (2.35) топологического пространства X в топологическое пространство Y непрерывно, если оно непре-

рывно в каждой точке прстранства X.

Примеры непрерывных отображений хорошо известны: любая функция, которая непрерывна на отрезке [0 ; 1] в смысле того определения, которое давалось в курсе математического анализа, есть непрерывное отображение отрезка [0 ; 1], рассматриваемого как метрическое пространство с метрикой d(x ; y) = jx yj, в действительную прямую R1, рассматри-

ваемую как метрическое пространство с той же метрикой.

Заметим, что непрерывно отображение или нет, это свойство зависит и от топологии в области определения функции, и от топологии в области значений функции. Любое отображение дискретного пространства в любое пространство непрерывно. На антидискретном пространстве непрерывны только постоянные отображения, а отображение любого пространства в антидискретное непрерывно. На определенном в примере 2.2.4 пространстве (свернутом в окружность пространстве стрелок) рассмотрим функцию

(

f( ) = 0 ; 0 <

1 ; < 2 :

Легко видеть, что эта функция непрерывна, если ее рассматривать как отображение свернутого в окружность пространства стрелок в действительную прямую с естественной топологией.

Теорема 2.2.3. Пусть

f : X 7!Y

-отображение топологического пространства (X ; TX ) в топологиче- ское пространство (Y ; TY ). Следующие условия эквивалентны:

1.f непрерывно на X.

2.Образ замыкания любого множества содержится в замыкании образа:

3. Прообраз любого замкнутого множества замкнут:

117