FA Арсеньев Функ.Ан

ственности шредингеровского представления CCR в форме Вейля. Автор стремился сделать отдельные главы учебника максимально

независимыми. Все утверждения приведены с подробными доказательствами. Это должно облегчить использование учебника в качестве пособия для самообразования и справочника для начинающего исследователя по отдельным вопросам функционального анализа. В основной текст с полными доказательствами включены некоторые темы, которые

âучебниках по функциональному анализу для математиков часто выносятся в задачи для самостоятельной работы. Изложение иллюстрировано достаточным числом решенных в тексте учебника задач и примеров, которые поясняют излагаемый материал, но не могут рассматриваться как пособие для развития навыков в решении задач по функциональному анализу. Автор считает, что начинающему студенту-физику навыки

âрешении задач по функциональному анализу лучше приобретать под руководством преподавателя, так как преподаватель может указать на ошибку в рассуждениях и показать известные в математическом фольклоре приемы решения задач. Попытки самостоятельно преодолеть все трудности в решении задач часто приводят к неоправдано большим затратам времени.

Список литературы для дополнительного чтения рассчитан на чи- тателя студенческой библиотеки. Аннотированные ссылки на новейшие учебники и пособия по функциональному анализу читатель может найти

âMathematical Review и в Интернете.

Ранее (2009 г.) учебник вышел в Научно-Издательском Центре Регулярная и хаотическая динамика. В приводимом ниже тексте исправлены замеченные опечатки, расширен список литературы и сделаны некоторые дополнения в доказательства.

Арсеньев.

{a_arsenev@mail.ru }

ix

Глава 1

Элементарные сведения о интеграле и мере.

1.1Интеграл Лебега.

1.1.1Основные структуры, используемые при построении интеграла по схеме Даниэля.

Хорошо известно, что кусочно-непрерывная на отрезке [a ; b] R1 ôóíê-

ция интегрируема по Риману. Одноко уже в простейших случаях предел кусочно-неперывных функций может быть не интегрируемым по Риману.

Рассмотрим пример. Пусть x1 ; x2 : : : -все рациональные точки отрезка

1 i n

Функция fn(x) равна нулю во всех точках отрезка [0 ; 1], за исключением точек xi ; 1 i n, в которых она равна единице. Ясно, что fn+1(x) fn(x) è

Каждая из функций fn(x) кусочно непрерывна на отрезке [0 ; 1] и поэтому интегрируема по Риману на отрезке [0 ; 1], а е интеграл равен нулю. Предел функций fn(x) существует в каждой точке отрезка [0 ; 1]. Ýòîò

1

предел называется функцией Дирихле. Функция Дирихле не интегрируема по Риману, так как для любого разбиения отрезка [0 ; 1] верхняя

интегральная сумма функции Дирихле равна единице, а нижняя интегральная сумма равна нулю. Мы видим, что уже простейшие операции предельного перехода приводят к функциям, которые не интегрируемы по Риману.

Наша цель состоит в том, чтобы расширить понятие интеграла Римана так, чтобы интегрируемыми оказались все функции, которые в некотором естественном смысле можно считать пределами интегрируемых по Риману функций и на этот класс функций распространить понятие интеграла так, чтобы оно сохраняло основные свойства интеграла Римана.

Мы используем конструкцию, которая называется построением интеграла по схеме Даниэля. Общая схема наших рассуждений состоит в том, чтобы интеграл от предела функций рассматривать как предел интегралов от этих функций. В рассмотренном примере каждая из функ-

öèé fn(x) интегрируема по Риману и ее интеграл равен нулю, Поэтому и

предельной функции - функции Дирихле -естественно приписать значе- ние интеграла, равное нулю. Нам нужно разработать общие правила для такой процедуры. Заметим, что в определение интеграла Римана входят три понятия: область, на которой определены интегрируемые функции, интегрируемые функции и интеграл. Множество интегрируемых по Риману функций является линейным пространством относительно операций поточечного сложения и умножения на действительные числа и об-

ладает следующим свойством: если функция f(x) интегрируема по Риману, то и функция jf(x)j интегрируема по Риману. Интеграл Римана

можно рассматривать как линейный функционал (напомним, что функционалом обычно называется отображение, область определения которого есть множество функций, а область значений -область действительных или комплексных чисел) , заданный на множестве интегрируемых функций, причем этот функционал неотрицателен в следующем смысле: если интегрируемая функция принимает только неотрицательные значения, то и е интеграл неотрицателен. Эти свойства интегрируемых по Риману функций и интеграла Римана кладутся в основу предлагаемого в схеме Даниэля обобщения понятия интеграла.

В дальнешем мы будем предполагать, что X -произвольное множе-

ñòâî, L0(X) некоторое множество функций на X со значениями в области действительных чисел:

L0(X) 3 f : X 3 x 7!f(x) 2 R1;

2

I0 -заданный на L0(X) функционал:

I0 : L0(X) 3 f 7!I0(f) 2 R1:

Пространство L0(X) мы будем называть пространством элементарных функций. Функционал I0 мы будем называть элементарным интегра-

ëîì.

При построении интеграла по схеме Даниэля на область задания интегрируемых функций (множество X ) не налагается каких-либо ограничений.

Мы будем предполагать, что пространство удовлетворяет следующим требованиям.

Условие 1.1.1. Пространство L0(X) состоит из ограниченных функций:

8(f 2 L0(X)) : supfjf(x)j j x 2 Xg < 1:

Условие 1.1.2. Пространство функций L0(X) есть линейное пространство относительно операций поточечного сложения функций и умножения функций на действительные числа.

Это означает, что для любых двух функций

f(x) 2 L0(X) ; g(x) 2 L0(X)

и любых действительных чисел ; 2 R1 функция h(x) = f(x) + g(x)

принадлежит пространству L0(X).

Если функция f(x) 2 L0(X), òî jf(x)j 2 L0(X):

max(f(x) ; g(x)) = 12(f(x) + g(x) + jf(x) g(x)j); min(f(x) ; g(x)) = max( f(x) ; g(x));

то при выполнении условия 1.1.2 условие 1.1.3 эквивалентно условию

Условие 1.1.4. Åñëè f(x) ; g(x) 2 L0(X) òî

max(f(x) ; g(x)) 2 L0(X) ; min(f(x) ; g(x)) 2 L0(X):

3

Мы будем предполагать, что элементарный интеграл I0 удовлетворя- ет следующим требованиям.

Условие 1.1.5. Элементарный интеграл I0 есть линейный функцио- нал, заданный на L0(X):

I0 : L0(X) 7!R1 ; I0( f + g) = I0(f) + I0(g):

Условие 1.1.6. Элементарный интеграл I0 неотрицателен:

(8x : f(x) 0) ) (I0(f) 0):

Условие 1.1.7. Элементарный интеграл I0 непрерывен в следуюшем смысле:

åñëè 8(x 2 X) : fn+1(x) fn(x) è 8(x 2 X) : lim fn(x) = 0;

n!1

òî

Òàê êàê

jf(x)j f(x) jf(x)j;

то из неотрицательности элементарного интеграла следует неравенство

Если функция f(x) 1 принадлежит пространству элементарных функций, то отсюда следует неравенство

Для построения интегрла по схеме Даниэля нужны только свойства 1.1.1 -1.1.7 пространства элементарных функций и элементарного интегала. Но в важных и интересных для приложений cлучаях (которые рассмотрены, например, в примерах 1.1.1 , 1.1.2 , 1.1.7) пространство элементар-

ных функций L0(X) удовлетворяет следующим дополнительным условиям:

Условие 1.1.8. Функция f(x) 1 принадлежит пространству L0(X):

В этом случае элементарный интеграл обычно нормируют условием

I0(1) = 1: (1.5)

4

Условие 1.1.9. Åñëè f(x) 2 L0(X); òî

8(p 1) : jf(x)jp 2 L0(X):

Если эти условия выполнены, то построенный по схеме Даниэля интеграл обладает дополнительными свойствами, которые часто используются в приложениях.

В дальнейшем мы предполагаем, что условия (1.1.8) è (1.1.9) выпол-

íåíû.

Хотя при построении интеграла по схеме Даниэля на область задания интегрируемых функций формально не налагается каких-либо ограниче- ний, но в действительности дело обстоит не совсем так. Если множество элементарных функций бесконечно, то для суждения о том, принадлежит или нет данная функция пространству элементарных функций и выполнено ли условие (1.1.7), нам нужно как-то описать свойства элементарных функций, а сделать это, ничего не зная об области задания элементарных функций, невозможно. Поэтому в практических применениях на область задания элементарных функций налагаютя дополнительные требования. Часто рассматривается следующая ситуация.

Условие 1.1.10. Прстанство X -это компактное топологическое пространство1, пространство элементарных функций L0(X) - это пространство C(X) всех непрерывных функций на компакте X, а элемен- тарный интеграл I0 это линейный неотрицательный функционал на

C(X).

Заметим, что такой функционал в силу неравенства (1.4) является непрерывным в метрике пространства C(X).

Выполнение условия (1.1.7) тогда следует из теоремы Дини и условия 1.1.8-1.1.7 также выполнены. Условие компактности топологическо-

го пространства X в некоторых случаях может быть заменено условием

компактности носителя каждой функции f 2 L0(X). Рассмотрим примеры.

Утверждение 1.1.1. Пусть X = [a ; b] R1 ; L0(X) = C([a ; b]) -

1В этой главе под терминами компакт, компактное топологическое пространство и компактное множество можно понимать определенное равенством (1.7) подпространство евклидова пространства.

5

В этом случае выполнены условия 1.1.1-1.1.4 для пространства L0(X) и условия 1.1.5-1.1.7 для элементарного интеграла.

Проверим выполнение условия 1.1.7 Из признака равномерной сходимсти Дини следует, что если последовательность непрерывных функций

fn(x) монотонно сходится к нулю в каждой точке отрезка [a ; b], то она сходится к нулю равномерно на отрезке [a ; b], поэтому

Обобщением предыдущего примера служит следующий пример.

Утверждение 1.1.2. Пусть пространство X есть параллелипипед K:

Пусть L0(X) := C(K) -пространство всех непрерывных функций на параллелипипеде K, а элементарный интеграл задан как интеграл Римана:

Z

I0 : C(K) 3 f 7!I0(f) = f(x)dx ; dx = dx1dx2 : : : dxd:

K

В этом случае условия 1.1.1-1.1.4 для пространства L0(X) и условия 1.1.5-1.1.7 для элементарного интеграла выполнены.

Эти примеры являются основными для дальнешего изложения: в дальнешем (если не оговорено другое) можно предполагать, что пространство X, пространство элементарных функций L0(X) и элементарный

интеграл I0 заданы так, как в 1.1.1 или 1.1.2 . Все другие примеры при

первом чтении можно не рассматривать.

Читателю предлагается проверить, что в следующих случаях выполнены условия 1.1.1 -1.1.7.

Пример 1.1.1. Пусть X = [a ; b] R1 ; L0(X) -пространство всех кусочнолинейных функций (кусочно-линейная функция -это такая непрерывная функция, график которой есть ломанная линия) на отрезке [a ; b], à ýëå-

ментарный интеграл задается формулой (1.6). Пример 1.1.2. Пусть

X = K := fxjx = (x1 ; : : : ; xd) 2 Rd ; ai xi bi ; ai < bi g;

L0(X) := C(K) -пространство всех непрерывных функций на параллелипипеде K ; g 2 C(K) ; g(x) 0 ; x 2 K; а элементарный интеграл задан как интеграл Римана:

Z

I0 : C(K) 3 f 7!I0(f) = f(x)g(x)dx ; dx = dx1dx2 : : : dxd:

K

6

Будет ли в этом примере выполнено условие неотрицательности элементарного интеграла, если функция g(x) в некотроых точках будет принимать отрицательные значения?

Пример 1.1.3. Пусть X = [a ; b] R1 ; L0(X) = C([a ; b]) -пространство

всех непрерывных функций на отрезке [a ; b] ; fxjg [a ; b], а элементарный интеграл задается формулой

Проверка условий 1.1.5-1.1.7 предоставляется читателю.

Пример 1.1.4. Пусть X = Z+ -множество неотрицательных целых чи- ñåë, L0(X) = l1 -пространство ограниченных числовых последователь-

ностей:

(fb(j)g 2 l1) () (supfjb(j)j j j 2 Z+g < 1);

fa(j)g-числовая последовательность, которая удовлетворяет условиям (1.9), а элементарный интеграл задан формулой

X

I0(fb(j)g) = a(j)b(j): (1.10)

j

Проверим, что выполнено условие 1.1.7. Пусть fbn(j)g такая последовательность элементов пространства l1, которая удовлетворяет условию:

8j : bn(j) ! 0 ; n ! 1 ; bn+1(j) bn(j):

Справедливо равенство

XX

I0(fbng) = a(j)bn(j) + a(j)bn(j): (1.11)

Теперь ясно, что вторая сумма в (1.11) может быть сделана сколь угодно малой за счет выбора N, а первая сумма может быть сделана малой за

счет выбора n.

7

Пример 1.1.5. Пусть X = Z+ -множество неотрицательных целых чи- ñåë, L0(X) = l2 -пространство числовых последовательностей, которые удовлетворяют условию:

X

(fb(j)g 2 l2) () (( jb(j)j2) < 1): (1.12)

j

Пусть последовательность fa(j)gудовлетворяет условию: fa(j)g 2 l2 ; a(j) > 0. Зададим элементарный интеграл формулой (1.10).

Проверим выполнение условий 1.1.5-1.1.7. Для этого сначала заме- тим, что пространство l2 есть линейное пространство относительно опе-

раций сложения и умножения на действительны числа, если эти операции определены по правилу

fb(j)g + fg(j)g = f b(j) + g(j)g;

òàê êàê

jb(j) + g(j)j2 2(jb(j)j2 + jg(j)j2):

Проверим выполнение условия 1.1.7. Пусть fbn(j)g такая последователь- ность элементов пространсва l2, которая удовлетворяет условию:

8j : bn(j) ! 0 ; n ! 1 ; bn+1(j) bn(j):

Справедливо равенство

В силу этого неравенства за счет выбора параметра N второе слагаемое в (1.13) можно сделать сколь угодно малым сразу для всех n, а первую сумму в (1.13) можно сделать малой за счет выбора n.

Пример 1.1.6. Пусть

X = (a ; b] ; a = 0 < 1 < 2 < : : : < N = b

-фиксированные точки и

8