FA Арсеньев Функ.Ан

С другой стороны,

k n 0k = kxn wnk 1kxn wn (kxn wnk) 0k kxn wnk 1dist(xn ; Ker( id T ))

Это противоречит определению элемента 0 как предела последователь- ности n. Лемма доказана.

Лемма 3.8.5. Если T -компактный оператор, 6= 0 и

Доказательство. Предположим, что выполнено равенство (3.218), а равенство (3.219) не выполнено. Докажем, что это противоречит ком-

пактности оператора T .

Положим

Nk = Ker( id T )k ; k = 1 ; : : : :

Каждое из пространств Nk замкнуто и

В силу сделанных нами предположений

N1 6= 0;

и существуют такие векторы x1 ; x2, ÷òî

x1 6= 0 ; ( id T )x1 = 0 ; ( id T )x2 = x1:

Но тогда

( id T )x2 6= 0 ; ( id T )2x2 = 0;

Следовательно,

x2 62N1 ; x2 2 N2 ; N2 n N1 6= 0:

Мы можем продолжить наше построение и получим, что в (3.220) все включения -строгие:

8k : N(k+1) n Nk 6= 0:

229

В силу теоремы Рисса о почти-перпендикуляре 3.8.2 (см. стр. 226) существует такая последовательность fykg, ÷òî

kykk = 1 ; yk 2 Nk ; dist(yk ; N(k 1)) > 1=2:

Дале мы замечаем, что

T yn T ym = [yn (ym (( id T )ym ( id T )yn)= )]; 8(n > m) : ym (( id T )ym ( id T )yn)= 2 N(n 1);

поэтому

8(n > m) : kT yn T ymk j jdist(yn ; Nn 1) = j j=2:

T yn нельзя извлечь сходящейся подпоследовательности, что противоречит компактности оператора T . Лемма доказана.

Лемма 3.8.6. Если оператор T компактен и

Доказательство. В силу теоремы 3.4.8 (см. стр. 181) из условия (3.221) следует равенство

Cl(Im( id T )?) = B?:

Так как в силу теоремы Шаудера оператор T ? компактен, то из леммы 3.8.4 следует, что

Cl(Im( id T )?) = Im( id T )?) = B?:

Воспользовавшись леммой 3.8.5, мы получаем:

Ker( id T )? = 0:

На основе теоремы 3.4.8 отсюда следует, что

Im( id T ) = Cl(Im( id T )) = B:

Лемма доказана.

Из лемм 3.8.6 и 3.8.5 следует

230

Лемма 3.8.7. Если оператор T компактен и 6= 0, то

Ker( id T ) = 0

в том и только том случае, если

Im( id T ) = B:

Из этого утверждения и теоремы Банаха 3.3.6 (см. стр. 168) следует

Теорема 3.8.4. Если оператор T компактен и 6= 0, то либо

Утверждение теоремы 3.8.4 называется альтернативой Фредгольма. Необходимость условия (3.223) тривиальна: если это условие не выполнено, то однозначно определенного оператора (3.224) не существует. Нетривиальная часть теоремы 3.8.4 состоит в том, что условие (3.223) достаточно для существования оператора (3.224).

Из теоремы 3.8.4 следует, что отличные от нуля точки спектра компкатного оператора есть его собственные значения и только собственные значения есть отличные от нуля особые точки резольвенты компактного оператора.

Изучим эти собственные значения.

Напомним один результат из линейной алгебры.

Лемма 3.8.8. Если T -линейный оператор в линейном пространстве L

è fxj ; 1 j ng -последовательность векторов, которые удовлетворяют уравнениям

то векторы fxjg линейно независимы.

Доказательство. Пусть

X

1 j n

231

Умножая уравнение на оператор T , мы получим равенства:

X

jxj = 0;

1 j n

X

j jxj = 0;

1 j n

X

j nj 1xj = 0:

fxjg имеет нетриви-

jxj = T (xj);

fxjg конечна, либо

j ! 0 ; j ! 1:

Доказательство. Предположим, что последовательность fxjg бесконечна и

8j : j 6= 0:

(Если нужно, мы можем перейти к подпоследовательности.) Пусть

Ln = spanfx1; : : : xng:

Тогда

Ln Ln+1 ; Ln+1 n Ln 6= ;:

1 j n

232

Заметим, что обязательно выполнено неравество

nn 6= 0;

òàê êàê

yn 62L(n 1):

Положим

wj = yj= j:

Пусть n > m. Рассмотрим разность

T (wn) T (wm) =

nnxn + zn = yn + vn ; vn 2 L(n 1) ; zn 2 L(n 1):

Из этого равенства следует, что

Åñëè

8j : j jj const: > 0;

òî

8n : kwnk < const: < 1;

а это противоречит тому, что оператор T компактен, так как в силу

(3.227) из последовательности T wn нельзя извлечь сходящуюся подпо-

следовательность. Лемма доказана.

Из лемм 3.8.9 и 3.8.8 вытекает

Лемма 3.8.10. Если T -компактный оператор и

òî 0 -изолированная особая точка резольвенты R( ; T ) и

dim(Ker( 0id T )) < 1:

Пусть выполнено условие (3.228). Пусть P ( 0) -спектральный проектор:

233

Åñëè x 2 Ker( 0id T ), òî ( id T )x = ( 0)x, è

R( ; T )x = ( 0) 1x ; P ( 0)x = x;

поэтому

Ker( 0id T ) Im(P ( 0)):

(Вспомним включение (3.169) на стр. 206).

Лемма 3.8.11. Справедливы равенства:

Доказательство. Равенство (3.229) следует из теоремы 3.4.9 (см. стр. 183).

Справедливо равенство

R( ; T ) = 1 (id + T R( ; T ));

откуда следует, что

Следовательно, оператор P ( 0) есть произведение ограниченного опера-

тора и компактного и поэтому компактен. Так как пространство Im(P ( 0)) замкнуто и инвариантно относительно изометричного в пространстве Im(P ( 0)) компактного оператора P ( 0), то единичный шар в простран-

ñòâå Im(P ( 0)) компактен и в силу теоремы Рисса 3.8.3 (см. стр. 227)

пространство Im(P ( 0)) конечномерно. Пусть

Im(P ( 0)) = spanfe1 ; : : : ; eng:

На пространстве Im(P ( 0)) определим линейные функционалы

234

и распространим их (используя теорему Хана-Банаха) на все пространство B.

Справедливо равенство

Следовательно,

1 j n

Следовательно, векторы ff(j) ; 1 j ng составляют базис в пространстве Im(P ?( 0)) и выполнено равенство (3.230).

Теперь заметим, что число dim(Ker( 0id T )) есть дефект матрицы

a(kj) =< f(j) j ( 0[id] T )(ek) >;

а число dim(Ker( 0id T ?)) есть дефект матрицы, транспонированной

к матрице fa(kj)g. Как известно, эти дефекты совпадают. Лемма доказана.

Подытожим полученные нами результаты.

Теорема 3.8.5. Пусть оператор T компактен. Тогда справедливы следующие утверждения.

1.Оператор T ? компактен.

2.Åñëè 0 6= 0 è

Ker( 0id T ) = 0;

òî

Ker( 0id T ?) = 0;

è

( 0 T ) 1 2 L(B 7!B) ; ( 0id T ?) 1 2 L(B? 7!B?)

3. Åñëè 0 6= 0 è

Ker( 0id T ) 6= 0;

òî 0 -полюс резольвент R( ; T ) и R( ; T ?), причем

dim(Im(P ( 0))) = dim(Im(P ?( 0))) < 1; dim(Ker( 0id T )) = dim(Ker( 0id T ?)); Im( 0id T ) = N(Ker( 0id T ?)):

235

Последнее утверждение есть напоминание теоремы 3.4.8 (см. стр. 181). Близкое по смыслу утверждение составляет содержание следующей ниже теоремы, которая есть следствие теорем 3.8.5 и 3.7.4 и иногда на-

зывается аналитической теоремой Фредгольма.

Теорема 3.8.6. Пусть D -открытая связная область в плоскости комплексного переменного C1. Пусть в области D задана аналитическая

функция

D 3 7!K( ) 2 L(B 7!B);

значения которой есть компактные операторы:

8 : K( ) 2 K(B 7!B):

Тогда либо оператор (id K( )) не обратим ни в одной точке области D, либо в области D существует такая не равная тождественно нулю аналитическая функция ( ) и такие аналитические функции

D 3 7!r( ) 2 K(B 7!B) ; D 3 7!a( ) 2 L(B 7!B);

что справедливо равенство

8( ( ) 6= 0) : (id K( )) 1 = (1 )r( ) + a( );

причем

\

dim(Im(r( ))) const: < 1 ; Im(r( )) Im(a( )) = 0:

Доказательство. Достаточно заметить что точка = 1 может быть только изолированной особой точкой резольвенты R( ; K( )) и отвеча-

ющий этой особой точке спектральный проектор конечномерен, а затем применить теорему 3.7.4 в каждой точке 2 D.

3.9Резольвента и спектр неограниченных операторов.

До сих пор все операторы в банаховых пространствах мы считали линейными ограниченными (а потому и непрерывными) операторами, область определения которых совпадает со всем пространством. Теперь мы переходим к изучению более общей ситуации: мы будем рассматривать такие линейные отображения, область оперделения которых есть не совпадающее со всем пространством линейное многообразие, а сами отображения

236

не ограничены на своей области оперделения. Переходим к точным формулировкам.

Пусть B1 è B2 -банаховы пространства, Dom(A) B1 -линейное ìíî- гообразие (не обязательно замкнутое) в пространстве B1.

Определение 3.9.1. Отображение

A : Dom(A) 7!B2

мы называем линейным отображением (линейным оператором), если

8( 2 C1 ; 2 C1 ; x 2 Dom(A) ; y 2 Dom(A)) :

A( x + y) = A(x) + A(y):

Åñëè

Dom(A1) 6= Dom(A2);

то два оператора

A1 : Dom(A1) 7!B2 ; A2 : Dom(A2) 7!B2

мы будем считать разными операторами, даже если их значения совпа-

T

дают на множестве Dom(A1) Dom(A2):

Умножение неограниченного оператора на число коментариев не требует, а сумму двух неограниченных операторов A1 è A2 мы определяем

T

только в том случае, если Dom(A1) Dom(A2) 6= ;:

Ядро неограниченного оператора определяется так:

Ker(A) = fx j x 2 Dom(A) ; A(x) = 0g:

Определим резольвенту неограниченного оператора.

Определение 3.9.2. Оператор R( ; A) называется резольвентой оператора , если

1:Dom(R( ; A)) = Im( id A) ; Im(R( ; A)) = Dom( id A))

237

Это определение согласуется с данными прежде определениями резольвенты элемента банаховой алгебры и резольвенты ограниченного оператора, но с понятием резольвенты неограниченного оператора нужно быть внимательным. В силу условия (3.235) резольвента по непрерывности продолжается на все пространство, но на этом продолжении

может не быть выполнено равество ( id A)R( ; A)x = x. Мы примем следующее

Определение 3.9.3. Оператор

R( ; A) 2 L(B 7!B)

называется резольвентой неограниченного оператора

A : Dom(A) 7!B;

åñëè

В рассматриваемых нами приложениях (резольвента инфинитезимального оператора и резольвента самосопряженного оператора) оба определения совпадают. По умолчанию, мы будем пользоваться только вторым определением.

Определение 3.9.4. Резольвентным множеством res(A) неограниченного оператора A называется множество всех комплексных чисел, для которых существует резольвента:

res(A) := f j 9R( ; A)g:

Спектром (A) неограниченного оператора A называется дополнение резольвентного множества:

(A) = C(res(A)):

Часто бывает полезна следующая

Лемма 3.9.1. Если существует такая последовательность fxng 2 B,

òî 2 (A).

238