FA Арсеньев Функ.Ан

Лемма 4.6.4. 1. Åñëè Pm -тригонометричекий полином, то OpU (Pm) -самосопряженный оператор.

2. Åñëè Pm -неотрицательный тригонометрический полином:

8 : Pm(exp(i ) 0;

òî OpU (Pm) -неотрицательный оператор:

Pm -тригонометрический полином, то по определению он принимает действительные значения и первое утверждение леммы следует из (4.161). Если тригонометрический полином Pm íåîò- рицателен, то в силу леммы Фейера справедливо представление

Pm(exp(i )) = Q(exp(i )) Q(exp(i )) ; Q 2 A;

èиспользуя равенство (4.161) мы получаем:

<; OpU (Pm) >=< ; OpU (Q Q) >=

<; OpU (Q )OpU (Q) >=< ; OpU (Q) OpU (Q) >=

<OpU (Q) ; OpU (Q) > 0:

Третье утверждение леммы есть очевидное следствие второго. Лемма доказана.

Определение 4.6.1. Для каждого 2 H на алгебре тригонометри-

ческих полиномов fPmg линейный функционал I0( j ) определяется равенством

Лемма 4.6.5. Определенный формулой (4.164) линейный функционал I0( j ) по непрерывности продолжается на пространство C([0 ; 2 ]) и продолжение (мы обозначаем его тем же символом) функционала I0( j ) удовлетворяет оценкам:

329

Доказательство. Если f 2 C([0 ; 2 ]), то по теореме Вейрштрасса

существует такая последовательность тригонометрических многочленов fPm(n)g, ÷òî

Определение 4.6.2. На пространстве C([0 ; 2 ]) функционал I0( j ) определяется равенством

если последовательность Pm(n) удовлетворяет условию (4.167).

В силу оценки (4.163) это определение корректно и определенный равенством (4.168) функционал I0( j ) есть продолжение по непрерывности функционала (4.164). Если

8( 2 [0 ; 2 ]) : f( ) 0;

то мы можем выбрать последовательность многочленов в (4.167) так, что будет выполнено неравенство

8(n > 0 ; 2 [0 ; 2 ]) : Pm(n)(exp(i )) 0;

а отсюда следует неравенство (4.165). Второе утверждение леммы есть очевидное следствие первого. Лемма доказана.

Наши дальнейшие расуждения полностью совпадают с теми, которые были проведены для случая самосопряженных операторов. Рассмотрим

C([0 ; 2 ]) как пространство элементарных функций при

Пусть I( j ) -расширение по Даниэлю элементарного интеграла I0( j ), à ( j d ) -мера на отрезке [0 ; 2 ], порожденная интегралом I( j ).

Пространство интегрируемых по мере ( j d ) функций содержит алгебру Bor([0 ; 2 ]) всех ограниченных измеримых по Борелю функций на отрезке [0 ; 2 ]. Фиксируем действительную функцию f 2 Bor([0 ; 2 ]) и пусть B( ; j f) -билинейная форма, которая в силу поляризационного тождества соответствует квадратичной форме 7!I( j f).

Ниже мы построим отображение

которое служит продолжением отображения (4.160).

330

Определение 4.6.4. Åñëè f 2 Bor([0 ; 2 ]), то оператор OpU (f) -ýòî

На комплекснозначные функции f 2 Bor([0 ; 2 ]) определение 4.6.4 распространяется по линейности. Очевидна

Теорема 4.6.1. 1. Отображение OpU есть гомоморфизм алгебры Bor([0 ; 2 ]) в алгебру L(H 7!H), который удовлетворяет условию:

O

гильбертово сопряженный оператору Op(f).

2. Отображение OpU переводит неотрицательные функции в неотрицательные операторы.

Определение 4.6.5. Пусть Eun( ; U) -образ характеристической функции отрезка [0 ; ] при отображении OpU :

Теорема 4.6.2. Каждому унитарному оператору U 2 L(H 7!H) со-

гласно определению 4.6.4 соответствует функция Eun( ; U), которая обладает следующими свойствами.

1. Для любого 2 [0 ; 2 ] оператор Eun( ; U) -самосопряженный проектор:

2. Операторная функция 7!Eun( ; U) монотонно неубывает:

( 2 1) ) (E(U ; 2) E(U ; ))

и в каждой точке непрерывна справа в том смысле, что

8( 2 H ; 2 [0 2 )) :

< ; Eun( + 0 ; U) >=< ; Eun( ; U) > ; Eun(2 ; U) = id:

331

3. Справедливо равенство

8( 1 ; 2 2 [0 ; 2 ]) : Eun( ; U)Eun( ; U) = Eun(min( 1 ; 2) ; U): (4.175)

4. Åñëè

\

( 1 ; 2] ( 3 ; 4] = ;

òî

(Eun( 2 ; U) Eun( 1 ; U)) (Eun( 4 ; U) Eun( 3 ; U)) = 0:

5. Если f(exp(i )) 2 C([0 ; 2 ]), то справедливо равенство

Z 2

8( 2 H) : < ; f(U) >= f(exp(i ))d < ; Eun( ; U) >;

0

(4.176)

где интеграл понимается как интеграл Лебега-Стильтьеса по мере

( j d ).

Доказательство теоремы 4.6.2 дословно повторяет доказательство теоремы 4.5.2.

4.7Гильбертово сопряжение неограниченных операторов.

Мы будем рассматривать только такие линейные операторы, которые имеют плотную в H область определения. Пусть Dom(A) плотное в гиль-

бертовом пространстве H линейное многообразие:

и пусть

A : Dom(A) 7!H

-линейное отображение многообразия Dom(A) в гильбертово пространство H.

Типичный пример: пусть H = L2(R1 ; dx) ; P(x) -полином с действительными коэффициентами и

8(f 2 C0(R1) H) : Af(x) = P(x)f(x):

Определение 4.7.1. Элемент y 2 Dom(A ), если заданный на плотном в H линейном многообразии Dom(A) линейный функционал

332

продолжается по непрерывности на все пространство H, и в этом случае

мы полагаем

A y = z;

ãäå z -тот элемент, который по теореме Рисса (см. 280) задает функционал (4.178):

Описанный этим определением оператор A называется оператором, гильбертово сопряженным оператору A.

Если оператор A ограничен, то это определение совпадает с ранее

данным определением гильбертово сопряженного оператора.

Если оператор ограничен, то область определения сопряженного оператора есть все пространство. Если оператор неограничен, то может случиться так, что область определения сопряженного оператора со-

стоит лишь из нуля. Приведем соответствующий пример. Пусть H = L2(R1 ; dx) ; fen(x)g -полная ортонормированная система в L2(R1 ; dx);

n<

продолжается до линейного непрерывного функционала на L2(R1 ; dx) только в том случае, если

8n : < g ; en >= 0:

Отсюда следует, что Dom(A ) = 0.

Отмтим, что оператор (4.180) есть пример оператора, не имеющего замыкания: замыкание графика оператора (4.180) есть пространство L2(R1 ; dx) L2(R1 ; dx), которое не есть график оператора.

Можно дать эквивалентное определение гильбертово сопряженного оператора.

В прямой сумме гильбертовых пространств H H определим оператор

Оператор V унитарен и удовлетворяет равенству

V 2 = id:

333

Теорема 4.7.1. Справедливо равенство

Так как множество Dom(A) плотно в H, то из (4.184) следует, что

\

(V (Gr(A)))? (0 H) = 0;

поэтому множество (V (Gr(A)))? есть график оператора, из (4.183) следует, что это график оператора A .

Равенство (4.182) может служить определением гильбертово сопряженного оператора. Так как ортогональное дополнение к любому множеству замкнуто, то из теоремы 4.7.1 вытекает

Следствие 4.7.1. Гильбертово сопряженный оператор A замкнут. Если оператор A замкнут, то справедливо равенство

Теорема 4.7.2. Если оператор A определен во всем пространстве: Dom(A) = H и самосоряжен: A = A , то оператор A ограничен: A 2 L(H 7!H).

Напомним, что замкнутый оператор -это такой оператор, график которого замкнут. Из замкнутости оператора íå следует ни замкнутость его области определения, ни замкнутость его области значений. Напом-

ним, что замыкание оператора A существует только в том случае, если

\

(Cl(Gr(A))) (0 H) = 0:

Лемма 4.7.1. Если замыкание оператора A существует, то

(Cl(A)) = A :

334

Доказательство. Справедливы равенства

Gr(Cl(A)) ) = (V (Gr(Cl(A))))? =

(V (Cl(Gr(A))))? = (Cl(V ((Gr(A))))? = (V (Gr(A)))? = Gr(A ):

Лемма доказана.

Определение 4.7.2. Оператор B есть расширение оператора A (или оператор A есть часть оператора B), åñëè

что означает:

Dom(A) Dom(B) ; 8(x 2 Dom(A)) : Ax = Bx:

Соотношение (4.186) записывается так:

A B:

Лемма 4.7.2. Åñëè

Cl(Dom(A )) = H;

òî

A (A ) :

Доказательство. В силу условия леммы оператор (A ) существует. Имеем:

8(x 2 Dom(A) ; y 2 Dom(A )) : < x ; A y >=< A y ; x > =< y ; Ax > =< Ax ; y >=< (A ) x ; y > :

Следовательно,

8(x 2 Dom(A)) : Ax = (A ) x:

Лемма доказана.

Определение 4.7.3. Оператор A симметричен, если

что означает:

8(x ; y 2 Dom(A)) : < x ; Ay >=< Ax ; y > :

335

Напомним, что оператор U 2 L(H1 7!H2) называется унитарным, если он обратим и

8(x 2 H1 ; y 2 H1) : < Ux ; Uy >2=< x ; y >1 :

Определение 4.7.5. Оператор

A2 : H2 Dom(A2) 3 x 7!A2x 2 H2

унитарно эквивалентен оператору A1:

A1 : H1 Dom(A1) 3 x 7!A1x 2 H1

åñëè

Dom(A2) = U(Dom(A1)) ; 8(x 2 Dom(A2)) : A2x = UA1U 1x;

ãäå U 2 L(H1 7!H2) -унитарный оператор.

Лемма 4.7.3. Если оператор A1 самосопряжен и оператор A2 унитар- но эквивалентен оператору A1, то оператор A2 самосопряжен.

Доказательство. Имеем:

8(x 2 Dom(A2) ; y 2 Dom(A2)) : < x ; A2y >2=< x ; UA1U 1y >2= < U 1x ; A1U 1y >1=< A1U 1x ; U 1y >1=< A2x ; y >2 :

Это равенство доказывает, что оператор A2 симметричен на своей обла- сти определения. Из этой же выкладки и самосопряженности оператора A1 следует, что функционал

y 7!< x ; A2y >

продолжается до непрерывного функционала в том и только том случае,

åñëè

U 1x 2 Dom(A1);

ò.å.

x2 U(Dom(A1)) = Dom(A2);

àэто и означает, что оператор A2 самосопряжен.

336

Лемма 4.7.4. Åñëè

A B;

òî

B A :

Доказательство. Пусть

x 2 Dom(B ) ; y 2 Dom(A):

Тогда

< x ; Ay >=< x ; By >=< B x ; y > :

Следовательно,

x 2 Dom(A ) ; B x = A x:

Лемма доказана.

Лемма 4.7.5. Åñëè

A = A ; A B ; B B ;

òî

A = B:

Доказательство. Имеем:

A B ; поэтому B A = A B:

Следовательно,

B = B = A:

Лемма доказана.

Из этой леммы следует, что если оператор A самосопряжен, то любое

его симметричное расширение совпадает с ним, т.е. среди симметричных операторов самосопряженный оператор есть симметричный оператор с максимальной областью определения.

Напомним, что линейный оператор A 1 определен в том и только в том случае, если Ker(A) = 0, и в этом случае по определению оператор A 1 есть оператор с графиком

Gr(A 1) = fAx x j x 2 Dom(A)g:

Лемма 4.7.6. Åñëè

Ker(A) = 0 ; Cl(Im(A)) = H;

òî

(A 1) = (A ) 1:

337

Доказательство. Из первого условия леммы следует, что оператор A 1 существует, из второго условия леммы следует, что оператор (A 1) ñó- ществует. Далее имеем:

Gr(A 1) = fAx x j x 2 Dom(A)g;

V (Gr(A 1)) = f( x) Ax j x 2 Dom(A)g;

V (Gr(A 1))? =

fy z j < y ; x > + < z ; Ax >= 0 ; x 2 Dom(A)g; V (Gr(A 1))? = fA z z j z 2 Dom(A )g:

Сравнивая поседнее равенство с (4.182) мы получаем:

Gr((A ) 1) = Gr((A 1) )):

Лемма доказана.

Лемма 4.7.7. Åñëè

A = A ; Ker(A) = 0;

òî

Cl(Im(A)) = H:

Доказательство. Пусть

y ? Cl(Im(A)):

Тогда

8(x 2 Dom(A)) : < y ; Ax >= 0:

Следовательно,

y 2 Dom(A ) ; A y = Ay = 0 ; y 2 Ker(A):

Из второго условия леммы следует, что

y = 0:

Лемма доказана.

Лемма 4.7.8. Если оператор A самосопряжен:

A = A

и оператор A 1 существует, то оператор A 1 самосопряжен:

(A 1) = A 1:

338