FA Арсеньев Функ.Ан

Из следствия 3.5.1 вытекает, что резольвентное множество любого элемента банаховой алгебры открыто, а из леммы 3.5.3 следует, что

В дальнешем нам понадобится следующее очевидное следстие непрерывности резольвенты как функции своих аргументов.

Теорема 3.5.2. Предположим, что резольвента R( ; a0) существует в каждой точке 2 D некоторого компактного множества D C1.

Тогда существует такая открытая окрестность O(D) множества D и такой открытый шар b(a0 ; ) 2 A, что резольвента R( ; a) существует при всех a 2 O(D) b(a0 ; ).

Доказательство. В силу непрерывности резольвенты R( ; a) по совокупности переменных ; a в метрике

d(( 1 ; a1) ; ( 2 ; a2)) = max(j 1 2j ; ka1 a2k)

для каждой точки 0 2 D существует такое ( 0), что резольвента R( ; a) существует при j 0j < ( 0) è a 2 b(a0 ; ( 0)). Открытые окружности f j j 0j < ( 0)g ; 0 2 D составляют покрытие компактного множества D, поэтому это покрытие содержит конечное подпокрытие.

Выбирая число равным наименьшиму радиусу ( 0) входящих в это покрытие окружностей, мы получим утверждение теоремы. (Искомая открытая окрестность множества D есть объединение конечного числа

входящих в выбранное конечное покрытие окружностей).

Лемма 3.5.5. Если U -обратимый элемент алгебры A, то справедлива формула

Доказательство. Следует из равенства

( id UaU 1)UR( ; a)U 1 = id:

189

Определение 3.5.10. Спекторм (a) элемента a 2 A называется дополнение резольвентного множества элемента a :

Иногда спектр элемента a 2 A обозначается символом

Sp(a) (a):

Так как резольвентное множество открыто, то спектр -замкнутое множество, и если U -обратимый элемент, то

умножаем слева на R( ; b), а справа на R( ; a). Получим (3.108). Умножая это же равенство справа на R( ; b), а слева на R( ; a), получим

(3.109).

Аналогично, исходя из равенства

( id a) ( id a) = ( )id;

мы легко получим (3.110).

Замечания. Ясно, что (3.108) и (3.109) есть разные формы записи одного и того же равентсва. Это равенство называется вторым резольвентным уравнением (или вторым резольвентным тождеством). Равенство (3.110) называется первым резольвентным уравнением (или первым резольвентным тожеством, или тождеством Гильберта). Можно доказать, что если операторные функции удовлетворяют уравнениям (3.108)- (3.110), то они являются резольвентой некоторого элемента.

Если оператор (b a) достаточно хороший , то иногда бывает удобно

преобразовать второе резольвентное уравнение. Положим по определению

190

Лемма 3.5.6. Справедивы равенства

R( ; b) = R( ; a) + R( ; a)T ( ; a ; b)R( ; a) = R( ; a)Q( ; a ; b);

T ( ; a ; b) T ( ; a ; b) = ( )T ( ; a ; b)R( ; a)R( ; a)T ( ; a ; b):

(3.117)

Доказательство. Из второго резольвентного уравнения следует, что

R( ; b)(b a) = R( ; a)(b a) + R( ; a)(b a)R( ; b)(b a) =

R( ; a)(b a) + R( ; a)(T ( ; a ; b) (b a)) =

R( ; a)T ( ; a ; b):

Подставив левую часть этого равенства в (3.111), мы получим (3.114). Подставив во второе резольвентное уравнение, получим (3.113). Равенство (3.116) доказывается абсолютно аналогично.

Далее имеем:

T ( ; a ; b) T ( ; a ; b) = (b a)(R( ; b) R( ; b)(b a) =

( )(b a)(R( ; b)R( ; b)(b a) =

(с учетом доказанных выше равенств)

( )T ( ; a ; b)R( ; a)R( ; a)T ( ; a ; b):

Лемма доказана.

В теории потенциального рассеяния бывает удобна следующая форма второго резольвентного уравнения.

Лемма 3.5.7. Пусть

b a = cd:

Тогда в тех точках , где существуют операторы

R( ; a) ; R( ; b) ; (id dR( ; a)c) 1;

справедливо равенство

R( ; b) R( ; a) = R( ; a)c(id dR( ; a)c) 1dR( ; a): (3.118)

191

Доказательство. Из второго резольвентного уравнения

R( ; b) R( ; a) = R( ; b)cdR( ; a)

следует равенство

dR( ; b)c dR( ; a)c = dR( ; b)cdR( ; a)c:

Пусть

= dR( ; b)c ; = dR( ; a)c:

Тогда предыдущее равенство можно записать в виде

= ;

поэтому

(id )(id + ) = id ; (id + ) = (id ) 1:

Далее имеем:

R( ; b) R( ; a) = R( ; b)cdR( ; a) =

(R( ; a) + R( ; a)cdR( ; b))cdR( ; a) =

R( ; a)(id + cdR( ; b))cdR( ; a) =

R( ; a)c(id + dR( ; b)c)dR( ; a) =

R( ; a)c(id + )dR( ; a) =

R( ; a)c(id ) 1dR( ; a):

Лемма доказана.

Из тождества Гильберта (3.108) и непрерывности резольвенты вытекает

Теорема 3.5.4. На резольвентном множестве резольвента R( ; a) аналитична по и

R( ; a)x > аналитична на резольвентном множестве элемента a è íå

постоянна. Следовательно, в силу теоремы Лиувилля она обязятельно имеет особые точки. Отсюда вытекает, что спектр любого элемента банаховой алгебры не пуст. Итак, справедлива

Теорема 3.5.5. Спектр (a) любого элемента a банаховой алгебры есть непустое замкнутое множество, которое содержится в круге f j j j kakg:

192

3.5.3Операторное исчисление.

Пусть a -элемент банаховой алгебры и (a) -его спектр.

Fa -это множество всех функций, каждая из которых аналитична в открытой окрестности (своей для каждой функции) множества (a).

Множество Fa есть алгебра функций относительно поточечного сложения и умножения функций. Пусть f 2 Fa è Df -открытая окрестность множества (a), которая выбрана так, что граница l = @Df есть гладкая

S

кривая и множество l Df принадлежит области, в которой функция f аналитична. Заметим, что область Df не обязательно есть односвязная область: область Df и кривая l(f) могут состоять из нескольких компонент. Поставим каждой функции f 2 Fa оператор f(a) 2 A по правилу:

Интеграл по замкнутому контуру l в (3.120) берется в направлении по-

ложительного обхода содержащей спектр оператора a области Df . Èíòå- грал (3.120) иногда называется интегралом Данфорда.

Теорема 3.5.6. Заданное формулой (3.120) отображение Opa гебраический гомоморфизм алгебры функций Fa

A.

Доказательство. Линейность отображения (3.120) очевидна. Нам нужно доказать, что произведение функций при отображении (3.120) перехо-

дит в произведение операторов. Пусть f 2 A ; g 2 A. Будем считать, что области Df ; Dg выбраны в соответствии с описанными выше правилами

Dg @Dg Df ; dist(@Df ; @Dg) > 0:

Из тождества Гильберта следует равенство

f(a)g(a) =

l(f) l(g)

193

Íî

Из формулы (3.104) следует

194

Лемма 3.5.8. Если контур @D содержит внутри себя спектр элемента a:

@D

Заметим, что если аналитическая в некоторой открытой окрестности замкнутого множества M функция ( ) не имеет нулей на множестве

M, то у множества M есть открытая окрестность, в которой функция 1= ( ) аналитична. Из этого замечания вытекает

Теорема 3.5.7. Åñëè 2 Fa, то элемент (a) 1 существует в том и только том случае, если функция ( ) не имеет нулей на спектре элемента a.

Доказательство. Если 2 Fa è

8( 2 (a)) : j ( )j > 0;

то существует такая открытая окрестность D спектра (a), что функции( ) è 1= ( ) аналитичны в D è

Теперь предположим, что функция ( ) имеет ноль в точке 0 2 (a). Тогда

( ) = ( 0 )h( );

где функция h( ) -аналитична в окрестности спектра элемента a. Следовательно,

(a) = ( 0id a)h(a):

Если бы у элемента (a) существовал обратный, то тогда мы имели бы равенство:

id = ( 0id a)h(a) (a) 1 = h(a) (a) 1( 0id a);

195

из которого следует, что элемент ( 0id a) имеет обратный, а это противоречит включению

0 2 (a):

Теорема доказана.

Теоремы 3.5.6 и 3.5.7 можно изложить в немного другой редакции. Введем в множестве Fa соотношение эквивалентности, положив

1( ) 2( ); åñëè 9O( (a)) ; 8( 2 O( (a))) : 1( ) = 2( ) (3.123)

Здесь O( (a)) -открытая окрестность множества (a).

e тот класс эквивалентности, который содержит функцию 2 Fa. Умножение и сложение функций в алгебре Fa

естественно индуцируют умножение и сложение в множестве Ffa âñåõ

Функция 0( ) 2 Fa есть единица алгебры Fa, åñëè

8( ( ) 2 Fa) : 0( ) ( ) ( ) 0( ) = ( ):

Следовательно, единица алгебры Fa есть определенная íà âñåé плоскости комплексного переменного функция

0( ) 1:

Но тогда элемент ( ) 2 Fa имеет обратный в том и только том случае,

и оба сомножителя в (3.124) аналитичны на всей плоскости комплексного переменного. Следовательно, в алгебре Fa обратимы только функции,

тождественно равные константам.

Ясно, что формула (3.120) индуцирует алгебраический гомоморфизм

алгебры Ffa в алгебру A. Теперь теорему 3.5.7 можно сформулировать так.

Теорема 3.5.8. Элемент (a) 1 существует в том и только том слу- чае, если элемент e имеет обратный элемент в алгебре Ffa

196

Из теоремы 3.5.7 следует, что элемент ( id f(a)) имеет обратный

âтом и только том случае, если функция

7!( f( ))

не имеет нулей на спектре элемента a. Это утверждение эквивалентно

Теорема 3.5.9. Справедливо равенство

Пусть функция (z) аналитична в окрестности спектра (a), а функция f(z) аналитична в окрестности ( (a)). Оператор f( (a)) мы можем вычислить двумя способами. Мы можем вычислить функцию z 7! f( (z)), а потом поставить этой функции в соответствие оператор f( (a)). Мы можем вычислить оператор (a), а потом оператор f( (a)) как функцию оператора (a). Оказывается, что оба способа дадут один и тот же результат.

Лемма 3.5.9. Диаграмма

(z) ! f( (z))

??

Opa? ?Opa

yy

(a) ! f( (a))

Op (a)

коммутативна.

Доказательство. Справедливы равенства

Лемма доказана.

По-существу, эта лемма доказывает корректность опеределния (3.120): мы доказали, что оператор f( (a)) определяется только функцией z 7!

f( (z)) и не зависит от способа вычисления этой функции.

Определение 3.5.12. Образ алгебры Fa при гомоморфизме (3.120) мы обозначим символом Opa(Fa).

197

ßñíî, ÷òî Opa(Fa) -коммутативная подалгебра алгебры A = L(B 7!

B):

Пусть f 2 Fa è W -содержащая спектр элемента a 2 A открытая окрестность, в которой аналитична функция f. Из (3.120) следует оче- видная оценка:

ãäå jlj -длина контура l. Константа

C(W ; a) = jlj supfkR( ; a)k j 2 lg

не зависит от функции f 2 Fa, но зависит только от элемента a 2 A и окрестности W , в которой аналитична функция f. Следовательно, для

Отсюда вытекает

Теорема 3.5.10. Пусть все функции ffng аналитичны в фиксированой окрестности W (a). Пусть последовательность ffng фундаментальна в метрике

Доказательство. Существование функции f 2 Fa -следствие теоремы Вейрштрасса, утверждение (3.129) -следствие оценки (3.127).

Сейчас мы не рассматриваем топологию в множестве Fa, поэтому

вопрос о непрерывности отображения (3.120) нами не ставится. Докажем несколько простых свойств гомоморфизма (3.120).

Теорема 3.5.11. Åñëè

n<

198