FA Арсеньев Функ.Ан

Глава 2

Метрические и топологические пространства.

2.1Метрические пространства.

2.1.1Расстояние и связанные с ним понятия.

Определение 2.1.1. Расстоянием (метрикой) на множестве M называется определенная на декартовом произведении множеств M M ôóíê-

öèÿ

d: M M 7!R1;

которая удовлетворяет условиям: 1. Симметрии:

Определение 2.1.2. Множество вместе с определенным на ним расстоянием (метрикой) называется метрическим пространством.

99

Пример 2.1.1. Евклидово пространство Rd есть метрическое простран- ство относительно расстояний:

Определение 2.1.3. В метрическом пространстве множество

называется открытым шаром радиуса r с центром в точке x.

Это определение дается по аналогии с (2.5).

Пример 2.1.2. Множество C([a ; b]) всех непрерывных на отрезке [a ; b] функций есть метрическое пространство относительно расстояний:

Определение 2.1.4. Расстоянием dist(A ; B) между множествами A è B метрического пространства называется величина

100

Òàê êàê

8(a 2 A) : dist(x ; A) d(x ; a) d(x ; y) + d(y ; a);

òî

dist(x ; A) d(x ; y) + dist(y ; A);

поэтому

8(x 2 M ; y 2 M ; A M) : jdist(x ; A) dist(y ; A)j d(x ; y): (2.11)

Неравенство (2.11) можно рассматривать как обобщение неравенства треугольника.

Пусть (M1 ; d1) è (M2 ; d2) -два метрических пространства. Взаимно однозначное отображение

J : M1 7!M2 ; J(M1) = M2

называется метрическим изоморфизмом, åñëè

8(x 2 M1 ; y 2 M1) : d1(x ; y) = d2(J(x) ; J(y)):

Пространства M1 è M2 называют метрически изоморфными, если суще-

ствует метрический изоморфизм, который отображает M1 íà M2 . Ìåò- рически изоморфные пространства обычно отождествляются.

2.1.2Сходимость в метрическом пространстве.

Определение 2.1.5. Последовательность точек fxng M метрического пространства (M ; d) сходится к точке x0 2 M, åñëè

Если выполнено условие (2.12), то последовательность fxng называ- ется сходящейся, а точка x0 называется пределом последовательности

fxng.

В метрическом пространстве каждая сходящаяся последовательность имеет только один предел, так как если

d(xn ; x0) ! 0 ; d(xn ; x00) ! 0 ; n ! 1;

òî

d(x0 ; x00) d(xn ; x0) + d(xn ; x00) ! 0 ; n ! 1;

поэтому

d(x0 ; x00) = 0 ; è x0 = x00:

101

Определение 2.1.6. Последовательность точек fxng M метрического пространства (M ; d) удовлетворяет условию Коши (по другой терми-

нологии: является последовательностью Коши или является фундаментальной последовательностью), если

Если последовательность точек fxng M метрического пространства (M ; d) сходится, то она удовлетворяет условию Коши, так как

8(n > N( )): d(xn ; xn+m) d(xn ; x0) + d(xn+m ; x0) < :

Однако не во всяком метрическом пространстве любая последовательность Коши сходится, т.е. имеет предел. Примеры метрических пространств, в которых последовательность Коши может не иметь предела: множество рациональных чисел с обычной метрикой, рассмотренное в 2.1.2

пространство непрерывных на отрезке [a ; b] функций C([a ; b]) в метрике (2.8).

Метрики d è deна метрическом пространстве M эквивалентны, åñëè

8 (fxng M) :

Эквивалентные метрики часто не различают.

Метрическое пространство называется полным, если в нем любая последовательность Коши (фундаментальная последовательность) имеет предел.

Примеры полных метрических пространств: пространство Rd ñ îáû÷- ной метрикой, рассмотренное в 2.1.2 пространство непрерывных на отрезке [a ; b] функций C([a ; b]) в метрике (2.7).

Определение 2.1.8. Метрическое пространство (Mf; de) называется пополнением метрического пространства (M ; d), åñëè:

1.(Mf; de) -полное метрическое пространство.

2. Существует изометрическое вложение J пространства M â ïðî-

странство Mf, т.е. такое отображение

J : M 7!Mf

метрического пространства (M ; d) в метрическое пространство (Mf; de), которое удовлетворяет условию

8(x ; y 2 M) : d(x ; y) = de(J(x) ; J(y)):

102

3. Это изометрическое вложение J удовлетворяет условию: для любого элемента 2 Mf существует такая последовательность fxng M, ÷òî

Теорема 2.1.1. 1. Любое метрическое пространство имеет пополнение.

2. Любые два пополнения данного метрического пространства метрически изоморфны.

Доказательство.Пусть M0 -множество всех последовательностей Коши пространства M : fxng 2 M0, если последовательность fxng удовлетворяет условию (2.13). Установим в M0 соотношение эквивалентности:

( lim d(xn ; x0n) = 0) , (fxng s fx0ng): (2.15)

n

!1

Симметричность соотношения (2.15) очевидна. Из неравенства треугольника следует, что

d(x0n ; x00n) d(xn ; x0n) + d(xn ; x00n);

поэтому если

fxng s fx0ng ; fxng s fx00ng ; òî fx0ng s fx00ng;

откуда следует транзитивность соотношения (2.15). Поэтому (2.15) дей-

ствительно устанавливает соотношение эквивалентности. Пусть Mf-множество

всех классов эквивалентности по соотношению (2.15). Класс эквивалентности, который содержит последовательность fxng, мы обозначим симво-

ëîì [xn]. Этот класс эквивалентности есть точка пространства Mf. Îïðå-

делим в множестве Mf расстояние de, положив по определению

Предел в (2.16) существует для любых последовательностей Коши fxng ; fyng â M, так как в силу неравенства (2.9)

jd(xn ; yn) d(xm ; ym)j d(xn ; xm) + d(yn ; ym):

Докажем, что формула (2.16) корректно определяет расстояние в Mf,

т.е. что правая часть (2.16) зависит только от класса эквивалентности последовательности fxng и что выполнено условие невырождености расстояния (2.2). Если

de([xn] ; [yn]) = 0;

103

то в силу определений (2.15) и (2.16) это означает, что

fxng s fyng;

поэтому

[xn] = [yn];

Симметрия расстояния (2.16) и неравенство треугольника проверяются тривиально.

Построим отображение

J : M 7!Mf;

поставив в соответствие точке x 2 M тот класс эквивалентности [x] 2 Mf,

который содержит стационарную последовательность fxn j xn xg: ßñ-

но, что так определенное отображение есть изометрическое вложенение. Покажем, что оно удовлетворяет условию (2.14).

Пусть = [xn] 2 Mf. Òàê êàê fxng -последовательность Коши в M, òî

8( > 0) ; 9n( ) ; 8(n n( )) : supfd(xn ; xn+m) j m > 0g < :

ßñíî, ÷òî

de( ; J(xn( )) = lim d(xn ; xn( )) < :

n!1

Теперь докажем, что Mf-полное пространство. Пусть f ng -последовательность

Коши в метрике de. Пусть xn -такой элемент пространства M, который удовлетворяет условию

ности Коши f ng в пространстве Mf последовательность Коши fxng â

пространстве M. Обозначим символом 0 тот класс эквивалентности, ко- торому принадлежит определяемая по (2.17) последовательность Коши fxng M . Докажем, что элемент 0 есть предел последовательности n

в пространстве Mf.

104

Воспользовавшись неравенством (2.17) и тем фактом, что последовательность fxng есть последовательность Коши в M, мы получаем неравенство

de( n ; 0) de( n ; J(xn)) + de(J(xn) ; 0)

2 n + lim d(xn ; xm) < 2 n + ;

m!1

если только n > N( ). Итак, элемент 0 есть предел последовательности

f ng и полнота пространства Mf доказана.

Теперь докажем единственность пополнения. Пусть (M1 ; d1) -произвольное пополнение пространства (M ; d) è J1 -удовлетворяющее условию (2.14) вложение пространства M1 в пространство M. Для каждого элемента

z 2 M1 в пространстве M существует такая последовательность fxng,

d1(z ; J1(xn)) ! 0 ; n ! 1:

Если последовательность fxng удовлетворяет условию (2.18), то она есть последовательность Коши в M, так как в силу изометричности вложения

J1

supfd(xn ; xn+m) j m > 0g = supfd1(J1(xn) ; J1(xn+m) j m > 0g)

! 0 ; n ! 1:

Если последовательность fx0ng также удовлетворяет условию (2.18), то

поэтому условие (2.18) устанавливает взаимно однозначное соответствие между пространством M1 и классами эквивалентности по соотношению (2.15) и тем определяет взаимно однозначное отображение пространства

M1 на пространство Mf. Легко видеть, что это отображение изометрично.

Теорема доказана.

В дальнейшем, иногда не оговаривая это специально, мы будем счи- тать все метрические пространства полными, так всегда мы можем предполагать, что уже перешли к пополнению рассматриваемого пространства.

2.1.3Принцип сжимающих отображений.

Определение 2.1.9. Отображение

105

метрического пространства в себя называется строго сжимающим, если существует такая константа < 1, ÷òî

Замечание. Раньше удовлетворяющие условию (2.21) отображения назывались сжимающими. Теперь в некоторых работах сжимающими отображениями называются такие отображения, которые удовлетворя-

ют условию (2.21) при 1:

Определение 2.1.10. Точка x0 2 M называется неподвижной точкой отображения (2.20), если

Строго сжимающее отображение в полном метри- ческом пространстве имеет неподвижную точку и эта неподвижная точка единственна.

Доказательство. Сначала докажем существование неподвижной точ- ки. Пусть x1 -произвольный элемент пространства M. Построим последовательность fxng по правилу

По индукции легко доказывается, что при n 1 справедлива оценка

d(xn+1 ; xn) n 1d(A(x1) ; x1);

из которой следует, что

d(xn+m ; xn) d(xn+m ; xn+m 1) + d(xn+m 1 ; xn+m 2) + : : :

Из этой оценки следует, что последовательность fxng фундаментальна и поэтому имеет предел. Положим по определению

x0 := lim xn:

n!1

Справедлива оценка

d(A(xn) ; A(x0)) d(xn ; x0) ! 0 ; n ! 1;

106

поэтому переходя к пределу в (2.23), мы получим равенство (2.22). Если x00 также удовлетворяет уравнению (2.22), то

d(x0 ; x00) = d(A(x0) ; A(x00)) d(x0 ; x00);

откуда следует, что

d(x0 ; x00) = 0:

Теорема доказана.

Замечание. Алгоритм (2.23) называется методом последовательных приближений и часто используется на практике. Переходя к пределу

m ! 1 в (2.24), мы получаем оценку

d(xn ; x0) const: n;

из которой следует, что метод последовательных приближений сходится экспоненциально.

Рассмотрим пример. Пусть K(x ; y ; z) -определенная на множестве [a ; b] [a ; b] R1 функция, которая удовлетворяет условиям:

1: K(x ; y ; z) 2 C([a ; b] [a ; b] R1); 2: @zK(x ; y ; z) 2 C([a ; b] [a ; b] R1);

2: supf(jK(x ; y ; z)j + j@zK(x ; y ; z)j j x ; y ; z 2 R1g = const: < 1:

Пусть z0(x) 2 C([a ; b]) -заданная функция. Рассмотрим интегральное уравнение относительно неизвестной функции z(x):

Z b

z(x) = z0(x) + K(x ; y ; z(y)) dy: (2.25)

a

Для доказательства существования решения уравнения (2.25) в пространстве C([a ; b]) с метрикой (2.7) рассмотрим оператор

Z b

A(z)(x) = z0(x) + K(x ; y ; z(y)) dy: (2.26)

a

Этот оператор корректно определен, так как при z(x) 2 C([a ; b]) правая часть (2.26) принадлежит пространству C([a ; b]): Далее имеем оценку

d(A(z1) ; A(z2))

Zb

j j supf jK(x ; y ; z1(y)) K(x ; y ; z2(y))j dy j x 2 [a ; b]g

a

const:j jjb ajd(z1 ; z2);

из которой следует, что при const:j jjb aj < 1 оператор (2.26) являет-

ся строго сжимающим и поэтому уравнение (2.25) имеет единственное решение, которое может быть получено методом последовательных приближений.

107

2.2Топологические пространства.

2.2.1Определение топологического пространства.

Определение 2.2.1. Топология на множестве X -это такая система T подмножеств множества X, которая удовлетворяет условиям:

1.Пустое множество и все пространство принадлежат системе T :

;2 T ; X 2 T :

2.Любое объединение множеств из системы T принадлежит системе T :

[

A 2 T : A 2 T :

3. Пересечение любого конечного числа множеств из системы T принадлежит системе T :

Ясно, что в (2.27) было бы достаточно потребовать, чтобы пересече- ние любых двух множеств из системы T принадлежало бы системе T .

Определение 2.2.2. Множества, которые принадлежат системе T , называются открытыми множествами в топологии T (или открытыми множествами топологии T ).

Множество X вместе с определенной на нем топологией T называется топологическим пространством. Говорят также, что система множеств T определяет топологию на множестве X. Заметим, что топологией называется и наука, которая изучает топологические пространства.

Определение 2.2.3. В топологическом пространстве (X ; T ) множество B X называется окрестностью множества A X, если существует такое открытое можество O 2 T , ÷òî

A O B:

Открытое множество является окрестностью каждой своей точки. Дискретной топологией на множестве X называется топология, кото-

рая состоит из всех подмножеств множества X. В дискретной топологии открыты все подмножества множества X.

Антидискретной топологией называется топология, которая состоит из двух множеств: ; ; X. В антидискретной топологии открыты только

два множества ; ; X и других открытых множеств нет.

108