FA Арсеньев Функ.Ан

Другой способ построения лебеговского расширения -алгебры A состоит в следующем. Рассмотрим симметричную разность двух множеств

[\

A4B := (A B) n (A B):

Легко видеть, что

I(A4B j x) = jI(A j x) I(B j x)j;

поэтому функция

определяет расстояние на подмножествах множества X (или, в другой

интерпретации, на множестве всех характеристических функций подмножеств множества X). Замыкание -алгебры A, рассмативаемой как под-

множество полного метрического пространства с расстоянием (1.111), и будет лебеговским расширением -алгебры A.

В рамках схемы Даниэля лебеговское расширение -алгебры A можно получить так. Определим на пространстве X множество элементарных функций L0(X) как множество функций вида

X

f(x) = jI(Aj j x) ; j 2 R1;

1 j N

ãäå

[\

Aj 2 A ; Aj = X ; Aj Ai = ; ; j 6= i:

j

На этом пространстве элементарных функций определим элементарный интеграл формулой

X

I0(f) := j (Aj)

j

и далее будем действовать по схеме Даниэля. Тогда элементами пополнения -алгебры A будут те подмножества, характеристические функции

которых принадлежат пространству L(X).

Часто по умолчанию считают, что если на -алгебре задана мера , то эта -алгебра множеств уже пополнена по мере , т.е. считают, что

A = Ext (A). Íèæå ìû не будем делать это предположение. Следует

заметить, что если в область определения меры входит больше нулевых подмножеств, то входит и больше их дополнений, поэтому изменяется содержание понятия почти всюду.

Пусть на множестве X задана -алгебра A, на множестве Y задана-алгебра B è

f : X 7!Y

49

-отображение X â Y . Легко проверить, что при любом отображении f полный прообраз f 1(B) -алгебры B есть некоторая -алгебра в X.

Определение 1.2.5. Отображение f : X 7!Y измеримо относительно-алгебры A X и -алгебры B Y , åñëè

f 1(B) A:

Понятие измеримости отображения никак не связано с понятием меры и опирается только на понятие -алгебры, однако если на -алгебре задана мера, то часто говорят об измеримости отображения относительно меры, подразумевая -алгебру, на которой задана мера.

Åñëè Y = R1, то обычно по умолчанию считают, что в качестве - алгебры B â R1 взята не пополненная (это важно!) -алгебра борелевских множеств, т.е. наименьшая -алгебра, относительно которой измеримы

все открытые множества. В этом случае определение 1.2.5 эквивалентно следующему.

Определение 1.2.6. Заданная на множестве X функция f : X 3 x ! f(x) 2 R1 называется измеримой относительно -алгебры A подмножеств множества X, если при любом a 2 R1 множество fx j f(x) < ag принадлежит -алгебре A:

Определение 1.2.7. Подмножество A X называется измеримым, ес-

ли его характеристическая функция измерима в смысле определения 1.2.6.

Пусть в пространстве R1 задана -алгебра борелевских множеств (т.е. наименьшая -алгебра, которая содержит все открытые множества), в пространстве X задана произвольная -алгебра и

f : X 7!R1

-измеримое в смысле определения 1.2.6 отображение. Докажем, что оно измеримо в смысле определения 1.2.5. Если функция f(x) измерима в смысле определения 1.2.6, то множество

j>1

измеримо, так как счетное пересечение принадлежащих -алгебре множеств снова принадлежит этой -алгебре.

50

измеримо, то при любом a 2 R1 множество

j>1

измеримо, так как счетное объединение принадлежащих -алгебре множеств снова принадлежит этой -алгебре.

Далее заметим, что если функция f(x) измерима, то множества

fx j f(x) ag = X n fx j f(x) < ag; fx j f(x) > ag = X n fx j f(x) ag

измеримы как дополнения к измеримым множествам. Таким образом, мы доказали следующе

Функция f(x) измерима в смысле определения 1.2.6 в том и только том случае, если при всех a 2 R1

из множеств

fx j f(x) < ag ; fx j f(x) ag; fx j f(x) > ag ; fx j f(x) ag

измеримо, и измеримости при всех a 2 R1 одного из этих множеств следует измеримость остальных.

Аналогично доказывается

Утверждение 1.2.2. Функция f(x) измерима в смысле определения

1.2.6 в том и только том случае, если каково бы ни было борелевское множество B R1, полный прообаз f 1(B) множества B принадле-

жит -алгебре A, т.е. определения 1.2.6 и 1.2.5 эквивалентнны.

В задачах теории функций действительной переменной в качестве множества X обычно рассматривается отрезок [0 ; 1] с -алгеброй изме-

римых по Лебегу множеств. В этом случае понятие измеримости оказывается очень широким и примеры неизмеримых функций строятся с трудом.

В задачах теории вероятности интересуются измеримостью функции g(x) относительно наименьшей -алгебры, которая содержит все-алгебры вида f 1(B), ãäå f -отображение из некоторого класса отоб-

ражений. Эта задача нетривиальна, так как справедливо утверждение: функция g(x) измерима относительно -алгебры f 1(B), если существу-

ет такая функция , что g(x) = (f(x)). Это очевидно в том случае, если

51

функция f простая, т.е. принимает конечное число значений, а общий случай получается аппроксимацией произвольной функции простыми.

Приведем простой пример. Пусть пространство X есть отрезок [ 1 ; 1], простанство Y есть отрезок [0 ; 1] è -алгебра Y åñòü -алгебра борелевских множеств отрезка [0 ; 1]. Пусть f(x) = x2: Тогда функция g(x) = jxj измерима относительно -алгебры f 1(Y), а функция g(x) = max(0 ; x) -íåò.

Определение 1.2.8. Если функция f(x) измерима относительно -алгебры A с заданной на -алгебре A мерой , то ее интегралом Лебега по мере

называется предел

Z

f(x) (dx) :=

X

<k<

если этот предел существует и если ряд в правой части (1.2.8) сходится абсолютно при всех n.

Пусть ?0 внешняя мера для определенной равенством (1.108) борелевской меры. Отвечающую этой внешней мере меру Лебега мы будем называть классической мерой Лебега или просто мерой Лебега. На боре-

левской алгебре множеств отрезка [0 ; 1] мера Лебега, конечно, совпадает с мерой Бореля (1.108).

1.2.2Построение меры множества в схеме Данизля.

При построении интеграла по схеме Даниэля мера множества определяется через интеграл.

Итак, предположим, что нам задано множество X, пространство эле-

ментарных функций L0(X) и элементарный интеграл I0, причем выпол- нены условия 1.1.1-1.1.7. В этой части, как и в предыдущей, мы будем считать, что пространство элементарных функций L0(X) дополнительно удовлетворяет условиям 1.1.8 и 1.1.9, причем выполнено условие нормировки (1.5). Пусть I -интеграл и L(X) -пространство интегрируемых

функций, которые построены по схеме Даниэля на основе пространства элементарных функций L0(X) и элементарного интеграла I0.

Мы покажем, что в рассматриваемой ситуации интеграл I порождает некоторую -алгебру множеств в X и меру на этой -алгебре.

52

Определение 1.2.9. Множество A X измеримо (относительно интеграла I) , если его характеристическая функция интегрируема:

I(A j x) 2 L(X);

и мерой (A) множества A называется интеграл от его характеристиче- ской функции

Докажем, что определение 1.2.9 согласуется с определением меры, которое дано выше.

Теорема 1.2.1. Естественная область определения меры в смысле определения 1.2.9 есть -алгебра множеств и на этой -алгебре мера в

смысле определения 1.2.9 -аддитивна.

Доказательство теоремы мы разобъем на несколько лемм.

Лемма 1.2.1. Если множества A и B измеримы в смысле определения

ST

1.2.9 , то множества A B ; A B ; A n B тоже измеримы в смысле этого определения.

Доказательство. Если множества A è B измеримы в смысле определе-

ния 1.2.9, то согласно лемме 1.1.12 существуют такие последовательности fnA(x) ; fnB(x) элементарных функций, что

ï.â. : fnA(x) ! I(A j x) ; fnB(x) ! I(B j x) ; n ! 1:

Положим

n(x) = min(1 ; jfnA(x)j ; jfnB(x)j):

Очевидно, что

\

ï.â. : n(x) ! I(A B j x) ; n(x) 2 L(X) ; 0 n(x) 1:

По теореме Лебега о предельном переходе мы можем утверждать, что функция I(A TB j x) интегрируема, т.е. множество A TB измеримо. Но

\

I(A n B j x) = I(A j x) I(A B j x):

Лемма доказана.

Мы доказали, что измеримые в смысле определения 1.2.9 множества образуют алгебру множеств. Докажем, что эта алгебра есть -алгебра и

определенная на ней равенством (1.116) функция множеств -аддитивна.

53

Теорема 1.2.2. Пусть основное пространство X есть отрезок дей-

ствительной оси:

X = [a ; b] R1:

Если пространство элементарных функций L0([a ; b]) содержит все непрерывные функции:

C([a ; b]) L0([a ; b]);

то -алгебра всех измеримых в смысле определения 1.2.9 множеств содержит -алгебру борелевских множеств отрезка [a ; b], т. е. наименьшую -алгебру, которая содержит все открытые множества отрезка

[a ; b].

Доказательство. Пусть a < < < b. Нам достаточно доказать, что характеристические функции множеств [a ; ) ; ( ; ) ; ( ; b] интегри-

руемы.

Положим

n;1(x) = min(1 ; n( x)+);

n;2(x) = min(1 ; n( x)+ ; n(x )+);n;3(x) = min(1 ; n(x )+):

Тогда

8x : n;1(x) ! I([a ; ) j x) ; n ! 1; j n;1(x) 1;

8x : n;2(x) ! I(( ; ) j x) ; n ! 1; j n;2(x) 1;

8x : n;3(x) ! I(( ; b] j x) ; n ! 1; j n;3(x) 1

и интегрируемость соответствующих характеристических функций множеств вытекает из теоремы Лебега (см. 34). Теорема доказана.

Теорема 1.2.3. Пусть выполнены условия предыдущей теоремы, (dx) -порожденная интегралом мера 1.116,

Тогда:

1. Функция F (t) монотонно не убывает и непрерывна справа на отрезке [a ; b]:

8t 2 [a ; b] : F (t + 0) = F (t):

2. Если функция g(t) непрерывна на отрезке [a ; b], то справедливо равенство (1.122).

55

Доказательство. Монотонность функции F (t) очевидна. Докажем ее непрерывность справа. Пусть n ! +0 ; n ! 1. Справедливо равенство

\

[a ; t] = [a ; t + n]:

n

Отсюда следует, что

8(x 2 [a ; b]) : I([a ; t + n] j x) & I([a ; t] j x) ; n ! 1;

поэтому в силу теоремы Беппо Леви

Первое утверждение теоремы доказано.

Функция F (t) называется функцией распределения, порожденной мерой (dx). В дальнешем по умолчанию мы будем функцию распределения нормировать условием

F (a) = 0

[a0 ; b] ; a0 < a).

a = x0 < x1 < : : : < xn = b

разбиение отрезка [a ; b]. Пусть функция g(x) непрерывна на отрезке [a ; b]. Положим

] ; 0 j (n 1)) : gn(x) = g( j) ; j 2 (xj ; x(j+1)];n = maxfjxj+1 xjj j 1 j (n 1)g:

Функция gn(x) зависит от разбиения fxjg и выбора точек j, íî

è

jgn(x)j supfjg(x)j j x 2 [a ; b]g:

Далее мы замечаем, что

1.функция gn(x) постоянна на полуинтервалах (xj ; xj+1],

2.характеристическая функция полуинтервала (xj ; xj+1] есть разность характеристических функций отрезков [a ; xj+1] è [a ; xj].

56

Поэтому в силу теоремы Лебега

0 j n 1

Теорема доказана.

Сумма, которая стоит в правой части равенства (1.122), называется интегральной суммой Римана-Стильтьеса от функции g(x) по функции

распределения F (x), а интеграл, который получается как предел таких сумм, называется интегралом Римана-Стильтьеса и обозначается так:

Мы доказали, что если основное пространство есть отрезок [a ; b], ïðî-

странство элементарных функций содержит все непрерывные функции и в интеграле Даниэля интегрируемая функция непрерывна , то интеграл Даниэля может быть вычислен как предел интегральных сумм РиманаСтильтьеса.

Замечание 1.2.1. Легко видеть, что утверждение теоремы справедливо для более шерокого класса функций: функций g(x), которые можно представить как равномерный предел кусочно постоянных на полуинтервалах (xj ; xj+1] функций.

Пусть F (x) - непрерывная справа неубывающая функция на отрезке [a ; b] ; F (a) = 0. На множестве всех непрерывных функций C([a ; b]) определим элементарный интеграл формулой

Пусть I(g) интеграл Даниэля, построенный по определяемому формулой (1.124) элементарному интегралу I0(g).

Определение 1.2.10. Интеграл I(g) мы будем называть интегралом Лебега-Стильтьеса.

Мы будем обозначать интеграл Лебега-Стильтьеса символом

Z b

g(x)dxF (x) := I(g);

a

57

хотя его, вообще говоря, нельзя вычислить как предел интегральных сумм.

Обозначим -алгебру измеримых в смысле определения 1.2.9 множеств символм AI .

Лемма 1.2.3. Если функция f(x) интегрируема:

f(x) 2 L(X);

то она измерима относительно -алгебры AI .

Доказательство.Пусть f(x) 2 L(X). Нам нужно доказать, что характеристическая функция I(fx j f(x) < ag j x) интегрируема. Это следует из теоремы Беппо Леви и равенства

I(fx j f(x) < ag j x) = lim min(1 ; n(a f(x))+):

n!1

Измеримая функция может быть не интегрируема в смысле определения 1.2.8. Пример: функция f(x) = x 2 на полуинтервале (0 ; 1] с обычной

мерой Лебега. Однако справедлива

Лемма 1.2.4. Если функция f(x) измерима относительно меры (dx) и почти всюду по мере (dx) ограничена, то она интегрируема в смысле определения 1.2.8 по мере (dx):

Доказательство. Без оганичения общности мы будем считать, что

ï.â. jf(x)j 1:

В этом случае стоящая в правой части (1.115) сумма такова:

mj2n

Каждое слагаемое в этой сумме можно записать в виде

m2 n (fx j m2 n f(x) < (m + 1)2 ng) = 2m2 (n+1) (fx j 2m2 (n+1) f(x) < (2m + 1)2 (n+1)g)

+ 2m2 (n+1) (fx j (2m + 1)2 (n+1) f(x) < (2m + 2)2 (n+1)g)

Вычитая после этого из суммы Sn сумму Sn+1, мы легко получаем оценку

jSn Sn+1j const:2 n;

58