FA Арсеньев Функ.Ан

Функции

x 7!fjn(j+1)(x) fn(j)(x)j

интегрируемы, поэтому из сходимости этого ряда в силу теоремы Беппо Леви следует, что

и поэтому

Íî

X

(fn(j+1)(x) fn(j)(x) = fn(m+1)(x) fn(1)(x);

1 j m

поэтому

Òàê êàê

8 m: I(jfn(m)j) I(jfn(m) fn(1)j) + I(jfn(1)j) < 1 + I(jfn(1)j);

то к последовательности ffn(m)g мы можем применить лемму 1.1.15 и на основе этой леммы мы можем утверждать, что определенная равенством (1.85) функция f(x) принадлежит пространству L(X). Применяя лемму

1.1.15 к последовательности

m(x) = fn(m)(x) fk(x) ; k > N( );

мы получим, что

I(jf fkj) ; k > N( ):

Теорема доказана.

Если последовательность ffn(x)g удовлетворяет равенству (1.84) то говорят, что она сходится к функции f(x) в пространстве L(X). Èç òåî-

ремы Рисса-Фишера следует, что в этом случае из последовательности ffn(x)g можно выделить подпоследовательность, которая будет сходится

к функции f(x) почти всюду. Однако сама последовательность ffn(x)g

при этом может не сходится ни в одной точке. Приведем соответствующий классический пример.

39

Пример 1.1.14. На отрезке [0 ; 1] определим функции

но предела при fn; kg ! 1 у функций fn;k(x) не существует ни в одной точке x 2 [0 ; 1].

1.1.5Пространства Lp(X).

В этой части мы будем считать, что пространство элементарных функций L0(X), по которому мы строим интеграл, удовлетворяет условиям

1.1.8è 1.1.9.

Âсилу принятого нами условия 1.1.9 для любой основной функции

2 L0(X) выполнено включение

8p > 1 : j jp 2 L0(X) L(X):

Но, вообще говоря, может случиться так, что f(x) 2 L(X), но jf(x)jp 62 L(X) при p > 1. Примером может служить функция f(x) = x 1=p ; 0 < x 1. Так как эта функция неотрицательна и интегрируема по Риману в несобственном смысле на отрезке [0 ; 1], то она интегрируема по Лебегу, однако очевидно, что функция jf(x)jp не интегрируема по Лебегу на отрезке [0 ; 1]. Мы посвятим эту часть изучению функций, которые

обладают тем свойством, что они сами и некоторая степень их модуля интегрируемы.

40

Доказательство. Для доказательства неравенства (1.86) рассмотрим

функцию

(t) = 2p 1(1 + tp) (1 + t)p:

Эта функция удовлетворяет условиям:

(0) > 0 ; 8t : ddt (t) > 0:

Следовательно,

8(a 0 ; b > 0) : (a=b) > 0;

что эквивалентно (1.86).

Для доказательства неравенства (1.88) рассмотрим функцию

(t) = ap + tq at: p q

Справедливы утверждения:

(0) > 0 ; (1) = 1;

и существует единственная точка t = a1=(q 1), в которой производная функции равна нулю, причем сама функция в этой точке тоже равна нулю. Следовательно, 8 t > 0 : (t) 0; что эквивалентно (1.88). Лемма доказана.

Показатели степени p > 1 ; q > 1, которые удовлетворяют условию

(1.87), называются сопряженными показателями степени. Сопряженные показатели степени удовлетворяют условию:

p + q = pq:

Определение 1.1.13. Если выполнены условия 1.1.8 и 1.1.9, то мы говорим, что функция f(x) принадлежит пространству Lp(X), åñëè ñàìà

функция f(x) принадлежит пространству L(X) и функция jf(x)jp также принадлежит пространству L(X):

Лемма 1.1.17. Пространство Lp(X) есть линейное пространство: если функции f(x) ; g(x) принадлежат пространству Lp(X), то и их линейная комбинация f(x)+ g(x) принадлежит пространству Lp(X).

Доказательство. Достаточно доказать, что функция (x) = f(x)+g(x) принадлежит пространству Lp(X). Ранее мы уже доказали, что пространство L(X) есть линейное пространство, поэтому jf(x) + g(x)j 2 L(X). Осталось доказать, что jf(x) + g(x)jp 2 L(X). Согласно лемме

41

1.1.12 существуют такие последовательности элементарных функций fn(x) ; gn(x), ÷òî

Из 1.1.9 и (1.89) следует, что

jfn(x) + gn(x)jp 2 L(X) è ï.â. jfn(x) + gn(x)jp ! jf(x) + g(x)jp:

Но в силу неравенства (1.88):

jf(x) + g(x)jp 2p 1(jf(x)jp + jg(x)jp) 2 L(X);

поэтому в силу леммы 1.1.13

jf(x) + g(x)jp 2 L(X):

Лемма доказана.

Положим по определению

Теорема 1.1.4. Åñëè f(x) 2 Lp(X) ; g(x) 2 Lq(X), òî f(x)g(x) 2 L(X)

и справедливо неравенство Гельдера

Доказательство. Пусть последовательности элементарных функций fn(x) ; gn(x) удовлетворяют условию (1.89). Тогда

В силу леммы 1.1.13 отсюда следует, что jf(x)g(x)j 2 L(X). В неравенстве (1.92) сделаем замену f(x) 7!f(x)=kf j Lp(X)k ; g(x) 7!g(x)=kg j Lq(X)k и потом проинтегрируем. После умножения на kf j Lp(X)kkg j Lq(X)k получим (1.91). Теорема доказана.

Теорема 1.1.5. Åñëè f 2 Lp(X) ; g 2 Lp(X); то справедливо неравенство Минковского:

42

Доказательство. Åñëè p ; q -сопряженные показатели, то справедливы неравенства:

I(jf + gjp) I(jf + gjp 1jfj) + I(jf + gjp 1jgj)

I(jf + gj(p 1)q)1=qI(jfjp)1=p + I(jf + gj(p 1)q)1=qI(jgjp)1=p:

Разделив обе части полученного неравенства на I(jf + gj(p 1)q)1=q è ó÷è- тывая, что (p 1)q = p ; 1 1=q = 1=p; мы получим (1.93). Теорема доказана.

Теорема 1.1.6. Если последовательность функций ffn(x)g Lp(X) удовлетворяет условию:

òî

1. В пространстве Lp(X) существует такая функция f(x), что

2. Существует такая подпоследовательность fn(j)(x) последовательности fn(x), ÷òî

ï.â. fn(j)(x) ! f(x) ; j ! 1:

Если последовательность функций ffn(x)g Lp(X) удовлетворяет условию (1.94), то говорят, что она фундаментальна в пространстве Lp(X), а описываемое в утверждении 1 свойство пространства Lp(X)

называется полнотой пространства Lp(X).

Доказательство. Применяя неравенство Гельдера к (1.94) и учитывая условие 1.1.8, мы получаем:

Таким образом, при выполнении условия 1.1.8 фундаментальная в Lp(X) последовательность фундаментальна в L(X). Следовательно, из после-

довательности ffn(x)g можно извлечь такую подпоследовательность ffn(j)(x)g, ÷òî

Учитывая (1.94), мы получаем

ï.â. jfn(j)(x)jp ! jf(x)jp ; I(jfn(j)jp) C:

43

j(x) = fn(j)(x); ìû ïîëó- f(x) удовлетворяет

f(x) 2 L(X) ; jf(x)jp 2 L(X):

Применяя лемму 1.1.15 к последовательности j(x) = jfn(j)(x) fm(x)jp; мы получаем, что

I(jf fmjp) = I( lim jfn(j) fmjp) ; m > N( ):

j!1

Теорема доказана.

Если функция f(x) 1 не принадлежит пространству L(D), òî Lp- норма функции f и пространство Lp(D) обычно определяются так, что в

правой части (1.90) стоит несобственный интеграл в смысле определения 1.1.11.

Остановимся на этом подробнее. Пусть выполнены условия 1.1.11. Тогда мы определяем пространство Lp(D) òàê.

Определение 1.1.14. Мы говорим, что заданная в области D функция f(x) принадлежит пространству Lp(D)

\

8 m: f(x)I(D K(m) j x) 2 Lp(K(m))

и конечен предел

и в это случае мы по определению полагаем

Для определенной равенством (1.98) Lp-нормы справедливы неравен-

ства Гельдера и Минковского: для доказательства этого утверждения достаточно выписать соответствующие неравенства в каждом прстранстве Lp(K(m)) и потом перейти к пределу m ! 1: Пространство Lp(D)

с определенной равенством (1.98) Lp-нормой полно. Доказательство про-

водится небольшим изменением доказательства теоремы 1.1.6: замеча- ем, что из того, что последовательность ffng фундаментальна в смысле нормы (1.98), следует, что она фундаментальна по норме каждого пространства Lp(D TK(m)), и поэтому с помощью диагонального процесса

последовательность ffn(j)g можно выбрать так, что она будет сходиться в

T

каждом пространстве L(D K(m)). Дальнейшие рассуждения остаются

без изменения.

Остановимся на операции предельного перехода в простанстве Lp(D) для того случая, когда норма определяется равенством (1.98).

44

Лемма 1.1.18. Пусть 1 p < 1 и функциональная последовательность ffn(x)g Lp(D) удовлетворяет условиям:

Тогда определенная в равенстве (1.99) функция f(x) принадлежит пространству Lp(D) è

Для доказательства достаточно проверить, что из условий (1.99) и (1.100) следует, что последовательность ffng фундаментальна в норме пространства Lp(D).

Для пространства Lp(Rd) можно дать следующее уточнение леммы 1.1.18

Лемма 1.1.19. Пусть K(m) -куб в пространстве Rd : K(m) = fx j

x = (x1; : : : ; xd) ; jxij m:g: Пусть функциональная последовательность ffn(x)g Lp(Rd) при некотором p ; 1 p < 1; удовлетворяет следующим условиям.

Тогда определенная равенством (1.102) функция f(x) принадлежит пространству Lp(Rd) è

Z

lim jfn(x) f(x)jp dx = 0:

n!1

Чтобы пояснить роль условия (1.100) рассмотрим последовательность

fn(x) = exp( (x n)2)

в пространстве L1(R1): ßñíî, ÷òî

Z a

8a ; b : exp( (x n)2) dx ! 0 ; n ! 1;

b

45

Условия (1.100)-(1.103) аналогичны условию равномерной сходимости несобственного интеграла Римана и является упрощенным вариантом условия равномерной интегрируемости (см. [4, 5]). При исследовании вопроса о предельном переходе в интеграле условия типа равномерной интегрируемости обычно налагаютя в том случае, если интеграл понима-

ется как несобственный или как интеграл по -конечной, но не конечной мере.

Заметим, что в определении 1.1.14 не предполагается, ÷òî f(x) 2 L(D). Рассмотрим пример. Пусть

f(x) = (x(x + 1)2(x 1) 2 ln2 x) 1= ; > 1:

Легко проверить, что f(x) 2 L ([0 ; 1)), íî f(x) 62Lp([0 ; 1)) ; p 6= :

1.2Мера и измеримые функции.

1.2.1Сводка основных определений теории меры.

Понятие меры часто встречается в анализе и математической физике. Приведем краткую сводку соответствующих определений. Подробно с этими понятиями в классической трактовке можно ознакомиться по приведенному в конце главы списку литературы. В следующем пункте мы разберем, как эти понятия вводятся в принятой нами схеме Даниэля.

Определение 1.2.1. Система A подмножетсв множества X называется алгеброй множеств, если выполнены условия:

1: ; 2 A ; X 2 A:

\[

2: 8(A 2 A ; B 2 A) : A B 2 A ; A B 2 A ; A n B 2 A:

Алгебра множеств называется -алгеброй, если она замкнута относительно счетных объединений и пересечений множеств:

[\

8(Ai 2 A) : Ai 2 A ; Ai 2 A:

i

Поскольку -алгебра есть алгебра множеств, то было бы достаточ- но потребовать замнутости только относительно счетных объединений множеств: в силу формул де Моргана отсюда уже следовало бы, что -

алгебра замкнута относительно образования счетных пересечений множеств и их дополнений.

46

Рассмотрим отрезок [0 ; 1]. Наименьшая -алгебра, которая содержит все открытые интервалы (a ; b) [0 ; 1], называется борелевской алгеброй множеств отрезка [0 ; 1].

Åñëè X -топологическое пространство, то борелевской алгеброй множества X называется наименьшая -алгебра, которая содержит все открытые подмножества множества X.

Алгебру борелевских множеств топологического пространства X мы будем обозначать символом B(X).

Определение 1.2.2. Заданная на -алгебре A функция множеств

: A 7![0 ; 1]

называется мерой, если она удовлетворяет условиям нормировки:

и -аддитивна:

\X X

Иногда условие -аддитивности не включается в определение меры. Из (1.105) следует, что -аддитивная мера удовлетворяет условию:

åñëè An такая система подмножеств множества X, ÷òî

n

òî

(An) ! 0 ; n ! 1: (1.107) Для доказательства этого утверждения достаточно заметить, что

[

C(An) = C(An) n C(An 1); A0 = ;;

1 m n

поэтому

1 = (X) = lim (C(An)) =

n!1

1 lim (An):

n!1

-аддитивные меры также называют счетно-аддитивными мерами.

Часто рассматривают меры, которые не удовлетворяют условию нормировки, а меры, которые этому условию удовлетворяют, называют вероятностными мерами. В этом параграфе мы будем рассматривать меры, которые удовлетворяют условию нормировки, т.е. вероятностные меры.

47

Можно доказать, что существует единственная мера 0, область за- дания которой есть борелевская алгебра подмножеств отрезка [0 ; 1] и которая удовлетворяет условию

Эту меру мы будем называть стандатрной мерой Бореля или просто

борелевской мерой на отрезке [0 ; 1].

Åñëè X -топологическое пространство, то в общем случае борелевской мерой на пространстве X называется любая мера, область определения которой есть наименьшая -алгебра, содержащая все открытые подмножества множества X.

Если на -алгебре A задана некоторая мера , то отвечающей этой мере внешней мерой называется функция множеств ?, которая для всех подмножеств множества X определена равенством

Определение 1.2.3. Множество A X называется измеримым по Лебегу, если выполнено равенство

и в этом случае мерой Лебега множества A называется число ?(A):

Множество всех измеримых по Лебегу множеств образует -алгебру, которая зависит как от исходной -алгебры A, так и от меры . Обозна-

чим эту -алгебру символом Ext (A): Она называется лебеговским расширением -алгебры A. Функция множеств ?(A) на -алгебре Ext (A)

определяет меру, которую называют лебеговским продолжением меры (или мерой Лебега) и обозначают тем же символом .

Определение 1.2.4. Заданная на -алгебре A мера называется полной мерой, если из того факта, что Z A ; A 2 A ; (A) = 0 следует, что Z 2 A ; (Z) = 0:

Мера Лебега полна, а лебеговское расширение -алгебры с заданной

на ней счетно-адитивной мерой можно получить (см. доказательство в [9]

. гл. 1, предложение 1.4.6). , если дополнить область определения меры всеми подмножествами множеств меры ноль и на этих подмножествах доопределить меру нулем.

48