- •Министерство образования и науки
- •1. Введение
- •1.1. Вопросы организации изучения курса
- •1.2. Основные элементы геометрического моделирования
- •1.3. Условные обозначения и символы
- •1.4. Основы графического моделирования
- •Виды (способы) проецирования
- •1.5. Свойства ортогонального проецирования
- •1.6. Разновидности графических задач
- •Вопросы для самоконтроля
- •2. Получение обратимого чертежа, задание на нём точки
- •Вопросы для самоконтроля
- •3. Прямые линии на чертеже
- •3.1. Прямые частного положения на чертеже
- •3.2. Прямые общего положения на чертеже. Решение с ними метрических задач
- •Алгоритм решения
- •3.3. Определение по чертежу взаимного положения прямой и точки
- •Примеры решения задач
- •Алгоритм решения
- •3.4. Определение по чертежу взаимного положения прямых линий
- •1. Определение по чертежу параллельных прямых линий
- •2. Определение по чертежу пересекающихся прямых линий (позиционные задачи)
- •2.1. Определение по чертежу перпендикуляно пересекающихся прямых (комплексные задачи)
- •3. Определение по чертежу скрещивающихся прямых (позиционные задачи)
- •4. Определение по чертежу перпендикулярно скрещивающихся прямых (комплексные задачи).
- •Примеры решения задач о взаимном положении прямых
- •Вопросы для самоконтроля
- •4.Кривые линии на чертеже
- •Свойства проекций кривых линий
- •Вопросы для самоконтроля
- •5. Плоские поверхности на чертеже
- •5.1. Разновидности плоских поверхностей
- •5.2. Определение по чертежу положения плоскостей относительно основных плоскостей проекций
- •Алгоритм решения
- •Алгоритм решения
- •5.4. Определение по чертежу взаимного положения плоскостей и прямых линий
- •5.4.1. Параллельные прямая и плоскость на чертеже
- •Алгоритм решения
- •5.4.2. Параллельные плоскости на чертеже
- •Алгоритм решения:
- •5.4.3. Пересечение плоской поверхности с прямой линией на чертеже
- •Решение задач 1.Гпз. 1 (,) Алгоритм решения
- •Алгоритм решения
- •Решение задач 1.Гпз . 2 ( , не) Алгоритм решения
- •Алгоритм решения
- •Алгоритм решения
- •Алгоритм решения
- •Алгоритм решения
- •5.4.4. Пересечение плоских поверхностей на чертеже
- •Алгоритм решения
- •5.4.5. Взаимно перпендикулярные прямая линия и плоскость общего положения на чертеже
- •Алгоритм решения
- •5.4.6. Взаимно перпендикулярные плоскости общего положения на чертеже
- •Алгоритм решения
- •Вопросы для самоконтроля
- •6. Кривые поверхности на чертеже
- •6.1. Основные разновидности кривых поверхностей
- •1. Кривые поверхности с прямолинейными образующими
- •1.1.Цилиндрическая поверхность
- •1.2. Коническая поверхность
- •1.3. Поверхности вращения с прямолинейными образующими
- •1.5. Винтовые поверхности с прямолинейными образующими (геликоиды)
- •2. Поверхности вращения с криволинейной образующей
- •Частные разновидности поверхностей вращения
- •1. Торовая поверхность
- •Разновидности торовых поверхностей:
- •2. Эллипсоид вращения
- •2. Каналовые поверхности
- •6.2. Принадлежность кривой поверхности её элементов на чертеже
- •6.3. Пересечение кривой поверхности с прямой
- •Алгоритм решения
- •Алгоритм решения
- •Алгоритм решения
- •Решение
- •6.5. Взаимное пересечение кривых поверхностей на чертеже (2.Гпз)
- •Алгоритм решения
- •Алгоритм решения:
- •Алгоритм решения
- •Алгоритм решения
- •Возможны следующие четыре варианта
- •Решение
- •Особенности решения задач на пересечение
- •Решение
- •Вопросы для самоконтроля
- •7. Решение задач с преобразованием чертежа
- •7.1. Решающие положения прямых линий и плоскостей на чертеже Решающие положения для прямых линий
- •Решающие положения для плоскостей
- •7.2. Преобразование чертежа методом введения дополнительных ортогональных плоскостей проекций
- •Решение первой задачи
- •Решение второй задачи
- •Решение первой задачи
- •Решение второй задачи
- •Вопросы для самоконтроля
- •8. Конструктивные задачи графического моделирования
- •8.1. Примеры конструктивных задач
- •Решение
- •Алгоритм построения
- •Алгоритм построения
- •9.2. Построение развёрток кривых поверхностей
- •Алгоритм построения
- •Алгоритм построения
- •Алгоритм построения
- •Алгоритм построения
- •10. Построение аксонометрических изображений
- •11. Библиографический список
Решение
Для решения подобных задач вместо проецирующих плоскостей-посредников рациональнее использовать концентрические секущие сферы-посредники с центрами в точке пересечения осей вращения заданных поверхностей.
Концентрические сферы пересекают заданные фигуры по параллелям - окружностям. При этом задача сводится к решению нескольких задач с поверхностями вращения, у которых совпадают оси вращения
(смотри ранее рассмотренный Пример 1).
Точки пересечения построенных параллелей являются искомыми общими точками заданных фигур: точками линии их пересечения.
Особенности решения задач на пересечение
поверхностей вращения, описанных вокруг сферы (теорема Г. Монжа)
Две поверхности вращения второго порядка в общем случае пересекаются по пространственной кривой четвёртого порядка. Однако в некоторых частных случаях эти кривые выраждаются в плоские кривые линии второго порядка. Известный французский геометр Г. Монж доказал следующую теорему: Если две поверхности вращения описаны вокруг сферы, то результатом их взаимного пересечения являются две плоские кривые второго порядка.
Пример (рис. 6.43). Построить фронтальные проекции линий пересечения двух цилиндров и , описанных вокруг сферы .
CD
mA= (B)
m
FE
Рис. 6.43
Решение
Плоскости кривых линий пересечения фигур m проходят через прямую, соединяющую точки двойного соприкосновения. Точками двойного соприкосновения называют 2 точки, в которых сфера одновременно касается обеих поверхностей. В нашем случае точками двойного соприкосновения являются точки А и В. Они определяются как точки пересечения окружностей a и b, по которым цилиндры касаются вписанной сферы . Плоскости кривых пересечения фигур m занимают фронтально - проецирующее положение и проходят через точки пересечения главных меридиан, т.е. через точки C, D, E, F. Линии пересечения заданных фигур m являются эллипсами.
Вопросы для самоконтроля
1. Назвать основные разновидности кривых поверхностей.
2. Какие правила используют при построении точек или линий заданной кривой поверхности?
3. Назвать порядок решения задач (алгоритм) – 1.ГПЗ с кривыми поверхностями.
4. Назвать порядок решения задач (алгоритм) – 2.ГПЗ с кривыми поверхностями.
5. Какие виды линий можно получить, пересекая цилиндр вращения плоскостью?
6. Какие виды линий можно получить, пересекая конус вращения плоскостью?
7. В чём смысл теоремы Г.Монжа о пересечении поверхностей вращения?
7. Решение задач с преобразованием чертежа
Любые графические задачи (позиционные, метрические, комплексные) значительно упрощаются, если геометрические фигуры занимают частное положение относительно плоскостей проекций, т.е. они или параллельны, или перпендикулярны им. Такое положение фигур позволяет сразу получить на чертеже требуемое решение, поэтому его называют решающим положением.
Например, истинная величина отрезка определится сразу по чертежу, если отрезок займёт положение прямой уровня.
Чтобы получить решающее положение фигуры, чертёж преобразовывают, строя новые (дополнительные) проекции фигуры на основе имеющихся проекций.
Применяют следующие способы преобразования чертежа.
1. Вращение заданной фигуры вокруг проецирующей оси (рис. 7.1).
и.в. |AB| B
A
A
A
AB
Рис. 7.1
2. Вращение фигуры вокруг прямой уровня (рис. 7.2).
3. Введение новых, дополнительных плоскостей проекций, ортогональных к уже используемым в чертеже плоскостям проекций и относительно которых рассматриваемая геометрическая фигура займёт решающее положение.
и.в. |AB| B
f= i
A
A
C
ACB
B
ив |AB|
f= i
A
Рис. 7.2