Лекции по алгебре.Баскаков

ния (8) (т.е. sup k x(n) k= 1).

n 1

Т е о р е м а 2. Разностное уравнение (8) (матрица A)

1)устойчиво тогда и только тогда, когда (A) D = f 2 C :j j 1g

идля любого собственного значения 0 c j 0 j= 1 его алгебраическая и геометрические кратности совпадают;

2)асимптотические устойчиво в точности тогда, когда спектральный радиус r(A) оператора A меньше единицы;

3)неустойчиво только в том случае, если выполнено одно из условий: a)

r(A) > 1; б) существует собственное значение 0; j 0 j= 1; и его геометрическая кратность не совпадает с алгебраической.

Если j p j> 1 для одного из собственных значений p оператора A, то для любого собственного вектора x0 2 E( p; A) получаем Anx0 = np x0: Поскольку k x0 k=j p jnk x0 k! 1 при n ! 1; то решение x(n) = Anx0; n 1; разностного уравнения (8) неустойчиво.

Если оператор A имеет собственное значение p c j p j= 1 и его алгебраическая и геометрические кратности не совпадают, то рассмотрим некоторый собственный вектор e1 и присоединенный к нему вектор e2 таких, что

Ae1 = pe1; Ae2 = e1 + pe2:

Тогда Ane2 = n pe1 + np e2 и поэтому k Ane2 k=k n pe1 + np e2 kj n j p jk e1 k k e2 kj! 1 при n ! 1: Значит, и в этом случае разностное уравнение (8) неустойчиво.

Пусть теперь собственное значение p обладает свойством j p j< 1:

Тогда для любого вектора x из отвечающего ему корневого подпространства

Xp получаем, что Ax = px + Qpx; где Qp - нильпотентный оператор и при

нильпотентности оператора Qp ). Если же p = 0; то A x = 0 8n np:

Если j p j= 1; причем геометрическая и алгебраическая кратности сов-

падают для p; то сужение Ap оператора A на подпространство Xp является скалярным оператором, т.е. Ap = pIp: Поэтому Anx = np x 8x 2 Xp и, значит, k Anx k=k x k для всех n 1:

LL

Поскольку X = X1 Xm; то все утверждения теоремы следуют из проведенного выше анализа поведения степеней оператора A на векторах

из инвариантных подпространств Xp; 1 p m: Теорема доказана.

Отметим, что для матрицы A вида (4), возникающей при определении последовательности, определяемый соотношениями (1), её характеристиче-

ский многочлен pA имеет вид

pA( ) = ( 1)m( m 1 m 1 m 1 m); 2 C:

Т е о р е м а 3. Для любого оператора A 2 L(X) имеет место равенство

p

r(A) = lim n k An k:

n!1

Доказательство. Поскольку (An) = f n; 2 (A)g } (см. теорему 5, § 33), то r(An) = r(A)n: Поэтому из леммы 1, § 37 получаем, что

(докажите это!) для некоторого m 2 N и поэтому k An k (r(A)+")n; n m;

или, эквивалентно k An k r(A) + " 8n m: Поскольку величина " > 0

p

произвольна, то вспоминая неравенство r(A) n k An k; приходим к заклю-

p

чению, что предел lim n k An k существует и равен r(A):

n!1

Упражнения к § 40

1. Определить последовательность x : N ! R; если

x(n + 2) = 12(x(n) + x(n + 1); x(1) = 0; x(1) = 1=2:

F (1) = 1 и F (2) = 3 и следовал тому же правилу F (k +2) = F (k +1)+

F (k): Найти последовательность F и показать, что последовательность f(k + 1)=f(k); k 1 по-прежнему стремится к "золотому сечению".

3.Какие значения числа 2 R приводят к неустойчивости системы разностных уравнений

1, но матрица A не является устойчивой.

x 41. Неотрицательные матрицы

Излагаемые в этом параграфе понятия и результаты находят широкое применение в математической экономике. Надеюсь, что используемая здесь терминология не приведет к путанице, которая может возникнуть в связи с использованием близких по названию терминов из § 37.

Определение 1. Матрицу A = (aij) 2 Matrm;n(R) назовем неотрицательной, и будем писать A 0; если aij 0: Если aij > 0 для всех

1 i m; 1 j n; то матрица A называется положительной и будет использовано обозначение A > 0:

На множестве (прямоугольных) матриц Matrm;n(R) введем отношение порядка

A B; если B A 0 для A; B 2 Matrn(R):

Таким образом, Matrm;n(R) - частично упорядоченное множество (как и множество Rn; см.x 2).

300 Глава 3. Линейная алгебра

Для любой матрицы A = (aij) 2 Matrm;n(R) положим j A j= (j aij j) 2

Matrm;n(R): Если x = (x1; : : : ; xn) 2 Cn; то j x j= (j x1 j; : : : ; j xn j) 2 Rn:

Все утверждения следующих лемм следуют из определений (докажите их !).

Лемма 1. Пусть A; B 2 Matrm;n(Rn): Тогда 1) j A j 0 и j A j= 0 , A = 0;

2) j A j=j j j A j 8 2 R;

3) j A + B j j A j + j B j;

4) если A; B 0; то A 2 B 0 8 ; > 0;

5) если A B и D( ; D 2 Matrm;n(R)); то A + C B + D: Лемма 2. Пусть A; B 2 Matrn(R) и x 2 Cn: Тогда

1)j Ax j j A jj x j;

2)j AB j j A jj B j;

3) j Am j j A jm m 2 N;

4) если 0 AB; то 0 Am Bm 8m 2 N;

5)если A > 0; 0 6= x 0; то Ax > 0;

6)если в Cn введена одна из норм примера 4, § 16, то k A kk A k (A и

A операторы из L(Cn); определенные матрицами A и j A j соответственно) и если j A j j B j; то и k A k k B k :

Т е о р е м а 1. Пусть A; B 2 Matrn(R) и A; B 2 L(Cn) - операторы, определяемые этими матрицами. Если jAj j B j; то r(A) = r(A)

r(j A j) r(B) = r(B):

Доказательство. Согласно свойствам 3 и 4 леммы 2 j An j j A jn Bn

8n 1: Далее, из свойства в той же леммы имеют место неравенства k An k kj A jnk k Bn k

p p p

n k An k n kj A jnk n k Bn k; n = 1; 2; : : : :

Переходя к пределу при n ! 1; из теоремы 3, § 4 получаем r(A)

r(j A j)r(B): Теорема доказана.

Следствие 1. Если A; B 2 Matrn(R) и 0 A B; то r(A) r(B):

Следствие 2. Если 0 A = (aij) 2 Matrn(R); то max aii r(A):

1 i n

r(A) k A k для любого линейного оператора A 2 L(Rn) при любом выборе нормы в Rn: Следовательно (см. следствие 2, § 20) r(A) k A k=k A k

для A 2 L(Rn); определяемого матрицей A: Если же строчные суммы мат-

Рассматривая столбцовые суммы, можно использовать те же доводы

применительно к At; при этом учитывая, что r(A) = r(At) (см. упр. 27, § 37). Лемма доказана.

Следствие 4. Если A - марковская матрица из Matrn(R); то r(A) = 1:

Т е о р е м а 2. Пусть A = (aij) 2 Matrn(R) - неотрицательная

матрица. Тогда

= r(B) r(A) согласно следствию 1. Таким же образом устанавливаются верхние оценки. Оценки со столбцовыми суммами для A вытекают из оценок

Доказательство. Рассмотрим диагональную матрицу S с диагональ-

ными элементами x1; : : : ; xn: Поскольку r(S 1AS) = r(A) и S 1AS 0; то применив теорему 2 к матрице S 1AS = (aijxjxi 1); получим доказываемые неравенства. Теорема доказана.

Следствие 6. Если 0 A 2 Matrn(R); 0 < x 2 Rn и числа ; 0

таковы, что x Ax x; то r(A) : Если x < Ax; то < (A);

если Ax < x; то r(A) < :

Лемма 2. Пусть A 2 Matrn(R) - положительная матрица, Ax = x; x 6= 0 и j j= r(A): Тогда A j x j= r(A) j x j :

Доказательство. Из условий леммы получаем

r(A) j x j=j j j x j=j x j=j Ax j j A j j x j= A j x j;

так что y = A j x j r(A) j x j 0: Поскольку j x j 0 и x 6= 0; то согласно свойству 5 леммы 1, A j x j> 0: Следствие 4 также гарантирует, что r(A) > 0: Поэтому, если y = 0; то A j x j= r(A) j x j и j x j= r(A) 1A j x j> 0:

Если y 6= 0; то z = A j x j> 0 и, вновь согласно свойству 5 леммы 2, получаем 0 < Ay = Az r(A)z или Az > r(A)z: Из следствия 6 получаем

противоречивое неравенство r(A) > r(A): Значит, y = 0: Лемма доказана.

Следствие 7. Пусть 0 A 2 Matrn(R): Если x > 0 - собственный вектор для A; то отвечающее ему собственное значение совпадает с r(A):

Доказательство. Если x > 0 и Ax = x; то 0 и x Ax x;

но тогда согласно следствию 6, r(A) : Следствие доказано.

Те о р е м а 4. Пусть A 2 Matrn(R) и A > 0: Тогда r(A) > 0; r(A)

-собственное значение для A и существует положительный вектор x такой,

что Ax = r(A)x:

Доказательство. Пусть 2 (A) с j j= r(A) > 0 и x - отвечающий собственному значению собственный вектор. Из леммы 2 следует, что

A j x j= r(A) j x j : Теорема доказана.

Следствие 7. Если A - положительная марковская матрица, то r(A) = 1 и существует положительный собственный вектор x такой, что

Ax = x:

Сформулированное утверждение вытекает из следствия 4 и теоремы 4.

Лемма 3. Если 0 < A 2 Matrn(R); Ax = x; x 6= 0 и j j= r(A):

Тогда для некоторого 2 T имеем x =j x j> 0:

Доказательство. Согласно условиям леммы, j Ax j=j x j= r(A) j x j

и тогда из леммы 2 следует, что A j x j= r(A) j x j и j x j> 0: Из этих двух равенств получаем

Значит, комплексные (ненулевые) числа akjxj; 1 j n; расположены в плоскости на одном луче. Это влечет существование угла ' 2 [0; 2 ) такого, что akjxj > 0 для = e i' и всех k; j = 1; : : : ; n: Лемма доказана.

Т е о р е м а 5. Пусть матрица A 2 Matrn(R) положительна. Тогда любое собственное значение 2 (A); 6= r(A); удовлетворяет неравенству j j< r(A):

Доказательство. Предположим, что j j= r(A) и Ax = x; x 6= 0:

Согласно лемме 3, Ay = y; где y = x > 0 для некоторого 2 : Отсюда

ииз следствия 7 получаем, что = r(A): Теорема доказана.

Те о р е м а 6. Если 0 < A 2 Matrn(R); то геометрическая кратность собственного значения r(A) равна единице.

Доказательство. Докажем одномерность собственного подпространства E(r(A); A): Пусть x; y - собственные векторы из Cn; отвечающие соб-

ственному значению r(A): Из леммы 3 следует существование чисел 1;

то же время Az = Ay Ax = r(A)y r(A)x = r(A)z: Поэтому, если

305

ЛИ Т Е Р А Т У Р А

1.Воеводин В.В. Линейная алгебра / В.В.Воеводин. - М.: Наука, 1980.

2.Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре / И.М.Гельфанд. - М.: Наука, 1971.

3.Глазман И.М. Конечномерный линейный анализ / И.М.Глазман, Ю.М.Любич. - М.: Наука, 1969.

4.Грей П. Логика, алгебра и базы данных / П.Грей. - М.: Мир, 1989.

5.Икрамов Х.Д. Задачник по линейной алгебре / Х.Д.Икрамов. - М.: Наука, 1975.

6.Ильин В.А. Линейная алгебра / В.А.Ильин, Э.Г.Позняк . - М.: Наука,

1974.

7.Колмогоров А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А.Н.Колмогоров, С.В.Фомин. - М.: Наука, 1980.

8.Кук Д. Компьютерная математика / Д.Кук, Г.Бейз. - М.: Мир, 1990.

9.Курош А.Г. Курс высшей алгебры / А.Г.Курош. - М.: Физматгиз, 1975.

10.Стренг Г. Линейная алгебра и её применения / Г.Стренг. - М.: Наука,

1980.

11.Фаддеев Д.К. Сборник задач по высшей алгебре / Д.К.Фаддеев, Н.С.Соминский. - М.: Наука, 1977.

12.Халмош П. Конечномерные векторные пространства / П.Халмош. - М.: Мир, 1963.

13.Сборник задач по алгебре / под ред. А.И.Кострикина. - М.: Факториал, 1995.

14.Кострикин А.И. Введение в алгебру / А.И.Кострикин. Часть I. Основы алгебры: Учебник для вузов. - 2-е изд., исправл. - М.: Физико-математи- ческая литература, 2001.

15.Кострикин А.И. Введение в алгебру / А.И.Кострикин. Часть II. Линейная алгебра: Учебник для вузов. - 2-е изд., исправл. - М.: Физико-матема-

306

тическая литература, 2001.

16.Кострикин А.И. Введение в алгебру / А.И.Кострикин. Часть III. Основные структуры: Учебник для вузов. - 2-е изд., исправл. - М.: Физикоматематическая литература, 2001.

17.Сборник задач по алгебре / К.Койбаев. Основы алгебры. - Владикавказ: Изд-во СОГУ. - 2002.