Лекции по алгебре.Баскаков

12.Покажите, что линейное пространство C[ 1; 1] есть прямая сумма подпространств нечетных и четных функций (рекомендация: учтите, что f(x) = [f(x) f( x)]=2 + [f(x) + f( x)]=2):

13.Найдите размерность произведения X1 X2 для линейных пространств X1 и X2 .

14.Пусть X1 и X2 – подпространства из линейного пространства X со свой-

T

ством dim X1 + dim X2 > dim X: Докажите, что dim(X1 X2) 1:

15.Для любых подпространств X1 X2 из линейного пространства X через X1+X2 обозначим множество векторов вида fx1+x2 : x1 2 X1; x2 2 X2g:

x 16. Линейные нормированные пространства

Множество, наделенное некоторой структурой, т.е. множество с установленными соотношениями между его элементами или операциями над ними, называют пространством. Обычно структуру множества относят к числу геометрических либо алгебраических структур. Так, линейные пространства есть множества, наделенные определенными алгебраическими структурами. В этом параграфе мы введем понятие расстояния, которое по своей природе является геометрическим. Определяемые далее линейные нормированные пространства одновременно наделяются двумя структурами: алгебраической (являясь линейным пространством) и геометрической (на нем введено понятие расстояния), причем эти структуры определенным образом согласованы.

Определение 1. Пусть X – непустое множество. Расстоянием или метрикой на X называется функция : X X ! R, удовлетворяющая следующим свойствам (аксиомам):

которые выполняются для всех элементов x; y; z 2 X: Число (x; y) называется расстоянием между элементами x и y. Множество X , на котором опре-

98 Глава 3. Линейная алгебра

делено расстояние ; называется метрическим пространством; для него используется обозначение (X; ):

Пример 1. Пусть X = R или X = C: Тогда функция (x; y) = jx yj; : X X ! R является расстоянием.

Пример 2. Пусть X = Rn ( X = Cn): Множество Rn (или Cn) становится метрическим пространством, если ввести расстояние формулой

Пример 3. Пусть X – произвольное непустое множество. Положим d(x; y) = 1; если x 6= y и d(x; y) = 0 для x = y: Функция d : X X ! R

является расстоянием. Такое метрическое пространство называется дискретным.

Определение 2. Пусть X – метрическое пространство с метрикой; x0 2 X и r > 0: Множества

B(x0; r) = fx 2 X : (x; x0) < rg;

B(x0; r) = fx 2 X : (x; x0) rg;

S(x0; r) = fx 2 X : (x; x0) = rg = B(x0; r) n B(x0; r)

называются соответственно открытым шаром, замкнутым шаром и сферой

с центром в точке x0 2 X и радиусом r > 0:

Отметим, что в дискретном метрическом пространстве сфера S(x0; r) пуста, если r < 1:

Определение 3. Последовательность (xn) = (x1; x2; : : : ) элементов метрического пространства X называется сходящейся к элементу x0 2 X; если

lim (xn; x0) = 0 или 8 " > 0 9N 2 N; что (xn; x0) < " 8n 2 N: Эле-

n!1

мент x0 называется пределом последовательности (xn) и используется запись

lim xn = x0:

n!1

Определение 4. Последовательность (xn) из метрического пространства X называется фундаментальной или последовательностью Коши, если

8" > 0 9N 2 N такое, что (xn; xm) < " 8n; m > N:

Т е о р е м а 1. Всякая сходящаяся к элементу x0 из метрического пространства (X; ) последовательность (xn) является фундаментальной.

Доказательство. Пусть " > 0: Из условия сходимости последовательности (xn) к элементу x0 следует существование числа n0 2 N такого, что

(xn; x0) < "=2 8n > n0: Тогда для любых n; m > n0 из неравенства треугольника получаем

(xn; xm) (xn; x0) + (xm; x0) < ":

Теорема доказана.

Определение 5. Метрическое пространство X называется полным, если всякая фундаментальная последовательность из X сходится к некоторому элементу из X .

Отметим, что метрические пространства R и C полны. Примеры других полных метрических пространств будут указаны несколько позже.

В линейных пространствах расстояние обычно определяют, используя понятие нормы (длины) векторов.

Определение 6. Линейное пространство X над полем K , которое совпадает с R либо с C, называется нормированным, если задана функция ' : X ! R (величина '(x) называется нормой вектора x и обозначается символом jjxjj), удовлетворяющая следующим условиям (аксиомам):

1)jjxjj 0 и jjxjj = 0 () x = 0;

2)jj xjj = j jjjxjj;

3)jjx + yjj jjxjj + jjyjj;

для любых векторов x; y 2 X и любого числа 2 K .

Замечание 1. Любое линейное нормированное пространство X является метрическим, если положить (x; y) = jjx yjj; x; y 2 X: Если выполнение первых двух свойств расстояния очевидно, то неравенство треугольника следует из свойства 3) нормы:

(x; y) = jjx yjj = jjx z + z yjj jjx zjj + jjz yjj = (x; z) + (y; z):

Таким образом, все понятия для метрических пространств естественным образом формулируются для линейных нормированных пространств. Так, например, последовательность (xn) из линейного нормированного пространства

X называется сходящейся к вектору x0 2 X; если lim jjxn x0jj = 0.

n!1

Особо выделим шар B(0; 1) = fx 2 X : jjxjj 1g; который обозначим символом B1 или B(1):

Рассмотрим несколько примеров линейных нормированных пространств.

Пример 4. Линейное пространство Kn , где K = R, либо K = C; является нормированным. Например, можно ввести на следующие три нормы

где x = (x1; : : : ; xn) 2 Kn:

В зависимости от выбора одной из трех указанных норм в R2 получаем следующие три шара B(0; 1) соответственно

Рис. 14

Пример 5. Линейное пространство C[a; b] является нормированным, если ввести норму следующей формулой

jjxjj = max jx(t)j; x 2 C[a; b]:

t2[a;b]

Конечность величины jjxjj для x 2 C[a; b] следует из теоремы Вейерштрасса. Первые две аксиомы нормы проверяются совсем легко (проверьте !). Докажем выполнение третьей аксиомы. Если x; y; z – функции из C[a; b], то для любого t0 2 [a; b] имеет место неравенство

jx(t0) + y(t0)j jx(t0)j + jy(t0)j max jx(t)j + max jy(t)j jjxjj + jjyjj

t2[a;b] t2[a;b]

Пример 6. В каждом из линейных пространств Pn(K) (где K = R или K = C), C[a; b] введем в рассмотрение следующие две нормы

где a; b 2 R и a < b: Отметим, что если jjfjj1 = 0; то f(t) = 0 8t 2 [a; b] и поэтому в силу основной теоремы высшей алгебры f = 0. Если же jjfjj2 =

RR

j f(t)jdt = j j jf(t)jdt = j j jjfjj2; т.е. выполнена вторая аксиома нормы.

bb

RR

jf(t)jdt + jg(t)jdt = jjfjj2 + jjgjj2: Выполнение второй и третьей аксиом

aa

для первой нормы фактически проверено в предыдущем примере. Определение 7. Пусть X – линейное нормированное пространство и

jj jj1; jj jj2 – две нормы на X . Они называются эквивалентными, если существуют две постоянные C1; C2 > 0 такие, что

называют равномерной сходимостью.

Упражнения к § 16

1.Докажите, что последовательность xk = (xk1; xk2; ; xkn); k 1 из Kn (где K = R или K = C) сходится к вектору

x0 = (x0k) = (x01; x02; ; x0n) по одной из норм в Kn (см. пример 4) тогда и только тогда, когда каждая числовая последовательность (xkj) K; (1 j n) сходится к x0j:

2. Будет ли фундаментальной в C[0; 1] (см. пример 5) последовательность функций: a) 'n(t) = tn; n 1; б) fn(t) = sin n1 t; n 1?

3.Сходятся ли в пространство C[0; 1] следующие последовательности: а) xn(t) = tn tn+1; б) yn(t) = tn + t2n; в) tnn+1+1 tnn+2+2 ; n 1?

4.Найдите предел последовательности функций 'n(t) = cos n1 t в C[0; 1]:

5.Докажите неравенство jjjxjj jjyjjj jjx yjj для любой пары векторов из линейного нормированного пространства X:

6.Пусть в конечномерном линейном пространстве X введены две нормы jj jj1; jj jj2: Докажите существование таких констант r1; r2 > 0; что имеют место включения

B2(0; r1) B1(0; 1) B2(0; r2);

где B1(0; 1) – шар относительно первой нормы и B2(0; r) – шар относительно второй нормы.

7. Для f 2 Pn(C) положим jjfjj = max jf(zk)j: Для каких комплексных

1 k m

чисел z1; : : : ; zm эта формула определяет норму на Pn(C)?

8. Докажите, что последовательность xn из (X; ) фундаментальная тогда

и только тогда, когда lim (xn; xm) = 0:

k;m!1

x 17. Пространства со скалярным произведением. Евклидовы пространства

В предыдущем параграфе мы рассматривали линейные нормированные пространства, т.е. линейные пространства, в которых введено понятие длины вектора (и, значит, расстояния между векторами). Однако до сих пор не было введено понятий угла между двумя векторами, перпендикулярных векторов

и других важных геометрических понятий. Все это оказывается возможным в линейных пространствах со скалярным произведением. Именно рассмотрению таких пространств посвящен данный параграф.

Определение 1. Пусть поле K есть либо R, либо C: Линейное пространство H над полем K называется пространством со скалярным произведением, если задана функция ' : H H ! K (значение '(x; y) функции ' на каждой паре векторов x; y из H обозначается символом (x; y)), которая удовлетворяет следующим свойствам (аксиомам):

1)(x; x) 0; (x; x) = 0 () x = 0;

2)(x + y; z) = (x; z) + (y; z);

3)( x; y) = (x; y);

4)(x; y) = (y; x);

для любых 2 K и x; y; z 2 H: Число (x; y) называется скалярным произведением векторов x и y.

Ясно, что при K = R условие 4) выглядит так: (x; y) = (y; x): Из свойств 3) и 4) получим, что имеет место свойство 30)(x; y) = (x; y) (см.задачу 1), а из свойств 2) и 4) следует, что верно свойство 20)(x; y + z) = (x; y) + (x; z):

Определение 2. Конечномерное линейное пространство со скалярным произведением называется евклидовым пространством.

Рассмотрим примеры пространств со скалярным произведением и, в частности, евклидовых пространств.

Пример 1. Линейное пространство V 3 свободных векторов физического пространства является трехмерным евклидовым пространством. Скалярное произведение векторов a; b 2 V 3 задается равенством

(a; b) = jajjbjcos ';

где jaj; jbj – длины векторов a; b и ' – угол между векторами a и b. Свойства скалярного произведения доказываются в аналитической геометрии.

Пример 2. Рассмотрим линейное пространство Kn , где K = R; либо K = C. Для любой пары векторов x = (x1; ; xn); y = (y1; ; yn) 2 Kn их скалярное произведение определяется формулой

Легко проверяется, что Kn является евклидовым пространством.

Пример 3. Рассмотрим комплексное (вещественное) линейное простран-

104 Глава 3. Линейная алгебра

Отметим, что если z 2 C[a; b] – комплекснозначная функция, то по определению

Из известных свойств интеграла получаем выполнение всех свойств скалярного произведения (проверьте !). Итак, C[a; b] – бесконечномерное пространство со скалярным произведением.

Пример 4. Формула

w

Z

(x; y) = x(t)y(t)dt

0

задает скалярное произведение в Cw:

Пример 5. В пространстве Pn(C) определим скалярное произведение с

помощью формулы

n

X

(f; g) = fkgk;

k=0

если f(z) = f0 + f1z + + fnzn; g(z) = g0 + g1z + + gnzn: В том же линейном пространстве используется также скалярное произведение вида

где a; b – фиксированные числа из R; причем a < b:

Замечание 1. Каждое пространство H со скалярным произведением можно сделать нормированным, если положить

p

jjxjj = (x; x); x 2 H:

Первые две аксиомы нормы непосредственно следуют из свойств 1) и 3) скалярного произведения, а выполнение третьей аксиомы нормы проверим несколько позже.

В применении к пространствам из примеров 1) - 5) получим в соответствующих пространствах следующие нормы

Далее символом H обозначается линейное пространство со скалярным произведением.

Определение 3. Два вектора x; y из H называются ортогональными (перпендикулярными), если их скалярное произведение (x; y) равно нулю (в этом случае будет использовано обозначение x?y).

Т е о р е м а 1 (теорема Пифагора). Если векторы x; y 2 H перпендикулярны, то имеет место равенство jjx + yjj2 = jjxjj2 + jjyjj2:

Доказательство. Из определения нормы и свойств скалярного произведения следуют равенства

jjx + yjj2 = (x + y; x + y) = (x; x) + (x; y) + (y; x) + (y; y) = jjxjj2 + jjyjj2:

Определение 4. Подмножество M из H называется ортонормированным, если выполнены условия: 1) jjxjj = 1 8x 2 M ; 2) (x; y) = 0 8 x; y 2 M; x 6= y:

Лемма 1. Пусть fe1; ; emg – конечное ортонормированное множе-

Доказательство. Используя свойства векторов из ортонормированного множества, получаем следующие равенства