Лекции по алгебре.Баскаков

7.Докажите, что если A 2 L(X) имеет одну точку спектра f og; то для любой целой функции f оператор f(A) имеет вид f(A) = f( 0)I + B;

где B - нильпотентный оператор.

8.Докажите равенство (f(A)) = f( (A)) для любых f 2 F и A 2 L(X):

9.Докажите для оператора T 2 L(X); что следующие условия эквивалентны: а) (T ) fz 2 C : jzj = 1g и T есть оператор простой структуры;

б) T обратим и sup jjT njj < 1:

17. Найдите deteA; где A 2 Matrn(K):

x 35. Сопряженные операторы. Структурная теория нормальных, самосопряженных и унитарных операторов

В этом параграфе изучаются специальные классы линейных операторов, действующих в евклидовом пространстве H .

Определение 1. Линейный оператор B 2 L(H) называется сопряженным к линейному оператору A 2 L(H); если выполнены равенства

(Ax; y) = (x; By); x; y 2 H:

Лемма 1. Для любого оператора A из L(H) существует единственный сопряженный оператор (обозначаемый далее символом A ):

Доказательство. Построим отображение A : H ! H следующим образом. Для каждого вектора y 2 H рассмотрим линейный функционал

y : H ! K; определенный формулой

y(x) = (Ax; y):

Из следствия 2 теоремы 1, x 18 получаем, что существует единственный вектор (см. задачу 9 из x 17) z 2 H такой, что y(x) = (x; z) 8x 2 H: Положим

A y = z: Таким образом, однозначно определено отображение A : H ! H;

удовлетворяющее условию (Ax; y) = (x; A y) 8x; y 2 H:

Осталось доказать, что A - линейный оператор. Если y = 1y1 + 2y2;1; 2 2 K; y1; y2 2 H; A (y1) = z1; A (y2) = z2; то, с одной стороны,

y(x) = (x; A (y)): С другой стороны, y(x) = (Ax; 1y1 + 2y2) = 1(Ax; y1)+2(Ax; y2) = 1(x; A (y1)) + 2(x; A (y2)) = (x; 1A (y1) +

+ 2A (y2)): Поэтому (x; A (y) 1A (y1) 2A (y2)) = 0 8x 2 H и, следовательно, A (y) = 1A (y1) + 2A (y2): Лемма доказана.

Лемма 2. Для любой пары операторов A; B 2 L(H) и любой пары чисел ; 2 K имеют место следующие равенства

1) ( I) = I; 2) (AB) = B A ; 3) ( A + B) = A + B ;

4) если A обратим, то обратим сопряженный оператор A и (A ) 1 = = (A 1) ; 5)(A ) = A; 6) если M - инвариантное подпространство для A

и A одновременно, то (AM ) = AM :

Доказательство. Поскольку ( Ix; y) = (x; Iy)8x; y 2 H; то ( I) = = I:

Равенство 2) следует из равенств

(ABx; y) = (A(Bx); y) = (Bx; A y) = (x; B (A y)) = (x; B A y):

Аналогично доказывается равенство 3).

Если A - обратимый оператор, то AA 1 = A 1A = I: Тогда из равенств 1) и 2) следует, что I = I = (AA 1) = (A 1A) = (A 1) A = A (A 1) ; т.е.

A - обратимый оператор и оператор (A 1) является к нему обратным. Равенства 5) и 6) непосредственно следуют из определения сопряженного

оператора. Лемма доказана.

Лемма 3. Для любого оператора A 2 L(H) и его сопряженного оператора A евклидово пространство H представимо в виде ортогональной прямой суммы

(x; A y) = 0 8x 2 H () y 2 Ker A . Таким образом, Ker A = (Im A)?:

Применяя полученное разложение (1) к оператору A ; получим разложение H = Im A Ker(A ) = Im A Ker A = Ker A Im A : Лемма доказана.

Следующая теорема непосредственно следует из равенства Im A = = (Ker A )?; полученного в лемме 3.

Т е о р е м а 1 (теорема Фредгольма). Уравнение вида

Ax = b 2 H

разрешимо тогда и только тогда, когда вектор b перпендикулярен всем решениям однородного уравнения

A y = 0:

Лемма 4. Пусть e1; : : : ; en - ортонормированный базис в H и

A = (aij); B = (bij) 2 Matrn(K) - матрицы операторов A; B 2 L(H) (относительно выбранного базиса). Тогда для того чтобы оператор B был сопряженным к оператору A; необходимо и достаточно, чтобы имели место соотношения bij = aji; i; j = 1; : : : ; n:

Доказательство. Пусть Iij; 1 i; j n - стандартный базис из элементарных операторов в L(H): Непосредственно из определения этих операторов

=bij Iij () bij = aji; i; j = 1; : : : ; n: Лемма доказана.

i;j=1

Определение 2. Оператор A 2 L(H) называется самосопряженным, если A = A (т.е., если (Ax; y) = (x; A y) 8x; y 2 H ).

Непосредственно из леммы 2 следует, что для любого оператора

A 2 L(H) (H - комплексное пространство) операторы Re A = A+2A ; Im A =

A A самосопряжены. Таким образом, оператор A представим в виде

2i

A = Re A + iIm A:

Определение 3. Матрица B = (bij) 2 Matrn(K) называется сопряженной к матрице A = (aij) 2 Matrn(K); если bij = aji; i; j = 1; : : : ; n:

Сопряженная к A матрица обозначается символом A : Матрица A называется самосопряженной, если A = A :

Ясно, что если K = R; то A = At 8A 2 L(H) и A = A () A = At;

т.е. самосопряженные матрицы являются симметрическими.

Непосредственно из леммы 4 следует, что оператор A 2 L(H) самосопряжен тогда и только тогда, когда его матрица A в некотором ортонорми-

рованном базисе является симметрической.

Определение 4. Проектор P 2 L(H) называется ортогональным (или

ортопроектором), если он осуществляет разложение H в ортогональную

прямую сумму H = H1 H2(H1 = Im P; H2 = (Im P )? = Ker P ):

Лемма 5. Проектор P 2 L(H) является ортогональным тогда и только

тогда, когда P - самосопряженный оператор.

Доказательство. Пусть P - ортогональный проектор и H = H1 H2 - соответствующая ортогональная прямая сумма. Тогда для любой пары век-

торов x; y 2 H; представленных в виде x = x1 + x2; y = y1 + y2; где x1; y1 2 H1; x2; y2 2 H2; имеют место равенства

(P x; y) = (x1; y1 + y2) = (x1; y1) = (x1 + x2; y1) = (x; y1) = (x; P y):

Следовательно, P = P :

Обратно, если P = P ; то непосредственно из равенства (1) (см. лемму 3) при A = P получаем, что H = Im P Ker P - ортогональная прямая

сумма. Лемма доказана.

Следствие 1. Дополнительный проектор к ортопроектору является ортопроектором.

Определение 5. Оператор B 2 L(H) называется антисамосопряженным или кососамосопряженным, если B = B:

Лемма 6. Каждый антисамосопряженный оператор B 2 L(H); где H

- комплексное евклидово пространство, представим в виде B = iA; где A - самосопряженный оператор.

Доказательство. Пусть A = iB: Тогда B = iA и A = ( i)B =

iB = A:

jjxjj2; имеющих место для любого унитарного оператора U 2 L(H), следует, что U - изометрический изоморфизм. Верно и обратное утверждение (см. задачу 24, x 37).

Пример 1. Пусть e1; : : : ; en - некоторый ортонормированный базис в

H и - некоторая перестановка из симметрической группы Sn: Определим линейный оператор U 2 L(H); полагая

U ej = e (j); j = 1; : : : ; n:

Оператор U назовем оператором перестановок. Ясно, что U обратим, причем U 1 = U 1 : Кроме того, ясно, что имеют место равенства

XX

Таким образом, оператор перестановок является унитарным оператором.

Определение 7. Оператор A 2 L(H) называется нормальным, если

AA = A A (т.е. A перестановочен со своим сопряженным оператором). Непосредственно из определений следует, что самосопряженные анти-

сопряженные и унитарные операторы являются нормальными операторами. Поэтому мы вначале получим теорему о структуре нормальных операторов и затем применим ее к изучению упомянутых только что классов линейных операторов.

Лемма 7. Пусть A и B - перестановочные операторы из алгебры L(X)

(X - линейное пространство). Тогда подпространства Ker B и Im B инвариантны относительно оператора A.

Доказательство. Если x 2 Ker B; то Bx = 0 и B(Ax) = A(Bx) = 0;

т.е. Ax 2 Ker B: Если y 2 Im B; то существует вектор x 2 X такой, что

Bx = y: Тогда Ay = ABx = BAx 2 Im B: Лемма доказана.

Лемма 8. (A ) = (A) = f : 2 (A)g 8A 2 L(H):

Доказательство. Поскольку (A I) = A I; (A I) = A I; то из равенства 4) леммы 2 следует, что оператор A I; 2 K обратим тогда и

только тогда, когда обратим оператор A I: Следовательно, (A ) = (A):

Т е о р е м а 2. Пусть A 2 L(H) - нормальный оператор, H - комплексное евклидово пространство и (A) = f 1; : : : ; mg - его спектр.

Тогда операторы A и A являются операторами простой структуры, при-

чем

1)(A ) = (A);

2)E( i; A) = E( i; A ); i = 1; : : : ; m;

3)H = E( 1; A) E( m; A) - ортогональная прямая сумма, при-

чем в H существует ортонормированный базис, составленный из собственных векторов оператора A.

Доказательство. Поскольку операторы A и A перестановочны, то из леммы 7 следует, что собственное подпространство E( k; A) = M; k 2 (A)

оператора A инвариантно относительно A и поэтому в силу равенства 6) леммы 2 имеет место равенство (A kI)M = 0 = (A kI)M ; т.е. A x = = kx 8x 2 E( k; A): Это означает, что E( k; A) E( k; A): Применяя подобные рассуждения к оператору A kI и его собственному подпространству E( k; A ); получим включение E( k; A ) E( k; A): Итак,

E( k; A) = E( k; A ); k = 1; : : : ; m:

Пусть H1 - ортогональное дополнение к подпространству E( 1; A): Докажем, что оно инвариантно относительно обоих операторов A и A : Действительно, если x 2 H1; то (x; e) = 0 8e 2 E( 1; A); и поэтому

(Ax; e) = (x; A e) = (x; 1e) = 1(x; e) = 0;

т.е. Ax 2 H1: Аналогично

(A x; e) = (x; Ae) = (x; 1e) = 1(x; e) = 0;

т.е. A x 2 H1:

254 Глава 3. Линейная алгебра

Итак, доказано, что операторы A и A допускают разложение вида

A = 1I1 A2; A = 1I1 A2 (см. равенство 6) из леммы 2) относительно ортогональной прямой суммы H = E( 1; A) H1:

Непосредственно из теоремы 6, x 28 следует, что (A2) = f 2; : : : ; mg

( и поэтому (A2) = f 2; : : : ; mg) и E( k; A2) = E( k; A) = E( k; A2);

k = 2; : : : ; m: Следовательно, все подпространства E( k; A2); k = 2; : : : ; m

ортогональны подпространству E( 1; A):

Все вышесказанное позволяет рассмотреть операторы A2; A2 из L(H1);

собственное значение 2 и осуществить дальнейшее разложение оператора

A2; т.е. представить в виде A2 = 2I2 A3: Продолжая процесс разложения оператора далее, в конце концов получим представления A = 1I1

mIm; A = 1I1 mIm относительно ортогональной прямой суммы

H = E( 1A) E( m; A):

Следствие 2. Каждый нормальный оператор A 2 L(H) со спектром

E( j; A) параллельно другим собственным подпространствам. Кроме того, A = 1P1 + + mPm:

Следствие 3. Если A - нормальный оператор со спектральным разло-

Т е о р е м а 3. Пусть A - самосопряженный оператор из L(H), H - комплексное линейное пространство. Тогда его спектр состоит из вещественных чисел и существует ортонормированный базис, составленный из собственных векторов оператора A. Оператор A допускает спектральное разложение вида (3), где 1; : : : ; m 2 R и P1; : : : ; Pm - ортогональные проекторы.

Доказательство. Утверждение о вещественности спектра следует из

равенства

XX

Выбирая в каждом из подпространств E( j; A) (1 j m) ортонормированный базис и взяв объединение этих базисов, получим (с учетом взаимной ортогональности собственных подпространств) ортонормированный ба-

зис в H . Теорема доказана.

Следствие 4. Каждый антисамосопряженный оператор A 2 L(H)

имеет чисто мнимый спектр (A) = fi k : k 2 R; k = 1; : : : ; mg:

Т е о р е м а 4. Если U 2 L(H) - унитарный оператор (H - комплексное пространство), то его спектр лежит на окружности fz 2 C : jzj = 1g и существует ортонормированный базис, составленный из собственных векторов

оператора U: Оператор U допускает спектральное представление вида

мальной и унитарной матрицы и получить для таких матриц аналоги соответствующих результатов для нормальных и унитарных операторов.

Например, матрица A 2 Matrn(K) называется нормальной, если

AA = A A: Матрица U 2 Matrn(K) называется унитарной, если U U = = UU = E; т.е. если U = U 1:

Если A 2 Matrk(K) - нормальная матрица, то оператор A 2 L(Kn) (Kn - евклидово пространство), задаваемый с помощью матрицы A; является нормальным. В частности, если A - симметрическая (унитарная) матрица, то A - самосопряженный (унитарный) оператор. Именно это замечание позволяет перенести соответствующие результаты этого параграфа для так выделяемых классов матриц. Этим фактом мы будет пользоваться далее без особых оговорок.

Замечание 3. Условие унитарности матрицы U = (uij) 2 Matrn(K)

UU = E эквивалентно условию: столбцы матрицы U образуют ортонормированный базис в евклидовом пространстве Kn: Такую матрицу называют также ортогональной.

Т е о р е м а 5. Если A 2 Matrn(C) - нормальная матрица со спектром

(A) = f 1; : : : ; mg; то существует ортогональная матрица U 2 Matrn(C)

такая, что

A = U 1 U;

где - диагональная матрица из Matrn(C) с диагональными элементами,

Доказательство. Пусть A 2 L(C)n - оператор, определяемый матрицей A: Он нормален, (A) = (A) = f 1; : : : ; mg и поэтому согласно теоремы 2 существует ортонормированный базис e01; : : : ; e0n 2 Cn; составленный из собственных векторов операторов A. Пусть U - матрица перехода от стандартного базиса (ek) в Cn к базису (e0k): Тогда A = U 1 U: В данном случае столбцами матрицы U будут служить упорядоченные наборы векторов e0k = (u1k; : : : unk) 2 Cn; 1 k n: Теорема доказана.